www.ks5u.com
揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考
文科数学试题
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）
1．复数满足，则( )
A． B． C． D．
2．下面四个条件中，使成立的充要条件是( )
A． B． C． D．
3．已知，则的值为( )
A． B． C． D．
4．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是( )
A． B． C． D．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知满足，则的最大值是( )
A． B. 5 C. 7 D.
7．为了得到的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度或者
向右平移个单位长度，和均为正数，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8．在上的函数满足：，若，则( )
- 12 -
A. B. C. D.
9．函数的最大值等于( )
A. B. C. D.
10．若点M是所在平面内的一点，且满足，则与
的面积比为( )
A． B． C． D．
11．在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时，则 ( )
A．18 B．19 C．20 D．21
12．已知实数满足，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）已知向量，，若，则 ．
（14）偶函数的图象关于直线对称，，则= ．
（15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的
榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）
啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、
前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图3
经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进
一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计）
（16）直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA 、
OB的倾斜角分别为、，则= ．
- 12 -
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（小题满分12分）
已知递增数列的前项和为，且满足．
（I）求；
（II）设，求数列的前项和．
（18）（本小题满分12分）
如图4，在四棱锥中，，AD∥BC，AB⊥AD，
AO=AB=BC=1，PO=，．
（I）证明：平面POC⊥平面PAD；
（II）若CD=，三棱锥P-ABD与C-PBD的体积分别为、，
求证． 图4
（19）（本小题满分12分）
某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如下表数据：(单位：人)
坐标系与参数方程
不等式选讲
合计
男同学
8
30
女同学
8
合计
20
（I）请完成题中的列联表；并根据表中的数据判断，是否有超过的把握认为选
做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？
（II）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为区间
内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．
- 12 -
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2. 072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（20）（本小题满分12分）
已知圆Ｃ过点，且与直线相切，
（I）求圆心C的轨迹方程；
（II） O为原点，圆心C的轨迹上两点M、N（不同于点O）满足，已知，
，证明直线PQ过定点，并求出该定点坐标和△APQ面积的最小值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数.()
（I）试确定函数的零点个数；
（II）设是函数的两个零点，证明：．
参考公式：
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
- 12 -
（II）若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．
（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲
设函数．
（I）若，求函数的值域；
（II）若，求不等式的解集．
- 12 -
揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考
文科数学参考答案
CDACBB ABBACC
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
4
解析：
（16）设，由三角函数的定义得：
由消去y得：，则，即.
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）当时，，解得；--------------------------------------------1分
当时，由，得，
两式相减，得，
即，即
∵数列为递增数列，∴，
∴，------------------------------------------------------------------------------------------4分
∴ 数列是首项为1、公差为1的等差数列，故；---------------------------------6分
（Ⅱ），
，
= ，-------------------------------------------8分
两式相减，得－
- 12 -
，------------------------------------------------------------------------11分
．-------------------------------------------------------12分
（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC中，
∵AO//BC，AO=BC，AB⊥AD，
∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------2分
在△POC中，∵，∴OC⊥PO，-------4分
又，∴OC⊥平面PAD，
又平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABCO为正方形，∴OC=AB=1, OC⊥OD-----------8分
∴，从而, -----------------------------------------------------9分
设点P到平面的距离为，∵平行线BC与AD之间的距离为1，
∴-------------------------------------------11分
即．---------------------------------------------------------------------------------------------12分
其它解法请参照给分．
（19）解：（1）列联表如下
坐标系与参数方程
不等式选讲
合计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
合计
30
20
50
------------------------------------------3分
由表中数据得，
查表可知，有超过的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”
- 12 -
与性别有关；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要分钟，
解答一道“不等式选讲”需要分钟，-------------------------------------------------------------7分
记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件，
则总的基本事件构成区域，--------------------------------------------------9分
而满足事件的基本事件构成区域为 ， ----------10分
即图中阴影部分，由几何概型知，
即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做
“不等式选讲”所用时间更长的概率为．……………12分
（20）解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，
由得，得圆心C的轨迹方程为；-------------------------3分
【法二：设圆半径为R，圆心C(x, y)，则|AC|=R=，
即=，化简得
即圆心C的轨迹方程为------------------------------------------------------------------3分】
（Ⅱ）证明：依题意知OM的斜率k存在，且，设OM的方程为， ------------4分
- 12 -
∵OM⊥ON，则ON的方程为，
由得，得，------------------------------------------------------6分
同理得，
由已知得，，∴，，----------------------------8分
∴，直线PQ的方程为，
即，∴直线PQ过定点（1，0），---------------------------------10分
设B（1，0），则，
∴△APQ面积的最小值为．---------------------------------------------------------------------12分
【证法二：设，的方程为
由 得，---------------------------------------------------------------------4分
则，且---------------------------------------------------5分
∵，∴-----------------------------------------------------------------------6分
即，解得，所以，解得--------------------------- 7分
∴的方程为，则直线过定点---------------------------------------------8分
- 12 -
设与轴相交于点
，
，可得，则，
故过定点-------------------------------------------------------------------------------------10分
∴△APQ面积的最小值为.-------------------------------------12分】
（21）解：（I）由得，令，
函数的零点个数即直线与曲线的交点个数，
∵，-------------2分
由得，∴函数在单调递增，
由得，∴函数在上单调递减，
∴当时，函数有最大值，，----------------------------------------3分
又当时，>0，，当时，
∴当时，函数没有零点；----------------------------------------------------------------4分
当或时，函数有一个零点；------------------------------------------------------5分
当时，函数有两个零点．------------------------------------------------------------6分
（II）证明：函数的零点即直线与曲线的交点横坐标，
不妨设，由（I）知，得，
∵函数在上单调递增，
∴函数在单调递减，
要证，只需证， ------------------------------------------------------------7分
- 12 -
∴只需证，又，即要证，---------------------8分
∵由得，（）--------9分
令，则，------------------------------10分
当时，，，即函数在上单调递减，
∴，
∴当时，，即．------------------------------------------------12分
【证法二：由（Ⅰ）知，，不妨设，
设，则，-----------------------------8分
，易知是减函数，
当x>1时，，又1-x.---------------------------10分
由得>，又，所以，
由在上单调递增，得在单调递减，
又，∴，即，得证． ---------------------------------------12分】
选做题：
（22）解：（Ⅰ）直线l经过定点，----------------------------------------------------------------2分
由得，
得曲线的普通方程为，化简得；---5分
（Ⅱ）若，得，的普通方程为， --------------------------------6分
- 12 -
则直线的极坐标方程为，------------------------------------------------8分
联立曲线：．
得，取，得，所以直线l与曲线的交点为． -----------10分
（23）解：（Ⅰ）当时，------------------------------------------------1分
∵， ------------------------------------------------3分
，函数的值域为；-------------------------------5分
（Ⅱ）当m=－1时，不等式即， ---------------------------------6分
①当时，得，解得，；------------------------7分
②当时，得，解得，；------------------8分
③当时，得，解得，所以无解；--------------------------- 9分
综上所述，原不等式的解集为． --------------------------------------------------------10分
- 12 -
微信/支付宝扫码支付