第6章 图形的相似
本章中考演练
一、选择题
1．2018·广东在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为( )
A. B. C. D.
2．2017·连云港如图6－Y－1，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )
图6－Y－1
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为( )
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(m，n)
D．(m，n)或(－m，－n)
4．2016·盐城如图6－Y－2，点F在▱ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
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图6－Y－2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．2018·绍兴学校门口的栏杆如图6－Y－3所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )
图6－Y－3
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m
6．2016·安徽如图6－Y－4，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
图6－Y－4
A．4 B．4 C．6 D．4
7．2018·泰州如图6－Y－5，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．若点P与点Q的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是( )
图6－Y－5
A．线段PQ始终经过点(2，3)
B．线段PQ始终经过点(3，2)
C．线段PQ始终经过点(2，2)
D．线段PQ不可能始终经过某一定点
8．2018·扬州如图6－Y－6，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是( )
图6－Y－6
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A．①②③ B．① C．①② D．②③
二、填空题
9．2017·临沂如图6－Y－7，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝________．
图6－Y－7
10．2018·连云港如图6－Y－8，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE与△ABC的面积的比为________．
图6－Y－8
11．2018·南充如图6－Y－9，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．
图6－Y－9
12．2018·连云港如图6－Y－10，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF，已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为________．
图6－Y－10
三、解答题
13．2018·杭州如图6－Y－11，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
图6－Y－11
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14．2018·南京如图6－Y－12，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.
(1)求证：△AFG∽△DFC；
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．
图6－Y－12
15．2018·徐州改编如图6－Y－13①，一副三角尺满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°.
操作：将三角尺DEF的直角顶点E放置于三角尺ABC的斜边AC上，再将三角尺DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q.在旋转过程中：
(1)如图②，当＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；
(2)如图③，当＝2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；
(3)根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当＝m时，EP与EQ满足的数量关系式为________，其中m的取值范围是________．(直接写出结论，不必证明)
图6－Y－13
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详解详析
1．[解析] C 因为D，E分别是边AB，AC的中点，故DE是△ABC的中位线，且DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，且相似比是，它们的面积比是相似比的平方，等于.故选C.
2．[解析] D 由相似三角形的性质可知：相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．故A，B，C不正确，D正确．
3．[解析] B 通过位似把△AOB放大到原来的两倍，则对应点的横、纵坐标分别乘2或－2，故点P(m，n)的对应点的坐标为(2m，2n)或(－2m，－2n)．
4．[解析] C ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
故选C.
5．[解析] C 由AB⊥BD，CD⊥BD可得AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，∴CD＝0.4，故选C.
6．[解析] B ∵BC＝8，AD是中线，∴CD＝4.
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，∴＝，
∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，
∴AC＝4 (负值已舍去)．
故选B.
7．[解析] B 如图，连接OA交PQ于点C，过点C作CD∥AB，交y轴于点D.∵A(9，6)，∴AB＝9，OB＝6.∵AB∥OP，∴△OPC∽△AQC，∴＝＝，∴＝.∵CD∥AB，∴△ODC∽△OBA，∴＝＝＝，∴CD＝3，OD＝2，∴C(3，2)，∴线段PQ始终经过点(3，2)．
8．[解析] A 由题意，得＝＝，∠BAE＝∠CAD＝135°，∴△BAE∽△CAD，故①正确；
∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA.
又∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，
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∴＝，∴MP·MD＝MA·ME，故②正确；∵＝，∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∴∠CPA＝90°.易知∠CAE＝90°，∴∠CPA＝∠CAM，而∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，＝，∴CP·CM＝CA2＝2CB2，故③正确．故选A.
9．[答案] 4
[解析] ∵AB∥CD，∴＝＝，即＝，
解得AO＝4.故答案为4.
10．[答案] 1∶9
[解析] 由AD∶DB＝1∶2，得AD∶AB＝1∶3.又因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以＝()2＝.
11．[答案]
[解析] ∵BF平分∠ABC，DF∥BC，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠DFB，＝，∴DF＝BD＝2，＝，∴DE＝，∴EF＝DF－DE＝.
12．[答案] 2
[解析] 设AB＝2a，BC＝2b.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠DAG＋∠AGD＝90°.又∵AG⊥GF，∴∠AGD＋∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△DAG∽△CGF，∴＝，∴＝，∴a2＝2b2，而AC2＝(2a)2＋(2b)2＝()2＝6，∴4a2＋2a2＝6，解得a＝1(负值舍去)，∴AB＝2.
13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，
∴△BDE∽△CAD.
(2)∵BC＝10，AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD＝5.
∵AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝＝12.
∵△BDE∽△CAD，∴＝，
即＝，故DE＝.
14．解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠CDF＋∠ADF＝90°.
∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF.
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCF＋∠DGF＝180°.
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又∵∠AGF＋∠DGF＝180°，
∴∠AGF＝∠DCF.∴△AFG∽△DFC.
(2)如图，连接CG.
∵∠CDG＝90°，∴CG为⊙O的直径．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△ADE∽△FDA，
∴＝，即＝.
∵△AFG∽△DFC，∴＝，
∴＝.
在正方形ABCD中，AD＝CD，
∴AG＝AE＝1，DG＝AD－AG＝4－1＝3，
∴CG＝＝＝5，
∴⊙O的半径为.
15．解：(1)EP＝EQ.
证明：如图①，连接BE.根据＝1知E是AC的中点．由等腰直角三角形的性质，得BE＝CE，∠PBE＝∠C，∠DEF＝∠BEC＝90°，∴∠DEF－∠BEQ＝∠BEC－∠BEQ，
即∠BEP＝∠CEQ，
∴△BEP≌△CEQ，
∴EP＝EQ.
(2)EP∶EQ＝1∶2.如图②，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，
∴∠EMP＝∠ENC＝∠MEN＝90°，
∴∠MEP＋∠PEN＝∠PEN＋∠NEQ＝90°，
∴∠MEP＝∠NEQ，
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∴△MEP∽△NEQ.
易得Rt△AME∽Rt△ENC，∴EP∶EQ＝EM∶EN＝EM∶NC＝EA∶CE＝1∶2.
(3)过E点作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N.
∵在四边形PEQB中，∠B＝∠PEQ＝90°，
∴∠EPB＋∠EQB＝180°.
又∵∠EPB＋∠MPE＝180°，
∴∠MPE＝∠NQE，
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴＝.
易得Rt△AME∽Rt△ENC，
∴＝m＝＝，∴＝，
即EP与EQ满足的数量关系式为EP∶EQ＝1∶m，
其中0＜m≤2＋(当m＞2＋时，EF与BC不会相交)．
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