2018年中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题5.1图形的平移对称与旋转（含解析）.doc

1 专题 5.1 图形的平移对称与旋转 一、单选题 1．点 A（2，﹣5）关于 x 轴对称的点的坐标是（　　） A． （2，5） B． （﹣2，5） C． （﹣2，﹣5） D． （﹣5，2） 【来源】湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷 【答案】A 【解析】【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”进行解答即可. 【详解】因为点（m，n）关于 x 轴的对称的点的坐标为（m，-n）， 所以点 A（2，﹣5）关于 x 轴的对称点 B 的坐标为（2，5）， 故选 A． 【点睛】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【来源】湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题 【答案】C 点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 3．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（　　）2 A． B． C． D． 【来源】湖北省宜昌市 2018 年中考数学试卷 【答案】D 点睛：本题考查了轴对称图形的定义，能够正确观察图形和理解轴对称图形的定义是解此题的关键． 4．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【来源】湖北省恩施州 2018 年中考数学试题 【答案】D 【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 详解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 5．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点 O 旋转 180°得到△CDA，点 A，B，C 的坐标分别为（﹣5， 2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点 D 的坐标为（　　）3 A． （2，2） B． （2，﹣2） C． （2，5） D． （﹣2，5） 【来源】湖北省宜昌市 2018 年中考数学试卷 【答案】A 点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋 转后的点的坐标． 6．如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则 MP+PN 的最小值是（　　） A． B． 1 C． D． 2 【来源】新疆自治区 2018 年中考数学试题4 【答案】B 【解析】分析：先作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值．然后证明四 边形 ABNM′为平行四边形，即可求出 MP+NP=M′N=AB=1． 详解：如图 ， 点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关 键． 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A 在第一象限，点 B，C 的坐标分别为（2，1），（6，1）， ∠BAC=90°，AB=AC，直线 AB 交 y 轴于点 P，若△ABC 与△A′B′C′关于点 P 成中心对称，则点 A′的坐标 为（　　） A． （﹣4，﹣5） B． （﹣5，﹣4） C． （﹣3，﹣4） D． （﹣4，﹣3）5 【来源】四川省内江市 2018 年中考数学试题 【答案】A 【解析】分析：先求得直线 AB 解析式为 y=x-1，即可得出 P（0，-1），再根据点 A 与点 A'关于点 P 成中心 对称，利用中点公式，即可得到点 A′的坐标． 令 x=0，则 y=-1， ∴P（0，-1）， 又∵点 A 与点 A'关于点 P 成中心对称， ∴点 P 为 AA'的中点， 设 A'（m，n），则 =0， =-1， ∴m=-4，n=-5， ∴A'（-4，-5）， 故选：A． 点睛：本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线 AB 的解析式是解题的关 键． 8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I 是△ABC 的内心，将△ABC 绕原点 逆时针旋转 90°后，I 的对应点 I'的坐标为（　　）6 A． （﹣2，3） B． （﹣3，2） C． （3，﹣2） D． （2，﹣3） 【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷 【答案】A 【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出 I 点坐标，再利用旋转的性质得 出对应点坐标． 则 I（3，2）， ∵△ABC 绕原点逆时针旋转 90°， ∴I 的对应点 I'的坐标为：（﹣2，3）， 故选 A．7 【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心 I 的坐标是 解题的关键. 9．下列图形中的五边形 ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（　　） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 【来源】江苏省无锡市 2018 年中考数学试题 【答案】D 【解析】分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 详解：如图所示：直线 l 即为各图形的对称轴． ， 故选：D． 点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 10．如图直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 ED，连 AE、CE，则△ADE 的面积是（　　） A． 1 B． 2 C． 3 D． 不能确定 【来源】浙江省杭州市临安市 2018 年中考数学试卷 【答案】A8 在△DCG 与△DEF 中， ， ∴△DCG≌△DEF（AAS）， ∴EF=CG， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1， ∴△ADE 的面积是： ×AD×EF= ×2×1=1， 故选 A． 【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对 对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心； ②旋转方向；③旋转角度． 11．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　）9 A． l1 B． l2 C． l3 D． l4 【来源】河北省 2018 年中考数学试卷 【答案】C 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 12．如图，一段抛物线 y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为 C1，与 x 轴交于 A0，A1 两点，顶点为 D1；将 C1 绕点 A1 旋 转 180°得到 C2，顶点为 D2；C1 与 C2 组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x1，y1）， P2（x2，y2），与线段 D1D2 交于点 P3（x3，y3），设 x1，x2，x3 均为正数，t=x1+x2+x3，则 t 的取值范围是（　　） A． 6＜t≤8 B． 6≤t≤8 C． 10＜t≤12 D． 