上饶市2017届第一次高考模拟考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为实数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数，则的共轭复数是（ ）
A．1 B． C． D．
3.已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4.下列说法正确的是（ ）
A．，，若，则且
B．，“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是“，都有”
D．设随机变量，若，则实数的值为2
5.《九章算术》教会了人们用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织6尺布，现一月（按30天计）共织540尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．
A． B． C． D．
6.已知双曲线方程为，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.函数的图象不可能是（ ）
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．5 B． C． D．
9.执行如图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
10.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
11.已知，满足约束条件当目标函数（，）在该约束条件下取得最小值1时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知外接圆半径是2，，则的面积最大值为 ．
14.在边长为1的正方形中，，的中点为，，则 ．
15.已知，展开式的常数项为15，则 ．
16.已知函数（），若函数的所有零点依次记为，，，…，，且，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知公比不为1的等比数列的前5项积为243，且为和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足（且），且，求数列的前项和．
18. （本小题满分12分）
水是地球上宝贵的资源，由于介个比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；
（2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设为用水量吨数在中的获奖的家庭数，为用水量吨数在中的获奖家庭数，记随机变量，求的分布列和数学期望．
19. （本小题满分12分）
在三棱柱中，已知侧面是菱形，侧面是正方形，点在底面的投影为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设为上一点，且，求二面角的正弦值．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．
21. （本小题满分12分）
已知函数（为常数）．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线：（参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点的直角坐标；
（2）设为曲线上的点，求中点到曲线上的点的距离的最小值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若存在，也存在，使得成立，求实数的取值范围．
上饶市2017届第一次高考模拟考试数学（理科）试题卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由前5项积为243得：，设等比数列的公比为，
由为和的等差中项得：，由公比不为1，解得：，
所以．
（2）由，得，
数列，
所以它的前项和．
18.解：（1）由图，不低于3吨人数所占百分比为，
所以假设全市的人数为（万人），则有，解得，
所以估计全市人数为30万．
（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，
因为频率，
所以，得，
用水量在之间的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在之间应抽取的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户．
据题意可知随机变量的取值为0,2,4．
，
，
，
其分布列为：
0
2
4
期望为：．
19.（1）证明：点在底面的投影为的中点，
所以平面，所以，
又因为侧面是正方形，，
因为与在平面上不平行所以必相交于一点，由上可得：平面，
所以平面平面．
（2）如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
不妨设菱形边长为2，易知，，，因为为中点且有
，所以，
又因为平面为菱形，所以为等边三角形，
从而，从而，
所以点的坐标为，
因为，所以，
又因为，所以，
设平面的法向量为，
，，
所以即
令，则，，所以，
易知平面的法向量，
所以，
所以，
从而二面角的正弦值为．
20.解：（1）因为椭圆的右焦点，，所以，
因为在椭圆上，所以，
由，得，，
所以椭圆的方程为．
（2）由得：，
即，可得，
①当垂直轴时，，
此时满足题意，所以此时直线的方程为；
②当不垂直轴时，设直线的方程为，
由消去得，
设，，所以，，
代入可得：，
代入，，得，
代入化简得：，解得，
经检验满足题意，则直线的方程为，
综上所述直线的方程为或．
21.解：（1），，
当时，由，解得，即当时，，单调递增；由解得，即当时，，单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，故，即在上单调递增．
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为．
（2）由得，
由已知有两个互异实根，，
由根与系数的关系得，，
因为，（）是的两个零点，故 ①
②
由②①得：，
解得，
因为，得，
将代入得
，
所以，
设，因为，
所以，所以，
所以，所以．
构造，得，
则在上是增函数，
所以，即的最小值为．
22.解：（1），得，
故曲线的直角坐标方程为，
点的直角坐标为．
（2）设，故中点，
的直线方程为，
点到的距离
，
中点到曲线上的点的距离的最小值是．
23.解：（1）由题意可得
因为，
由函数图象可得不等式的解为，
所以不等式的解集为．
（2）因为存在，存在，使得成立，
所以，
又，
由（1）可知，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
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