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江苏省交于学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题
2017.1
一、 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合，则 .
2. 已知，若是纯虚数（其中为虚数单位），则 .
3.某单位有老人20人，中年人120人，青年人100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为的样本，已知青年人抽取的人数为10人，则 .
4.双曲线的右焦点与左准线之间的距离是 .
5．函数的定义域为 .
6.执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值 .
7.满足等式的值为 .
8.设为等差数列的前项和，若，则 .
9.男队有号码1,2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为 .
10.以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为 .
11.在中，是的外心，若，则的取值范围为 .
12.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，若是椭圆与抛物线的公共点,且直线经过焦点F，则该椭圆的离心率为 .
13.在中，角的对边分别为，若
，则 .
14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.（本题满分14分）在中，角的对边分别为，若
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16.（本题满分14分）在中，所有棱长均相等，且为的中点，求证：
（1）平面；
（2）.
17.（本题满分14分）已知圆与椭圆的一个公共点为为椭圆E的右焦点，直线与圆相切于点.
（1）求的值及椭圆的方程；
（2）过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线？
18.（本题满分16分）
某辆汽车以千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为
升，其中为常数，且.
（1）若汽车以千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使每小时的油耗不超过9升，求的取值范围；
（2）求该汽车行驶千米的油耗的最小值.
19.（本题满分16分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的单调区间；
（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；
（3）若，当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围（其中e是自然对数的底数，）.
20.（本题满分16分）已知数列满足
（1）若是等差数列，，且，求公差的取值集合；
（2）若成的比数列，公比是大于1的整数，
且，求正整数的最小值；
（3）若成等差数列，且，求正整数k的最小值及k取最小值时公差d的值.
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高三数学Ⅱ试题（附加题）
21【选做题】在A,B,C,D四个小题中只能选择两题，每小题10分，共计20分.
A. 选修4—1：几何证明选讲
如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA,切点为A,连接OP与圆O交于点C,过点C作圆O作AP的垂线，垂足为D,若求CD的长.
B.选修4—2：矩阵与变换
已知绝阵，列向量，若，直接写出，并求出.
C.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆被射线（为常数，且）所截得的弦长为，求的值.
D.选修4-5：不等式选讲
已知，且，求的最小值.
22.（本小题10分）
如图，以正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中为中点，正四棱锥的底面边长为，高为，且有
（1）求的值；
（2）求二面角的余弦值.
23.（本小题满分10分）
对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.
例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.
（1）根据恒等式两边（其中）的系数相同，直接写出一个恒等式；
（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：，其中是指不超过的最大整数.
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