河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式得到集合，根据指数函数的性质求出的值域B，取交集即可．
【详解】，
，则，故选D.
【点睛】本题主要考查了集合的运算，考查解不等式问题，指数函数的性质，准确求出集合A，B是解题的关键，属于基础题．
2.已知复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算法则求出，由此能求出复数的虚部．
【详解】∵复数满足：(其中为虚数单位)，
∴．
∴复数的虚部等于，故选C.
【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．
3.命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则( )
A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.
【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，
对于命题∵，，∴函数在上有一个零点，
又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，
由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.
【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可．
4.正项等比数列中的，是函数的极值点，则( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，由于，是函数的极值点，可得，，即可得出结果．
【详解】，∴，
∵，是函数的极值点，
∴，又，∴．
∴，故选A．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
5.已知是正方形的中心，若，其中，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量加减运算的三角形法则以及平面向量基本定理求出，，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，，∴，故选A．
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．平面向量基本定理补充说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行，（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
6.在中，角所对的边分别为，且.若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
结合，利用余弦定理可得，可得，由，利正弦定理可得，代入，可得，进而可得结论.
【详解】在中，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，代入，∴，解得．
∴的形状是等边三角形，故选C．
【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点的纵坐标易得，求出，根据三角形的面积公式得到，结合范围得出，将所求等式利用三角恒等式可化简将代入即可得结果.
【详解】角、角的终边分别交单位圆于、两点，
∵点的纵坐标为，∴，，
∵，∴，，
又∵，∴，
∴，即
∴
，故选B.
【点睛】本题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．
8.已知公比不为1的等比数列的前项和为，且满足、、成等差数列，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
公比不为1的等比数列的前项和为，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.
【详解】公比不为1的等比数列的前项和为，、、成等差数列，
可得，即为，即，
解得（1舍去），则，
故选C.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
9.已知函数，若函数与图象的交点为，，…，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合函数的解析式可得，求出的对称轴为，根据两图象的对称关系分为为奇数和偶数即可得出答案．
【详解】∵，
∴
∴的图象关于直线对称，
又的图象关于直线对称，
当为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，
∴，
当为奇数时，两图象的交点有个两两对称，另一个交点在对称轴上，
∴，故选A．
【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的性质得到，属于中档题．
10.将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得，再由已知得函数的最小正周期为，求得，结合对任意恒成立列关于的不等式组求解．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，
又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即．
∴，当时，，
∵，，
∴，解得，∴的取值范围是，故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．
11.已知函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数，然后构造函数利用导数，求解函数的最值即可．
【详解】函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，∴恒成立，
化为：，即，；
令，（），．
令，，
函数在单调递增，，
∴时，，，函数单调减函数，时，，，函数单调增函数，所以，∴，故选C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
12.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出，，求出的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间，求出的最小值，问题转化为只需即可，求出的范围即可．
【详解】∵，∴，
∴，解得，，解得，
∴，∴，
∴在递增，而，
∴在恒成立，在恒成立，
∴在递减，在递增，∴，
若存在实数使得不等式成立，
只需即可，解得：，故选D．
【点睛】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，属于中档题．由，得函数单调递增，得函数单调递减；注意区分“恒成立问题”与“能成立问题”之间的区别与联系.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.平面向量与的夹角为，，，则等于____________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用向量的数量积的定义，可得 ，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．
【详解】由向量与的夹角为，，|，可得，，
则，故答案为.
【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题.
14.在中，分别是内角的对边且为锐角，若，，，则的值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理可得，利用三角形面积公式可得，联立①②可得，，利用同角三角函数基本关系式可求，由余弦定理可得的值.
【详解】∵，∴，可得：，①
∵，，
∴，②
∴联立①②可得，，
∵，且为锐角，∴，
∴由余弦定理可得：，解得：，故答案为.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题.
15.已知数列的前项和为，且满足：，，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
，则，化为：，由，，可得，可得数列是等比数列，首项为2，公比为2，即可得出．
【详解】，则，
化为：．
由，，可得，
因此对都成立．
∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．
∴，即，故答案为.
【点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
16.已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有交点得出的范围即可．
【详解】关于直线对称的直线为，
∴直线与在上有交点，
作出与的函数图象，如图所示：
若直线经过点，则，若直线与相切，
设切点为，则，解得．
∴，故答案为.
【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的值.
【答案】（1） .； （2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】(1)设等差数列的公差为，由，得，
则有，所以，故 .
(2)由(1)知，，则，
所以
.
【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
18.在中, 内角,,的对边分别为,, ,且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为,且,求.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值，从而求得的值．
试题解析：（1）由及正弦定理可得,,,又因为.
（2）①,
又由余弦定理得,代入①式得,
由余弦定理．
,得.
考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．
19.已知数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件推导出，从而得到，由此能求出结果；（2）由，利用裂项求和法求出，从而得到为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出的取值范围．
【详解】(1)证明：由，
得，
∴，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
从而；
(2)，
.
，两式相减得
，
∴.
∴，
若为偶数，则，∴，
若为奇数，则，∴，∴，
∴.
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．
20.已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果，，进一步建立等量关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果．
【详解】∵，得，得，
即，所以，
又，∴，故，，
.
(2)，所以，得①，
由(1)得，所以.
在中，由正弦定理，得，即②，
联立①②，解得，，则，所以.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型．
21.已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，； （2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，分为和两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的，恒有成立，即，根据，分离，从而求出的范围即可．
【详解】(1)函数定义域为，且，
令，得，，
当时，，函数在定义域单调递减；
当时，由，得；由，得或，
所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.
综上所述，
当时，在定义域单调递减；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.
(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，.
问题等价于：对任意的，恒有成立，即.
因为，则，∴，
设，则当时，取得最小值，
所以，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．
22.已知函数(其中，是自然对数的底数).
(1)若，当时，试比较与2的大小；
(2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而比较大小即可；（2）问题转化为方程有两个根，设，根据函数的单调性，结合函数图象证明即可．
【详解】(1)当时，，则，令，，
由于，故，于是在为增函数，
所以，即在恒成立，
从而在为增函数，故.
(2)函数有两个极值点，，则是的两个根，即方程有两个根，
设，则，
当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示：
故实数的取值范围是，又由上可知函数的两个极值点，满足，由
得，
∴，由于，
故，所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、二次函数的值域、不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属于难题，通过对导函数进行求导，判断导函数的单调性，得到其与0的关系是解题的关键.
微信/支付宝扫码支付