2016~2017学年度第一学期期末考试
高三数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.若，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
4.的值为（ ）
A． B． C. D．1
5. 已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.设都是正数，则三个数（ ）
A．都大于4 B．都小于4 C. 至少有一个大于4 D．至少有一个不小于4
7.已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
8.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（ ）
A． B． C. D．
9.设实数满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C. 0 D．1
10.若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数的值为（ ）
A． B．2 C. 1 D．0
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知向量，，若，则实数 ．
12.等差数列的前项和为，且，则公差 ．
13.执行如图的程序框图，则输出的 ．
14.若函数能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间上为增函数，则正整数的值为 ．
15.已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.已知定义在上的偶函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的值.
17.在锐角中，是角的对边，.
（1）求角的度数；
（2）若，且的面积是，求.
18.如图，在三棱柱中，底面，，是棱上一点.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小.
19.对于数列，，为数列是前项和，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20.已知椭圆:的离心率为，且与轴的正半轴的交点为，抛物线的顶点在原点且焦点为椭圆的左焦点.
（1）求椭圆与抛物线的标准方程；
（2）过的两条相互垂直直线与抛物线有四个交点，求这四个点围成四边形的面积的最小值.
21.已知函数，其中为常数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若垂直两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDADA 6-10:DCCAB
二、填空题
11.2 12.2 13.4 14.7 15.
三、解答题
16.解：（1）设，则，∴，又为偶函数，∴，∴，故.
（2）当时，；
当时，.
故.
17.解：（1）在中，，那么由，可得，得，则在锐角中，.
（2）由（1）知，且，得，由余弦定理得，那么，则，可得.
18.解：（1）∵三棱柱中，平面，∴.
∵，∴，即.又，∴平面，∵平面，∴.
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.因为，
所以，.
设平面的一个法向量，则，即，令，则，即，又平面的一个法向量，∴，由图可知二面角为锐角，∴二面角的大小为.
19.解：（1））因为，所以，
所以
，
所以数列的通项公式为，
由，可得，
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）可得，
所以 ①，
②，
②①得，
所以．
20.解：（1）设半焦距为，由题意得，∴，∴椭圆的标准方程为.
设抛物线的标准方程为，则，∴，∴抛物线的标准方程为.
（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为0，设其中一条直线的斜率为，直线方程为，则另一条直线的方程为，联立得，，设直线与抛物线的交点为，则，同理设直线与抛物线的交点为，则，
∴四边形的面积
，令，则（当且仅当时等号成立），.
∴当两直线的斜率分别为和时，四边形的面积最小，最小值为96.
21.解：（1）函数的定义域为.
，记，判别式.
①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.
②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然
（ⅰ）若，图象的对称轴，.
两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.
（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.
，
∴又，
.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.
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