九年级数学下册第7章锐角三角函数7.2正弦、余弦7.2.2正弦、余弦值的求法同步练习2（新版）苏科版.doc

‎ ‎ ‎ [7.2　第2课时　正弦、余弦的求法]‎ 一、选择题 ‎1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎3．2018·常州模拟在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．如图K－27－1，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为(　　)‎ 图K－27－1‎ A. B. C. D. 8‎ ‎ ‎ ‎5．2016·菏泽如图K－27－2，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(　　)‎ 图K－27－2‎ A．25∶9 B．5∶3‎ C.∶3 D．5 ∶3 二、填空题 ‎6．如图K－27－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为__________．‎ 图K－27－3‎ ‎7．如图K－27－4，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．‎ ‎8．比较大小：sin24°________cos66°，cos15°________tan55°. 图K－27－4‎ ‎9．如图K－27－5，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝________．‎ 图K－27－5‎ ‎10．如图K－27－6，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交半圆O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为________．‎ 图K－27－6‎ ‎11．2018·泰安如图K－27－7，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．‎ 8‎ ‎ ‎ 图K－27－7‎ 三、解答题 ‎12．分别求出图K－27－8(1)(2)中∠A，∠B的正弦、余弦和正切值. 图K－27－8‎ ‎13．如图K－27－9，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．‎ 图K－27－9‎ ‎14．(1)在△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，求sinB的值；‎ ‎(2)如图K－27－10，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．‎ 图K－27－10‎ ‎15．如图K－27－11所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为边AC的中点，BC＝‎ 8‎ ‎ ‎ ‎14，AD＝12，sinB＝.‎ 求：(1)线段DC的长；‎ ‎(2)tan∠EDC的值．‎ 图K－27－11‎ 数形结合思想学习了正切值、正弦值、余弦值的求法后，我们知道tan30°＝，tan60°＝，tan45°＝1，那么tan67.5°的值是多少？‎ 如图K－27－12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA，延长CB到点D，使BD＝AB，则∠CAD＝67.5°.设AC＝k，则BC＝k，BD＝AB＝k，∴CD＝(＋1)k，∴tan∠CAD＝tan67.5°＝＝＝＋1，即tan67.5°＝＋1.‎ 请模仿以上解法，求sin15°的值．‎ 图K－27－12‎ 8‎ ‎ ‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] D　在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝.‎ ‎2．[解析] D　在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，∴设BC＝x，则AB＝2x.根据勾股定理求出AC＝x，∴tanA＝＝.‎ ‎3．[解析] D　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴sinB＝cosA＝.故选D.‎ ‎4．[解析] C　本题是易错题．易错误地认为∠OBC的余弦值等于.产生错误的原因就是没有正确理解三角函数的定义．可以连接CA并延长，交x轴于点D.根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得CD是圆的直径，并且∠D＝∠OBC，所以cos∠OBC＝cosD＝＝.‎ ‎5．[解析] A　如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′.‎ ‎∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，∴AD＝AB·sinB，A′D′＝A′B′·sinB′，BC＝2BD＝2AB·cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′·cosB′.‎ ‎∵∠B＋∠B′＝90°，‎ ‎∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB.‎ ‎∵S△ABC＝AD·BC＝AB·sinB·2AB·cosB＝25sinB·cosB，‎ S△A′B′C′＝A′D′·B′C′＝A′B′·sinB′·‎2A′B′·cosB′＝9sinB′·cosB′，‎ ‎∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.‎ ‎6．[答案] ‎[解析] 根据勾股定理可得AB＝＝＝3.由题意，可知∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sinB＝＝.‎ ‎7. ‎8．[答案] ＝　＜‎ ‎[解析] cos66°＝sin(90°－66°)＝sin24°，0＜cos15°＜1，1＝tan45°＜tan55‎ 8‎ ‎ ‎ ‎°，‎ ‎∴cos15°＜1＜tan55°.‎ 故答案为＝，＜.‎ ‎9．[答案] ‎[解析] 如图，过点A作AE⊥BC于点E.‎ ‎∵AB＝AC＝5，‎ ‎∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC.‎ ‎∵∠BPC＝∠BAC，‎ ‎∴∠BPC＝∠BAE.‎ 在Rt△BAE中，由勾股定理，得 AE＝＝＝3，‎ ‎∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝＝.‎ 故答案为.‎ ‎10．[答案] ‎[解析] 如图所示，连接BC.‎ ‎∵AB为半圆O的直径，‎ ‎∴∠BCA＝90°.‎ ‎∵OD⊥AC，‎ ‎∴CE＝AE＝AC＝×8＝4.‎ 在Rt△AOE中，OE＝＝＝3.‎ ‎∵AE＝CE，AO＝BO，‎ ‎∴OE是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC＝2OE＝6.‎ 在Rt△BCE中，BE＝＝＝2，‎ ‎∴sinα＝＝＝.‎ ‎11．[答案] ‎[解析] 由折叠知∠BA′E＝∠A＝90°，AE＝A′E，A′B＝AB＝6，故在Rt△A′BC 8‎ ‎ ‎ 中，由勾股定理，得A′C＝＝＝8.设AE＝A′E＝x，则CE＝x＋8，DE＝10－x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得(x＋8)2＝62＋(10－x)2，解得x＝2.在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以sin∠ABE＝＝＝.‎ ‎12．解：(1)由勾股定理，得AC＝＝4 ，‎ sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝；‎ sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝2 .‎ ‎(2)由勾股定理，得AB＝＝＝2，‎ sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝；‎ sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝3.‎ ‎13．[解析] 根据锐角三角函数的定义，找准对边、邻边、斜边．‎ 解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝，‎ ‎∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.‎ 在Rt△BCD中，BC＝＝10，‎ ‎∴sinB＝＝，cosB＝＝，‎ ‎∴sinB＋cosB＝.‎ ‎14．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，‎ ‎∴∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝.‎ ‎(2)设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝MD＝2x，CD＝4x，‎ ‎∴CE＝＝5x，‎ EM＝＝x，‎ CM＝＝2 x，‎ ‎∴EM2＋CM2＝CE2，‎ ‎∴△CEM是直角三角形，且∠CME＝90°，‎ ‎∴sin∠ECM＝＝.‎ ‎15．解：(1)在Rt△ABD中，‎ ‎∵sinB＝＝，且AD＝12，‎ ‎∴＝，∴AB＝15，‎ ‎∴BD＝＝9，‎ ‎∴DC＝BC－BD＝14－9＝5.‎ ‎(2)方法一：∵E为AC的中点，∠ADC＝90°，‎ ‎∴DE＝AC＝EC，∴∠EDC＝∠C.‎ 8‎ ‎ ‎ 在Rt△ADC中，tanC＝＝，‎ ‎∴tan∠EDC＝tanC＝.‎ 方法二：过点E作EH⊥DC于点H，则EH∥AD，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∵E为AC的中点，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴CH＝2.5，EH＝6，‎ ‎∴＝.‎ 又∵DH＝CH＝2.5，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴tan∠EDC＝.‎ ‎[素养提升]‎ 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，则∠CDA＝15°.‎ 设AC＝k，则BD＝AB＝2AC＝2k，BC＝k，‎ ‎∴CD＝(＋2)k，‎ ‎∴AD2＝AC2＋CD2＝k2＋(＋2)2k2＝(8＋4 )k2＝(＋)2k2，‎ ‎∴AD＝(＋)k，‎ ‎∴sin∠CDA＝sin15°＝＝＝，‎ 即sin15°＝.‎ 8‎