北京市海淀区2019届高三上学期期中数学（文）试卷Word版含解析.doc

北京市海淀区2019届高三第一学期期中数学（文）试题 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合，若，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．‎ ‎【详解】∵2∈A；‎ ‎∴2﹣a≤0；‎ ‎∴a≥2；‎ ‎∴a的取值范围为[2，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．‎ ‎2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；‎ 对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；‎ 对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值 对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．‎ ‎3.函数满足，则的值是 A. 0 B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得φ，进一步得到的值．‎ ‎【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，‎ 得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．‎ 则φ=，k∈Z．‎ ‎∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．‎ ‎∴=sinπ=0．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．‎ ‎4.已知向量，，则向量，夹角的大小为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．‎ ‎【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），‎ ‎∴cosθ===，所以 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．‎ ‎5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．‎ ‎【详解】函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点，‎ ‎∴=2，=2，‎ 解得a=，b=16．‎ 则ab=8．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.在中，“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.‎ ‎7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．‎ ‎【详解】数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．‎ ‎∴a＜2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是 A. B. C. D. 不能确定的 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可在的两边分别乘可得出 ，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．‎ ‎【详解】∵；‎ ‎∴，，；‎ ‎∴，，；‎ ‎∵；‎ ‎∴，；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.角的终边经过点，则 _____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．‎ ‎【详解】∵角θ的终边经过点P（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，则tanθ==﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎10.等差数列中，，，则中为正数的项的个数为______。‎ ‎【答案】 3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合等差数列的通项公式求出an，然后利用等差数列的通项公式即可求解.‎ ‎【详解】∵等差数列{an}中，a1=5，a2+a5=0，‎ ‎∴5+d+5+4d=0，‎ ‎∴d=﹣2，‎ ‎∴an=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7，‎ a1＞0，a2＞0，a3＞0，‎ n≥4时，an＜0，‎ 则{an}中为正数的项的个数为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，属于基本运算的应用．‎ ‎11.已知，是不共线的两个向量， ，则______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知，==，代入即可求解．‎ ‎【详解】，是不共线的两个向量，=，‎ ‎∴==，‎ 则==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题．‎ ‎12.函数在区间上的最大值为____。‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数的性质求出结果．‎ ‎【详解】由于：x∈[0，π]，‎ 所以：，‎ 则：，‎ 则，‎ 所以函数的最大值为2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基 础题型．‎ ‎13.能说明“若存在，使得 ，则不是偶函数”为假命题的一个函数 是______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出一个函数，使得函数是偶函数，但是，满足存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）的命题，然即可得到结果．‎ ‎【详解】“若存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题，‎ 例如：f（x）=x2﹣1．当x=﹣1时，满足f（﹣1）=0，f（1）=0，‎ 满足存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），但是函数f（x）是偶函数，‎ 故答案为：f（x）=x2﹣1．‎ ‎【点睛】本题考查命题是真假，函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查．‎ ‎14.已知函数 ‎（1）当1时，函数的值域是________；‎ ‎（2）若函数的图像与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是______‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求解y=﹣x2+2x，x≤1，和y=x，x＞1的值域，可得f（x）的值域；（2）作出 分段函数的图象数形结合，可得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当a=1时，即当x≤1时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，‎ 当x＞1时，f（x）=x＞1，综上所述当a=1时，函数f（x）的值域是R，‎ ‎（2）由f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，其对称轴x=1，‎ 当a＞1时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象，存在直线y=a没有交点；‎ 当0≤a≤1时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a只有一个交点，‎ 当a＜0时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a没有交点；‎ 要使函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是[0，1]；‎ 故答案为：R；[0，1]．