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2017届高三第二学期期初六校联考数学试卷
注意事项:
1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
参考公式：
圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.
圆锥的体积公式：=Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合，，则 ▲ ．
2. 已知复数(为虚数单位)，则 ▲ ．
3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，
第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ▲ ．
4. 阅读下列程序，输出的结果为 ▲ ．
5. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，
则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．
6. 已知函数，，则的值域是 ▲ ．
7. 已知函数的定义域为，集合，
若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ▲ ．
8. 已知实数、满足，则的最大值为 ▲ ．
9. 在△中，若，则 ▲ ．
10. 若直线与函数的图象恰有一个公共点，
则实数的取值范围为 ▲ ．
11. 已知函数，对于等差数列满足：，，
是其前项和，则 ▲ ．
12. 在△中，已知，，点为三角形的外心，则 ▲ ．
13. 圆，点，，若点为线段上的任意点，
在圆上均存在两点、，使得，则半径的取值范围 ▲ ．
14. 已知正实数满足，则的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，，它们终边分别经过点，
其中，，，且.
（1）求的值；（2）求的值．
16．（本小题满分14分）
A
B
C
D
P
M
N
如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，
AB⊥BP，M为AC的中点，N为PD上一点.
（1）若MN∥平面ABP，求证：N为PD的中点；
（2）若平面ABP⊥平面APC，求证：PC⊥平面ABP.
17. （本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0) 的焦距为2，过右焦点F的直线交椭圆于两点，当与轴垂直时，长为．
（1）求椭圆的标准方程；
y
O
（2）若椭圆上存在一点P，使得，求直线的斜率.
A
F
x
B
（第17题图）
18. （本小题满分16分）
某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗．
（1）若漏斗的半径为R，求圆形铁皮的半径R；
（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？
19.（本小题满分16分）
已知函数， 。
（1）若两个实数满足，且，求的取值范围；
（2）证明：当时，存在，使得对任意的，恒有；
（3）已知，证明：存在，使得.
20．（本小题满分16分）
设三个各项均为正整数的无穷数列，，.记数列，的前项和分别为
，，若对任意的，都有，且，则称数列为可拆分数列.
（1） 若，且数列，均是公比不为1的等比数列，
求证：数列为可拆分数列；
（2） 若且数列，均是公差不为0的等差数列，
求所有满足条件的数列，的通项公式；
（3） 若数列，，均是公比不为1的等比数列，且，
求证：数列为可拆分数列.
2017届高三第二学期期初六校联考数学附加题
注 意 事 项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在答题卡的规定位置．本试卷第21题为选答题，第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．
2．第21题有4个小题供选做，考生在4个选做题中选答2题，并在答题卡上把对应的方框用2B铅笔涂黑，如不涂，则该题按零分计算，如多涂，则按所涂题中的前2题计分．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F，求证：△PDF∽△POC.
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M＝，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝3，曲线C的参数方程为设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
D．选修4—5：不等式选讲
设a、b、c、d都是正数，且x＝，y＝. 求证：xy≥.
【必做题】第22题、第23题每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，已知SD底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
,, E为棱SB上的一点，且DESC.
S
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求直线EC与平面ADE所成角.
E
C
D
A
B
23．（本小题满分10分）
已知实数数列满足：，，.
证明：当时，是单调减数列.
2016---2017学年高三数学第二学期期初六校联测卷
评分标准
一、填空题（每小题5分）
题号
答案
考查知识内容
方法与技能
1
集合的运算
运算与概念
2
复数的运算，复数的概念
运算与概念
3
8
频率分布表
计算与概念
4
22
伪代码
运算
5
古典概型
枚举与计算
6
三角函数的单调性和值域
运算
7
函数的性质、逻辑
数形结合
8
4
线性规划
数形结合与运算
9
三角恒等变换
变形、转化
10
函数与方程
转化、计算、数形结合
11
4034
函数的性质和等差数列的性质
运算
12
14
向量的数量积
运算
13
圆的综合
数形结合、运算
14
齐次化思想、基本不等式求最值
化归、换元、运算
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15.解：（1）由得： ……4分
所以： ……7分
（2）由，，
则
故 ……10分
因此 ……14分
【说明】本题是原创题，考查任意角三角函数的定义；考查和角公式；考查学生的字母符号处理能力、运算能力、书写表达能力.
16. （1）连接BD，由四边形为矩形得：M为和的中点，
∵MN∥平面ABP，MNÌ平面BPD，平面BPD平面ABP＝BP，∴MN∥BP，……4分
∵M为AC的中点，∴N为PD的中点. ……6分
（2）在△ABP中，过点B作BE⊥AP于E，
∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC＝AP，BEÌ平面ABP，BE⊥AP
∴BE⊥平面APC， ……9分
又PCÌ平面APC，∴BE⊥PC.
∵ABCD为矩形，∴ AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP＝B，BC，BP Ì平面BPC，
∴AB⊥平面BPC， ……12分
∴AB⊥PC
又BE⊥PC， ABÌ平面ABP，BEÌ平面ABP，AB∩BE＝B，
∴PC⊥平面ABP ……14分
【说明】本题是源于课本，考查线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，考查规范化书写表达能力.