10≤t≤12 【来源】广西壮族自治区玉林市 2018 年中考数学试卷 【答案】D10 【点睛】本题考查二次函数与 x 轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用 二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键. 二、填空题 13．在平面直角坐标系中，将点 A′（﹣2，3）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，那么平 移后对应的点 A′的坐标是_____． 【来源】湖南省长沙市 2018 年中考数学试题 【答案】（1，1） 【解析】分析：直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案． 详解：∵将点 A′（-2，3）向右平移 3 个单位长度， ∴得到（1，3）， ∵再向下平移 2 个单位长度， ∴平移后对应的点 A′的坐标是：（1，1）． 故答案为：（1，1）． 点睛：此题主要考查了平移，正确掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题关键． 14．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形： ①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆． 将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 __________． 【来源】四川省内江市 2018 年中考数学试卷 【答案】11 点睛：此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与情况总数之比. 15．如图，将 绕点 A 逆时针旋转 ，得到 ，这时点 恰好在同一直线上，则 的度数 为______． 【来源】湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题 【答案】15 【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD 是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理 即可得出结论． 详解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE， ∴∠BAD=150°，AD=AB， ∵点 B，C，D 恰好在同一直线上， ∴△BAD 是顶角为 150°的等腰三角形， ∴∠B=∠BDA， ∴∠B= （180°-∠BAD）=15°， 故答案为：15°． 点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形 ABD 是等腰三角形是解本题的关键． 16．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上， 将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°至正方形 AB'C′D′的位置，B'C′与 CD 相交于点 M，则点 M 的坐标 为_____．12 【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试卷 【答案】（﹣1， ） 【详解】如图，连接 AM， ∵将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB'C′D′， ∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°， ∴∠B′AD=60°， 在 Rt△ADM 和 Rt△AB′M 中， ， ∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL）， ∴∠DAM=∠B′AM= ∠B′AD=30°， ∴DM=AD•tan∠DAM=1× = ， ∴点 M 的坐标为（﹣1， ）， 故答案为：（﹣1， ）． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、 全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．13 17．点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，AD＞AB，E、F 分别是 AB 边上的点，且 EF＝ AB；G、H 分别是 BC 边上的点，且 GH＝ BC；若 S1,S2 分别表示∆EOF 和∆GOH 的面积，则 S1,S2 之间的等量关系是______________ 【来源】陕西省 2018 年中考数学试题 【答案】2S1＝3S2 【详解】过点 O 分别作 OM⊥BC，垂足为 M，作 ON⊥AB，垂足为 N， ∵点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心， ∴S 平行四边形 ABCD=AB•2ON， S 平行四边形 ABCD=BC•2OM， ∴AB•ON=BC•OM， ∵S1= EF•ON，S2= GH•OM，EF＝ AB，GH＝ BC， ∴S1= AB•ON，S2= BC•OM， ∴2S1＝3S2， 故答案为：2S1＝3S2. 【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题 的关键. 18．如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（﹣6，0），C（0，2 ）．将矩形 OABC 绕点 O 顺时针方 向旋转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1 处，则点 B 的对应点 B1 的坐标为_____．14 【来源】四川省达州市 2018 年中考数学试题 【答案】（-2 ，6） 【解析】分析：连接 OB1，作 B1H⊥OA 于 H，证明△AOB≌△HB1O，得到 B1H=OA=6，OH=AB=2 ，得到答案． 详解：连接 OB1，作 B1H⊥OA 于 H， 由题意得，OA=6，AB=OC-2 ， 则 tan∠BOA= ， ∴∠BOA=30°， ∴∠OBA=60°， 由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°， ∴∠B1OH=60°， 在△AOB 和△HB1O， ， ∴△AOB≌△HB1O， ∴B1H=OA=6，OH=AB=2 ， ∴点 B1 的坐标为（-2 ，6）， 故答案为：（-2 ，6）． 点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解 题的关键． 19．如图，在▱ABCD 中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将△ABE 沿 BC 方向 平移到△DCF 的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD 周长的最小值为_____．15 【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷 【答案】20 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当 AE⊥BC 时，四边形 AEFD 的周长最小． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为_____． 【来源】黑龙江省大庆市 2018 年中考数学试卷 【答案】 【解析】【分析】先根据勾股定理得到 AB=2 ，再根据扇形的面积公式计算出 S 扇形 ABD，由旋转的性质得到 Rt△ADE≌Rt△ACB，于是 S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC=S 扇形 ABD．16 【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到 S 阴影部分 =S 扇形 ABD 是解题的关键. 