2016-2017学年河北省廊坊市高三(上)期末试卷
数学(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知A={x|x≥k},B={x|x2﹣x﹣2>0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则k的取值范围是( )
A.k<﹣1 B.k≤﹣1 C.k>2 D.k≥2
2.若复数z满足z+zi=3+2i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知m>0,n>0,2m+n=1,则的最小值为( )
A.4 B.2 C.8 D.16
4.已知a=log36,b=1+,c=则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b
5.执行下面的程序框图,则输出的k值为( )
A.﹣1 B.4 C. D.
6.已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,a2=3,数列{anan+1}是公比为2的等比数列,则S10=( )
A.1364 B. C.118 D.124
7.已知||=2,向量在向量上的投影为,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=1时,z=ax+y取得最大值,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣1,1) B.(﹣∞,1) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
9.球O与棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面均相切,如图,用平平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2﹣A1B1C1D1,得到截面A2B2C2D2,且A2A=a,现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆,则黄豆落在截面中的圆内的概率为( )
A. B. C. D.
10.如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.12 B.6 C.2 D.3
11.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<x,
且f(2)=1,则不等式f(x)<x2﹣1的解集为( )
A.(﹣2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞)
12.如图,双曲线的中心在坐标原点O,M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点,A是双曲线的右顶点,F是双曲线的右焦点,直线AM与FN相交于点P,若∠APF是锐角,则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(1+,+∞) C.(0,) D.(,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.计算sin= .
14.已知函数f(x)=﹣log2x的零点在区间(n,n+1)(n∈N)内,则n的值为 .
15.已知等差数列{an}满足a1+a2=4,a7﹣a4=6,则数列{}的前n项和Sn= .
16.我国唐代诗人王维诗云:“明月松间照,清泉石上流”,这里明月和清泉,都是自然景物,没有变,形容词“明”对“清”,名词“月”对“泉”,词性不变,其余各词均如此.变化中的不变性质,在文学和数学中都广泛存在.比如我们利用几何画板软件作出抛物线C:x2=y的图象(如图),过交点F作直线l交C于A、B两点,过A、B分别作C的切线,两切线交于点P,过点P作x轴的垂线交C于点N,拖动点B在C上运动,会发现是一个定值,该定值是 .
三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)已知函数f(x)=2cosx•cos(x﹣)﹣
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=,c=2,且△ABC的面积为2,求△ABC的周长.
18.(12分)近年来,手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品,手机的功能也日趋完善,已延伸到了各个领域,如拍照,聊天,阅读,缴费,购物,理财,娱乐,办公等等,手机的价格差距也很大,为分析人们购买手机的消费情况,现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查,统计如下:
年龄 价格
5000元及以上
3000元﹣4999元
1000元﹣2999元
1000元以下
45岁及以下
12
28
66
4
45岁以上
3
17
46
24
(Ⅰ)完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表,再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为人们使用手机的价格和年龄有关?
(Ⅱ)如果用分层抽样的方法从样本手机价格在5000元及以上的人群中选择5人调查他的收入状况,再从这5人中选3人,求3人的年龄都在45岁及以下的概率.
附K2=
P(K2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.001
k
3.841
5.024
6.635
10.828
19.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的菱形,∠ABC=60°,SA⊥平面ABCD,且SA=4,M在棱SA上,且AM=1,N在棱SD上且SN=2ND.
(Ⅰ)求证:CN∥面BDM;
(Ⅱ)求三棱锥S﹣BDM的体积.
20.(12分)若F1,F2是椭圆C: +=1(0<m<9)的两个焦点,圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点(0,)的直线l与椭圆C交于两点A、B,以AB为直径的圆经过点(0,﹣),求直线l的方程.
21.(12分)已知函数f(x)=ax2﹣lnx,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)是否存在实数a,使函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
选修题【选修4-4:坐标系与参数方程】
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C: +=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ﹣2sinθ)=6.
(Ⅰ)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程;
(Ⅱ)在曲线C上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.
