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高二数学理科期末模拟试题
命题人 张琴竽
★祝考试顺利★
时间：120分钟 分值150分_
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1. 用样本估计总体，下列说法正确的个数是
①样本的概率与实验次数有关；
②样本容量越大，估计就越精确；
③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；
④数据的方差越大，说明数据越不稳定．
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至多有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球 D．恰有一个黑球与恰有两个黑球
3. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是
A． B． C． D．
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
5. 学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如右表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为
A．24 B．18 C．16 D．12
6. 在的展开式中，常数项是
A．－28 B．－7 C．7 D．28
7. 在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为
A． B． C． D．
8. 直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是
A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离 D．直线过圆心
1. 小明在玩“开心农场”游戏的时候，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)．若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有
A．36种 B．48种 C．60种 D．64种
2. 已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有
A．9条 B．10条 C．11条 D．12条
3. 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是
A． B． C． D．
4. 在圆内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为
A．126 B．86 C．77 D．50
第II卷（非选择题）
二 、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
5. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D(X) =_________
6. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_________
7. 已知过点A(－1，0)的动直线l与圆x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N．则_________
8. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如右表．请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了数学期望的正确答案为_________
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 若，其中；
(1)求实数的值；
(2)求的值．
2. 某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查，下表是这n名同学的日平均睡眠时间的频率分布表：
序号（i）
分组（睡眠时间）
频数（人数）
频率
1
[4，5)
４
0.08
2
[5，6)
x
0.20
3
[6，7)
a
y
4
[7，8)
b
z
5
[8，9]
m
0.08
(1)求n的值；若a = 20，试确定x、y、z、m的值；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如[4，5)的中点值4.5)作为代表．若据此计算的这n名学生的日平均睡眠时间的平均值为6.68．求a、b的值．
3. 已知两直线l1：ax－by + 4 = 0，l2：(a－1)x + y + b = 0，求分别满足下列条件的a、b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．
4. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
1. 设函数，其中b、c是某范围内的随机数．分别在下列条件下，求事件A：“且”发生的概率．
(1)若随机数b、c∈{1，2，3，4}；
(2)已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{x | 0≤x≤1}，b、c是算法语句b = 4*Rand()和c = 4*Rand()的执行结果(注：符号“*”表示“乘号”)．
22已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方.
(1)求圆M的方程；
(2)设A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值
答案
一．选择题：BDCCC CCABB BA
二．填空题：13．0.21 14．24 15．－5 16．2
三．解答题：
17．(1)解： 2分
∴ 4分
(2)解：令，得： 7分
令，得： 10分
设
则A0 + A1 = 0，A0－A1 = 1
所求为 12分
18．(1)解：， 5分
(2)解： 7分
平均时间为：，
即13a + 15b = 454 ① 9分
又4 + 10 + a + b + 4 = 50，即a + b = 32 ② 11分
由①、②解得：a = 13，b = 19． 12分
19．(1)解：∵l1⊥l2，∴a(a－1) + (－b)×1 = 0 2分
即a2－a－b = 0 ①
又点(－3，－1)在l1上，∴－3a + b + 4 = 0 ② 4分
由①②解得：a = 2，b = 2． 6分
(2)解：∵l1∥l2，且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，故 ① 8分
∵原点到l1和l2的距离相等，∴
即，∴b =±2 10分
代入①得：a = 2－2a或a =－2 + 2a，∴或a = －2
因此或． 12分
20．解：由于从10件产品中任取3件的结果数为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为 (k = 0，1，2，3) 2分
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
X的数学期望. 6分
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且
，，. 10分
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
. 12分
21．(1)解：由知，事件A：“且”，即 1分
因为随机数b、c∈{1，2，3，4}，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，
(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4) 4分
事件A：包含了其中6个数对：即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)
6分
所以，即事件A发生的概率为． 8分
O
b
c
4
3
(1，3)
(2)由题意，b、c均是区间[0，4]中的随机数，产生的点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域中(如图)，其面积． 9分
事件A：所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为 11分
所以，即事件A发生的概率为 13分
22．(1)解：设圆心M (a，0)，则，即| 8a－3 | = 5 2分
又∵M在l的下方，∴8a－3 > 0，∴8a－3 = 5，a = 1
故圆的方程为(x－1)2＋y2 = 1． 4
分
(2)解：由题设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2，则直线AC的方程为y＝k1x＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6
由方程组，得C点的横坐标为 6分
∵|AB| = t＋6－t = 6，
∴ 8分
由于圆M与AC相切，所以，∴
由于圆M与BC相切，所以，∴
∴，
∴，
∵－5≤t≤－2，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，
∴，，
∴△ABC的面积S的最大值为，最小值为
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