三、解答题 21．【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷 图①、图②均是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 OM、ON 的端点均在格点上．在 图①、图②给定的网格中以 OM、ON 为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求： （1）所画的两个四边形均是轴对称图形． （2）所画的两个四边形不全等． 【答案】作图见解析. 【解析】【分析】结合网格特点以及轴对称图形的定义进行作图，然后用全等四边形的定义判断即可得符合 题意的图形． 【详解】如图所示：17 【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【来源】广西钦州市 2018 年中考数学试卷 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；18 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相 等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的 图形． 23．在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请 解答下列问题： （1）①作出△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1， 并写出点 C1 的坐标； ②作出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2， 并写出点 C2 的坐标； （2）已知△ABC 关于直线 l 对称的△A3B3C3 的顶点 A3 的坐标为（－4，－2），请直接写出直线 l 的函数解析 式. 【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题19 【答案】(1)作图见解析，C1 的坐标 C1（-1,2）, C2 的坐标 C2（-3,-2）；（2）y=-x. 详解：（1）如图所示， C1 的坐标 C1（-1,2）, C2 的坐标 C2（-3,-2） （2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2）， ∴直线 l 的函数解析式：y=-x. 点睛：本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等， 由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图 形．也考查了轴对称变换和平移变换． 24．如图，矩形 ABCD 中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转 θ（0°＜θ＜90°）得到矩形 A1BC1D1，点 A1 在边 CD 上． （1）若 m=2，n=1，求在旋转过程中，点 D 到点 D1 所经过路径的长度； （2）将矩形 A1BC1D1 继续绕点 B 顺时针方向旋转得到矩形 A2BC2D2，点 D2 在 BC 的延长线上，设边 A2B 与 CD 交于点 E，若 = ﹣1，求 的值．20 【来源】江苏省无锡市 2018 年中考数学试题 【答案】（1）D 到点 D1 所经过路径的长度为 π；（2） （负根已经舍弃）． 详解：（1）作 A1H⊥AB 于 H，连接 BD，BD1，则四边形 ADA1H 是矩形． ∴AD=HA1=n=1， 在 Rt△A1HB 中，∵BA1=BA=m=2， ∴BA1=2HA1， ∴∠ABA1=30°， ∴旋转角为 30°， ∵BD= ， ∴D 到点 D1 所经过路径的长度= （2）∵△BCE∽△BA2D2，21 点睛：本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所 学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．如图，在 中， ， ，D 是 AB 边上一点 点 D 与 A，B 不重合 ，连结 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE． 求证： ≌ ； 当 时，求 的度数． 【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷 【答案】 证明见解析； . 【解析】【分析】 由题意可知： ， ，由于 ，从而可得 ，根据 SAS 即可证明 ≌ ； 由 ≌ 可知： ， ，从而可求出 的度数．22 【详解】 由题意可知： ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ≌ ； 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等 三角形的判定与性质． 26．如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30° 操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q． 探究一：在旋转过程中， （1）如图 2，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图 3，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为　 　，其中 m 的取值范围是　 　．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若 且 AC=30cm，连接 PQ，设△EPQ 的面积为 S（cm2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着 S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围．23 【来源】江苏省徐州巿 2018 年中考数学试卷 【答案】探究一：（1）EP=EQ；证明见解析；（2）1:2，证明见解析；（3）EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+ ； 探究二：（1）当 x=10 时，面积最小，是 50cm2；当 x=10 时，面积最大，是 75cm2．（2）50＜S≤62.5 时，这样的三角形有 2 个；当 S=50 或 62.5＜S≤75 时，这样的三角形有一个． （3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求 m 的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析； 探究二：（1）设 EQ=x，结合上述结论，用 x 表示出三角形的面积，根据 x 的最值求得面积的最值； （2）首先求得 EQ 和 EB 重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论． 【详解】探究一：（1）连接 BE， 根据 E 是 AC 的中点和等腰直角三角形的性质，得 BE=CE，∠PBE=∠C， 又∠BEP=∠CEQ， 则△BEP≌△CEQ，得 EP=EQ； （2）作 EM⊥AB，EN⊥BC 于 M，N， ∴∠EMP=∠ENC， ∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°， ∴∠MEP=∠NEF， ∴△MEP∽△NEQ， ∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；24 （3）过 E 点作 EM⊥AB 于点 M，作 EN⊥BC 于点 N， ∵在四边形 PEQB 中，∠B=∠PEQ=90°， ∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是 360°）， 又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是 180°）， ∴∠MPE=∠EQN（等量代换）， ∴Rt△MEP∽Rt△NEQ， ∴ ， 在 Rt△AME∽Rt△ENC， ∴ ， ∴ ， EP 与 EQ 满足的数量关系式为 EP：EQ=1：m， ∴0＜m≤2+ ；（当 m＞2+ 时，EF 与 BC 不会相交）． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进 行求解是关键． 27．在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 .以点 为中心，顺时针旋转25 矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， . （Ⅰ）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标； （Ⅱ）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 . ①求证 ； ②求点 的坐标. （Ⅲ）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）. 【来源】天津市 2018 年中考数学试题 【 答 案 】（Ⅰ ） 点 的 坐 标 为 . （ Ⅱ ） ① 证 明 见 解 析 ； ② 点 的 坐 标 为 . （ Ⅲ ） . 详解：（Ⅰ）∵点 ，点 ， ∴ ， . ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， . ∵矩形 是由矩形 旋转得到的， ∴ . 在 中，有 ，26 ∴ . ∴ . ∴点 的坐标为 . （Ⅲ） . 点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股 定理求解是解决本题的关键. 27 28．在 中， ， ， ，过点 作直线 ，将 绕点 顺时针得到 （点 ， 的对应点分别为 ， ），射线 ， 分别交直线 于点 ， . （1）如图 1，当 与 重合时，求 的度数； （2）如图 2，设 与 的交点为 ，当 为 的中点时，求线段 的长； （3）在旋转过程时，当点 分别在 ， 的延长线上时，试探究四边形 的面积是否存在最小值. 若存在，求出四边形 的最小面积；若不存在，请说明理由. 【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题 【答案】（1）60°；（2） ；（3） 详解：（1）由旋转可得：AC=A'C=2， ∵∠ACB=90°，AB= ，AC=2， ∴BC= ， ∵∠ACB=90°，m∥AC， ∴∠A'BC=90°， ∴cos∠A'CB= ， ∴∠A'CB=30°， ∴∠ACA'=60°；28 （2）∵M 为 A'B'的中点， ∴∠A'CM=∠MA'C， 由旋转可得，∠MA'C=∠A， ∴∠A=∠A'CM， ∴tan∠PCB=tan∠A= ， ∴PB= BC= ， ∵tan∠Q=tan∠A= ， ∴BQ=BC× =2， ∴PQ=PB+BQ= ； 点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用， 解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等． 29．如图，在矩形 ABCD 中，AB═2，AD= ，P 是 BC 边上的一点，且 BP=2CP．29 （1）用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E，连接 AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图②，在（1）的条体下，判断 EB 是否平分∠AEC，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F，连接 AP，不添加辅助线，△PFB 能 否由都经过 P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称 轴、旋转中心、旋转方向和平移距离） 【来源】贵州省贵阳市 2018 年中考数学试卷 【答案】（1）作图见解析；（2）EB 是平分∠AEC，理由见解析；（3）△PFB 能由都经过 P 点的两次变换与 △PAE 组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和△EPA 重合，①沿 PF 折叠， ②沿 AE 折叠． 【详解】（1）依题意作出图形如图①所示； （2）EB 是平分∠AEC，理由： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD= ， ∵点 E 是 CD 的中点，30 ∴DE=CE= CD=1， 在△ADE 和△BCE 中， ， ∴△ADE≌△BCE， ∴∠AED=∠BEC， 在 Rt△ADE 中，AD= ，DE=1， ∴tan∠AED= = ， ∴∠AED=60°， ∴∠BCE=∠AED=60°， ∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC， ∴BE 平分∠AEC； 在 Rt△ABP 中，tan∠BAP= = ， ∴∠PAB=30°， ∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB， ∵CB⊥AF， ∴AP=FP， ∴△AEP≌△FBP， ∴△PFB 能由都经过 P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰三角形， 变换的方法为：将△BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和△EPA 重合，①沿 PF 折叠，②沿 AE 折叠．31 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和 灵活应用相关的性质与定理、判断出△AEP≌△△FBP 是解本题的关键． 30．已知 Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边 OB=4，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60°，如题图 1， 连接 BC． （1）填空：∠OBC=　 　°； （2）如图 1，连接 AC，作 OP⊥AC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿 O→C→B 路径匀速运动，N 沿 O→B→C 路 径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为 x 秒，△OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ 【来源】广东省 2018 年中考数学试题 【答案】（1）60；（2） ；（3） . 【详解】（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠OBC=60°， 故答案为：60；32 （3）①当 0＜x≤ 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NE⊥OC 且交 OC 于点 E，如图， 则 NE=ON•sin60°= x， ∴S△OMN= •OM•NE= ×1.5x× x， ∴y= x2， ∴x= 时，y 有最大值，最大值= ； ②当 ＜x≤4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动，33 ③当 4＜x≤4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OG⊥BC 于 G，如图， MN=12﹣2.5x，OG=AB=2 ， ∴y= •MN•OG=12 ﹣ x， 当 x=4 时，y 有最大值，最大值=2 ， 综上所述，y 有最大值，最大值为 ． 【点睛】本题考查了旋转变换综合题，涉及到二次函数的最值，30 度的直角三角形的性质、等边三角形的 判定和性质、三角形的面积等知识，仔细分析，正确添加辅助线，分类讨论的思想思考问题是解题的关键.