17. 解：(1)由题意可知，
当与轴垂直时， ……2分
因为所以，
故椭圆的标准方程是：. ……4分
(2)设直线的斜率为，则直线的方程：，设点,，.
由可得 ……6分
则，. （*）
因，则，代入椭圆方程有
，又，，化简得
，即， ……10分
将（*）代入得
，，即.
故直线的斜率为. ……14分
【说明】本题原创题. 主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与椭圆等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.
18.解：(1)漏斗高h＝＝R， ……2分
则体积V＝π(R)2h，所以R＝2． ……6分
(2) 设漏斗底面半径为r(r＞0)，V＝πr2，R＝， ……9分
令f(r)＝＋r2(r＞0)，则f′(r)＝－＋2r＝
所以f(r)在(0，)上单调减，(，＋∞)单调增， ……12分
所以当r＝时，R取最小值为. ……15分
答：这张圆形铁皮的半径R至少为. ……16分
【说明】第二问用三元基本不等式也给相应分数.本题是改编题.
考查几何中的最值、函数中的最值的求法；考查函数思想；考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力和叙述表达能力.
19. 解：(1)由，且得. ……1分
故有, ……2分
易知函数在上单调递减，
而时；时，，
所以，的取值范围是 ． ……4分
（2） 令 ，
则有，， ……5分
当 时，，故 在 上单调递增，．
故任意正实数 均满足题意. ……7分
当 时，令 ，得 ．
取，对任意 ，有 ，从而 在 上单调递增，
所以 ，即 ． ……9分
综上，当 时，总存在 ，使得对任意 ，
恒有 ． ……10分
（3）记，
要证 存在，使得，
即证 函数在上存在零点．
因在上单调递减，
故只需证且，即证 ． ① ……12分
下证：当时，①式成立．
记，，
由，
可得在上单调增，上单调减， ……13分
由，得，，
从而有且，
即有且，
化简得． ……15分
又，故有成立． ……16分
【说明】本题原创，考查用导数研究函数的单调性，函数与方程等基础知识,考查了分类讨论、划归思想；考查运算变形能力.
20.解：（1）由令.
则.
所以, 对任意的，都有，且 ……3分
（2）设数列，的公差分别为
由得
对任意的都成立.
所以，即① ……5分
由，得，则.
由，得对任意的成立.
则且即且②
由数列，各项均为正整数，则均为正整数
当时，由，得不符；所以③ ……7分
由①②③，得或或或
所以或或或 . ……9分
（3）设下面证明：
当为无理数时，为无理数，与矛盾.
故为有理数，设为正整数，且互素）. ……11分
此时.则对任意的，均为的约数，则，即，
故，所以 ……14分
所以令
则，各项均为正整数. 因为,所以则
所以,数列为可拆分数列. ……16分
【说明】本题是改编题，此题为新定义题，考查阅读理解能力；考查一般与特殊思想、转化与化归思想；考查运算能力；考查分析探究推理能力.
高 三 数 学（理科附加题）答案
2016年2月
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在答题卡的规定位置．本试卷第21题为选答题，第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．
2．第21题有4个小题供选做，考生在4个选做题中选答2题，并在答题卡上把对应的方框用2B铅笔涂黑，如不涂，则该题按零分计算，如多涂，则按所涂题中的前2题计分．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：∵ AE＝AC，∠CDE＝∠AOC， ……3分
又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，
从而∠PFD＝∠OCP. ……8分
在△PDF与△POC中，
∠P＝∠P，∠PFD＝∠OCP，
故△PDF∽△POC. ……10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ＋2， ……2分
令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.(4分)
将λ1＝1代入二元一次方程组 解得x＝0，……6分
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为； ……8分
同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为. ……10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：由ρsin(θ－)＝3，得ρ(sinθ－cosθ)＝3，
∴ y－x＝6，即x－y＋6＝0. ……3分
由得x2＋y2＝4， ……6分
∴ 圆心到直线l的距离d＝＝3. ……8分
∴ P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5. ……10分
D．选修4—5：不等式选讲
证明： ∵ (a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(ad－bc)2≥0，
∴ (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.又a、b、c、d均为正数，
∴ ≥ac＋bd＞0 ①，
同理≥ad＋bc＞0 ②， ……6分
① ×②得：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)(ad＋bc)＞0，
∴ ≥，即xy＞. ……10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，． ……1分
（Ⅰ），，令，则，
，
因DESC，则，即，故.
所以. ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
设为平面的法向量，则，，
即，不妨令，
可得为平面的法向量， ……7分
于是,. ……9分
所以直线与平面所成角为. ……10分
23．（本小题满分10分）
证明：当时，有
. ……2分
下面有数学归纳法证明：（）
（1）当时，； ……4分
（2）假设时，结论成立，即；
那么，.
故由（1）（2）知，. ……8分
因此，当，，
即当时，是单调减数列. ……10分
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