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题.‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将x=0带入，即可求f（0）的值；（Ⅱ）利用二倍角公式化简，利用三角函数的单调 性即可求解函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数．‎ 当x=0时，可得f（0）=‎ ‎（Ⅱ）由函数==sinx+cosx=sin（x+）‎ 令x+‎ 得：≤x≤‎ ‎∵x，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间[，），k∈Z．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，化简能力和单调性的求法，注意定义域范围．‎ ‎ ‎ ‎16.设是等比数列 ，其前项的和为 ，且, . ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）； （2）6 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，结合等比数列的通项公式可求a1，q进而可求an.（Ⅱ）由等比数 列的求和公式可求Sn，代入解不等式可求n的范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设的公比为q 因为，所以 所以 又，所以 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为 所以 由，得，即 解得，所以n的最小值为6.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．‎ ‎17.如图，在四边形中， .‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若是的角平分线，求的长.‎ ‎【答案】（1） ； （2）5 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知及余弦定理可得cos∠B，利用诱导公式即可计算得解cos∠D的值，（Ⅱ）由 已知可得∠DAC=∠BAC，根据正弦定理，结合sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，可求DC=BC 即可得解DC的值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=7，‎ ‎∴由余弦定理可得cos∠B===﹣，‎ ‎∵∠B+∠D=π，‎ ‎∴cos∠D=cos（π﹣∠B）=﹣cos∠B=．‎ ‎（Ⅱ）∵AC是∠DAB的角平分线，‎ ‎∴∠DAC=∠BAC，‎ ‎∴由正弦定理，在△ABC中，有，‎ 在△ADC中，有，‎ ‎∵sin∠ABC=sin∠DAC，且sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，‎ ‎∴DC=BC，‎ ‎∴DC=5．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．‎ ‎18.已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线是曲线的切线；‎ ‎（Ⅲ）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值）‎ ‎【答案】（1）递增区间为，，单调递减区间为； （2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的导数f′（x），由f′（x）＞0，得f（x）单调递增；f′（x）＜‎ f（x）单调递减；（Ⅱ）由f′（x）=3x2+2x+a，令f′（x）=）=3x2+2x+a=a，解得x1=0，x2=，‎ 而f（0）=﹣1，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=ax﹣1，由此可得，无论a为何值，直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线；（Ⅲ）取a的值为﹣2．‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为 当a=-1时，‎ 所以 令，得，‎ 当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎-1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 ‎（Ⅱ）因为 令，解得，‎ 而，曲线在点处的切线方程为，‎ 即所以无论a为何值，直线都是曲线在点处的切线 ‎（Ⅲ）取a的值为-2这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数 的增减性研究函数的零点问题，是中档题．‎ ‎19.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证: .‎ ‎【答案】（1） ； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）．可得a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，联立解 得a1，a2，a3．（II）n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+2（﹣1）n．当n为偶数时，an=2n+1；‎ 当n为奇数时，an=2n﹣3（n＞1）．利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】（I）解：∵．∴a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，‎ 联立解得：a1=0，a2=5，a3=3．‎ ‎（II）证明：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+（﹣1）n﹣[（n﹣1）2+（﹣1）n﹣1]‎ ‎=2n﹣1+2（﹣1）n．‎ 当n为偶数时，an=2n+1；当n为奇数时，an=2n﹣3（n＞1）．‎ ‎∴a1+a3+a5+…+a2n+1=0+3+7+……+2（2n+1）﹣3==2n2+n．‎ a2+a4+a6+…+a2n=5+9+……+（2n+1）==2n2+3n．‎ ‎∵2n2+3n﹣（2n2+n）=2n＞0．‎ ‎∴a1+a3+a5+…+a2n+1＜a2+a4+a6+…+a2n．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，存在，使得.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，‎ 从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）根据f（x）的最小值是f（）=，存在x0，使得f（x0）‎ ‎＜1⇔f（）＜1，由f（）﹣1=，设g（x）=lnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，且。‎ 因为 令，得到，‎ 当m>0时，x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数在处取得极小值 当m0时，由（Ⅰ）可知，的最小值是，所以“存在，使得 等价于“”‎ 所以.‎ 设 则 当0