江苏省扬州中学高三下开学考试
一、 填空题：
1、设集合，，，则▲．
2、设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为 ▲ .
3、设向量，，若，则实数▲．
4、已知样本数据的方差，则样本数据的方差为 ▲ .
5、已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则▲．
6、若圆锥底面半径为，高为，则其侧面积为▲．
7、数列为等比数列，且成等差数列，则公差▲．
8、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ ▲ m.
9、如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是 ▲
10、已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－ (ω>0，x∈R).若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是▲．
11、若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为▲．
12、已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是▲．
13、已知函数，若关于的方程
恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数的取值集合为▲．
14、已知函数与函数的图象共有（）个公共点：，
，…，，则▲．
一、 解答题：
15、在中，,,分别为内角,,的对边，且．
（1）求角；
（2）若，求的值.
16、如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，
，点分别是的中点．
求证：（1）直线∥平面；（2）直线平面．
17、某城市有一直角梯形绿地，其中，km，km．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；
（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．
18、如图所示，椭圆C：，左右焦点分别记作、，过、分别作直线、交椭圆于、，且⫽．
（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；
（2）求四边形面积的最大值．
19、已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．
20、已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数．
（1）求证：是一个定值；
（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；
（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
江苏省扬州中学高三下开学考试附加题
21、已知矩阵A＝属于特征值l的一个特征向量为α＝．
（1）求实数b，l的值；
（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C¢：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程．
22、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）把曲线的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）曲线与曲线交于点、，曲线与曲线交于点、，求．
23、如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求异面直线，所成角的余弦值；
（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
24、已知展开式的各项依次记为．
设．
（1）若的系数依次成等差数列，求的值；
（2）求证：对任意，恒有.
高三下开学考试答案
一、填空题：
1、 2、13、3 4、12
5、-26、7、38、1009、
10、∪11、12、1
13、14、3
二、解答题：
15、
解：（1）由，根据正弦定理，得，…2分
因为，所以，…………4分
又，所以. …………6分
（2）因为，所以，所以，
又，所以. …………8分
又，即，
所以
. …………14分
16、
（1）取中点，连结，，
又是的中点，所以，
又是矩形边的中点，
所以，所以，
所以四边形是平行四边形，…4分
所以，
又平面，平面，
所以∥平面．……………………7分
（2）在矩形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，……………………………10分
又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面．………………14分
17、（1）因为，，，
所以，……………………………………2分
取中点，
则四边形的面积为，
即，
解得，…………………………………………6分
所以(km)．
故灌溉水管的长度为km．……………………8分
（2）设，，在中，，
所以在中，，
所以，
所以的面积为，
又，所以，即．………12分
在中，由余弦定理，得，
当且仅当时，取“”．
故灌溉水管的最短长度为km．………16分
18、证明：（1）设，，根据对称性，有
因为，都在椭圆C上，所以，
二式相减，
所以为定值
（2）（Ⅰ）当的倾角为时，与重合，舍
（Ⅱ）当的倾角不为时，由对称性得四边形为平行四边形
设直线的方程为
代入，得
显然，，
所以
设，所以，，
所以
当且仅当即时等号成立。
所以，
所以平行四边形面积的最大值为，
19、解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵，
∴
∵a＞2，∴
令f′（x）＞0，即
∵x＞0，∴0＜x＜1或
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），
（Ⅱ）猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．
下面加以证明：
当时，…
①当时，f（x）＜g（x）恒成立，
等价于恒成立，
令…
∵，∴函数φ（x）在上单调递增，
从而当时，恒成立，
即当时，f（x）＜g（x）恒成立．
②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．
综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．
20、解：（1）由 ①， 得 ②
②－①，得，
因为，所以（定值）．
（2）当时，，故，，
根据（1）知，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是，所以，
，，
当时，的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列，
所以，所以，，所以，数列是周期数列，其最小周期为．
（3）因为数列是有理项等差数列，由，，，得
，整理得，
得（负根舍去），
因为是有理数，所以是一个完全平方数，设（），
当时，（舍去）．
当时，由，得，
由于，，所以只有，符合要求，
此时，数列的公差，所以（）．
对任意，若是数列中的项，令，即，
则，时，，时，，故不是数列中的项．
21、解：（1）因为矩阵A＝属于特征值l的一个特征向量为α＝，
所以＝l，即＝． ……………… 3分
从而解得b＝0，l＝2． ………… 5分
（2）由（1）知，A＝．
设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C¢上一点P(x0，y0)，
则＝＝，
从而 ……………… 7分
因为点P在曲线C¢上，所以x02＋2y02＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，
从而3x2＋6xy＋9y2＝1．
所以曲线C的方程为3x2＋6xy＋9y2＝1． ……………… 10分
22、
解（Ⅰ）曲线的普通方程为，即，
由，得，
所以曲线的极坐标方程为 ．
（Ⅱ）设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
所以．
23、（1）因为平面，且平面，
所以，，
又因为，所以两两互相垂直．
分别以为轴建立空间直角坐标系，
则由，可得
，，，，，
又因为为的中点，所以．
所以，，…………2分
所以
，
所以异面直线，所成角的余弦值为．…………5分
（2）因为，所以，则，
，，
设平面的法向量为，
则 即 令，解得，，
所以是平面的一个法向量．……………………………7分
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得，
所以的值为．………………………………………………10分
24、解：（1）依题意，，[来源:Z_xx_k.Com]
的系数依次为，，，
所以，解得； ………4分
（2）
设，
则
考虑到，将以上两式相加得：
所以
又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，
所以对任意，．
………10分
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