专题训练(三) 相似三角形的五种基本模型
► 模型一 “X”字型
1．如图3－ZT－1，P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中的相似三角形有( )
图3－ZT－1
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
2．2018·杭州西湖区一模如图3－ZT－2，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得CD＝BC.
(1)求证：△AEB∽△CED；
(2)若AB＝2，BC＝4，AE＝1，求CE的长．
图3－ZT－2
3．如图3－ZT－3，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB
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于点G.
(1)填空：图中与△CEF相似的三角形是________(写出图中与△CEF相似的所有三角形)；
(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．
图3－ZT－3
► 模型二 “A”字型
4．如图3－ZT－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B.若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求AE的长．
图3－ZT－4
5．如图3－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点D从点C出发，以2 cm/s的速度沿折线C－A－B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t(s)(0＜t＜8)．
(1)求AB的长；
(2)当△BDE是直角三角形时，求t的值．
图3－ZT－5
► 模型三 子母型
6．如图3－ZT－6所示，点D在△ABC的边AB上，AD＝2，BD＝4，AC＝2 .
求证：△ACD∽△ABC.
图3－ZT－6
7．如图3－ZT－7，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB于点F.
求证：AC2＝AD·AF＋CD·EF.
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图3－ZT－7
8．如图3－ZT－8，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.
(1)△AEF与△ABE相似吗？说明你的理由．
(2)BD2＝AD·FD吗？请说明理由．
图3－ZT－8
► 模型四 旋转型
9．已知：如图3－ZT－9，△ABD∽△ACE.
求证：(1)∠DAE＝∠BAC；
(2)△DAE∽△BAC.
图3－ZT－9
10．如图3－ZT－10，已知：在△ABC和△EDC中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，点A，D在直线CE的同侧，直线AE，BD交于点F.
(1)当点B，C，E在同一直线上，且∠BAC＝60°时(如图(a))，则∠AFB＝________°.
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(2)当点B，C，E不在同一条直线上时(点F不与点A，B重合)，如图(b)或图(c)．
①若∠BAC＝α，则在图(b)中，求∠AFB的度数(用含α的式子表示)．
②在图(c)中，①中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠AFB等于什么？写出推理过程．
图3－ZT－10
► 模型五 一线三等角型
11．如图3－ZT－11，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.
(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．
图3－ZT－11
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详解详析
1．[解析] D ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选D.
2．解：(1)证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵CD＝BC，
∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE.
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED.
(2)∵BC＝4，∴CD＝4.
∵△AEB∽△CED，
∴＝，即＝，
∴CE＝2.
3．[解析] (1)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中与△CEF相似的三角形；
(2)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
解：(1)△DAF，△BEA，△GFA
(2)答案不唯一，选证△DAF∽△CEF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AD，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠D，
∴△DAF∽△CEF.
4．[解析] 利用两角分别相等的三角形相似得到△AED与△ABC相似，由相似得比例式求出AE的长即可．
解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，∴＝.
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，∴AE＝5.
5．解：(1)由勾股定理，得AB＝＝10(cm)．
(2)当点D在AC上运动时，∠DEB＝∠C＋∠CDE＞90°，
∴△BDE不可能是直角三角形．
若点D在AB上，
如图①，当∠BED＝90°时，△BDE是直角三角形，
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则BE＝t，AC＋AD＝2t，
∴BD＝6＋10－2t＝16－2t.
∵∠BED＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，解得t＝；
如图②，当∠EDB＝90°时，△BDE是直角三角形，
则BE＝t，BD＝16－2t.
在△BDE和△BCA中，
∵∠BDE＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，
∴＝，解得t＝.
∴当△BDE是直角三角形时，t的值为或.
6．[解析] 首先利用已知得出＝，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
证明：∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
7．[解析] 根据垂直的定义得到∠ACB＝∠ADC＝90°，推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝，即AC2＝AD·AB，由于AB＝AF＋FB，等量代换得AC2＝AD·(AF＋FB)＝AD·AF＋AD·FB.通过△ACD∽△EBF，根据相似三角形的性质得到＝，于是得到AD·FB＝CD·EF，即可得到结论．
证明：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°.
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
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∴AC2＝AD·AB.
∵AB＝AF＋FB，
∴AC2＝AD·(AF＋BF)＝AD·AF＋AD·BF.
∵EF⊥AB于点F，
∴∠ADC＝∠EFB＝∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△EBF，
∴＝，
∴AD·BF＝CD·EF，
∴AC2＝AD·AF＋AD·BF＝AD·AF＋CD·EF.
8．[解析] (1)△AEF与△ABE相似，首先根据等边三角形的性质，可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，即可证明△ABD≌△BCE，即可以求得∠AFE＝∠BAD＋∠ABE＝60°＝∠BAE，再根据∠AEF＝∠BEA，即可证明△AEF∽△BEA；
(2)易证△ABD∽△BFD，即可得BD2＝AD·DF.
解：(1)△AEF与△ABE相似．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°.
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD＝∠CBE.
又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝60°，
∴∠AFE＝∠BAC.
在△AEF和△BEA中，
∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE，
∴△AEF∽△BEA.
(2)BD2＝AD·DF.理由如下：
在△ABD和△BFD中，
∵∠BDF＝∠ADB，∠FBD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴＝，
∴BD2＝AD·FD.
9．[解析] (1)先利用相似三角形的性质得∠BAD＝∠CAE，则∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，从而得到结论；
(2)先利用△ABD∽△ACE得到＝，再利用比例的性质得＝，而∠DAE＝∠BAC，根据相似三角形的判定方法可得到结论．
证明：(1)∵△ABD∽△ACE，
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∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC.
(2)∵△ABD∽△ACE，
∴＝，
∴＝，
而∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC.
10．解：(1)60
(2)①∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB＝∠ECD，＝，
∴∠BCD＝∠ACE，＝，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
∴∠AFB＝180°－∠CAE－∠BAC－∠ABD＝180°－∠BAC－∠ABC＝∠ACB.
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴∠ACB＝90°－α，
∴∠AFB＝90°－α.
②不成立，∠AFB＝90°＋α.
推理过程如下：
∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB＝∠ECD，＝，
∴∠BCD＝∠ACE，＝，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∴∠AFB＝∠BDC＋∠CDE＋∠DEF＝∠CDE＋∠CED＝180°－∠DCE.
∵EC＝ED，∠BAC＝∠CED＝α，
∴∠DCE＝90°－α，
∴∠AFB＝180°－(90°－α)＝90°＋α.
11．解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
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∴∠B＝∠C＝60°.
∵∠EDF＝60°，
∴∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠CDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD.
(2)由(1)知△BDE∽△CFD，
∴＝.
∵BC＝6，BD＝1，
∴CD＝BC－BD＝5，
∴＝，
∴BE＝.
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