【选修4-5:不等式选讲】
23.(10分)已知函数f(x)=|x﹣|﹣|2x+1|.
(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)若f(x)的最大值时a,已知x,y,z均为正实数,且x+y+z=a,
求证: ++≥1.
廊坊市2017年高三年级教学质量监测
数学文科答案
1~12.CDCDC DBABB DA
13. 14. 2 15. 16. 1
17.解:(Ⅰ)由题意知
…………………2分
…………………4分
所以 …………………5分
(2)由
即. …………………7分
又因为的面积为, ………9分
由余弦定理得:
所以 ………11分
所以的周长为 (其他解法酌情给分) …………………12分
18.解:(Ⅰ)完成列联表如下:
年龄 价格
3000元及以上
3000以下
合计
45岁及以下
40
70
110
45岁以上
20
70
90
合计
60
140
200
…………………3分
由表可知 ………………5分
所以,在犯错误的概率不超过0.025的前提下,不能认为人们使用手机的价格和年龄有关。 …………………6分
(Ⅱ)由题知,样本中手机价格在5000元及以上的人共15人,其中年龄在45岁及以下的有12人,年龄在45岁以上的有3人,用分层抽样的方法从中选择5人,则年龄在45岁及以下的抽取4人,年龄在45岁以上的抽取1人. …………………7分
记45岁及以下的4人为A、B、C、D, 45岁以上的1人为e,从这5人中选3人,其基本事件为:(A、B、C)(A、B、D)(A、B、e)(A、C、D)(A、C、e)(A、D、e)(B、C、D)(B、C、e)(B、D、e)(C、D、e)共10种. …………………9分
其中3人的年龄都在45岁及以下的事件有(A、B、C)(A、B、D)(A、C、D)(B、C、D)共4种,所以记3人的年龄都在45岁及以下为事件A,根据古典概型可知:
…………………12分
19.(Ⅰ)证明:取SA的中点G,连结NG,CG.连结AC交BD于O,连结OM.
由AM=1可知,.
又NG平面BDM, DM平面BDM
…………………3分
又因为O,M分别为AC,AG 的中点,
CG平面BDM, OM平面BDM,
NGCG=G, ……………5分
又CG在平面NGC内,所以 CN//平面BDM. …………………6分
(Ⅱ)解:因为所以
…………11分
所以,三棱锥S-BDM的体积为 ………………12分
(其他解法酌情给分)
20. 解:(Ⅰ),,不妨设椭圆的下焦点为,设线段的中点为M,由题意,.
又OM=b,OM是的中位线,
由椭圆定义,
…………………2分
在中:
解得
…………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆C:,其上焦点为.由题意直线的斜率k必存在. 设, …………………7分
由()
…………………8分
因为以AB为直径的圆过椭圆的下焦点,所以=0
…………………10分
解得,所以直线的方程为
…………………12分
(其他解法酌情给分)
21解:(1)当=1时,,
所以切线方程为x-y=0 …………………4分
(2)此函数的定义域为,
当恒成立,则函数上是减函数,
所以当时取得最小值即
解得与矛盾。 …………………6分
当时,令得
在上 ,在上
所以当,则函数是减函数,是增函数,
所以当时, 取得最小值
令=得,符合题意。 …………………9分
当,函数是减函数,
所以当时取得最小值即
解得与矛盾. …………………11分
综上所述,存在,使函数在区间上的最小值为。 ………12分
(其他解法酌情给分)
22.解(Ⅰ)由题意知,直线的直角坐标方程为:x-2y-6=0, ………………2分
曲线C的参数方程为:. ………………5分
(Ⅱ)设点P的坐标,则点P到直线的距离为:
………………7分
∴当,d取得最大值,
此时点P(-1,)时. ………………10分
23. 解:(Ⅰ)
当时,, ……………1分
当时,, ……………2分
当时,, ……………3分
的值域为 ……………5分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知的最大值为 ……………6分
,又均为正实数
当且仅当时取等 ……………9分
……………10分