第7章 锐角三角形
本章中考演练
一、选择题
1．2017·湖州如图7－Y－1，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )
图7－Y－1
A. B.
C. D.
2．2018·衢州如图7－Y－2，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则sin∠ABC的值为( )
图7－Y－2
A. B. C. D.
3．2018·金华如图7－Y－3，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为( )
9
图7－Y－3
A. B. C. D.
4．2018·重庆如图7－Y－4，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)( )
图7－Y－4
A．21.7米 B．22.4米
C．27.4米 D．28.8米
二、填空题
5．2017·泰州小明沿着坡度i为1∶的斜坡向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.
6．2018·滨州在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝________．
7．2017·无锡在如图7－Y－5所示的方格纸中，每个小四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值等于________．
图7－Y－5
8．2017·舟山如图7－Y－6，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝________，…，按此规律，写出tan∠BAnC＝________(用含n的代数式表示)．
图7－Y－6
9
9．2018·无锡已知△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，∠B＝30°，则△ABC的面积等于________．
图7－Y－7
10．2018·济宁如图7－Y－7在一条笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.
图7－Y－8
11．2018·扬州如图7－Y－8，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为________．
三、解答题
12．2018·淮安为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图7－Y－9所示．求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732)
图7－Y－9
13．2018·南京如图7－Y－10，为了测量建筑物AB的高度，在D处竖立标杆CD，标杆的高是2 m，在DB上选取观测点E，F，从E处测得标杆和建筑物的顶部C，A的仰角分别为58°，45°，从F处测得C，A的仰角分别为22°，70°.求建筑物AB的高度．(精确到0.1 m．参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75)
9
图7－Y－10
14．2018·扬州问题呈现：
如图7－Y－11①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳：
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决：
(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为________；
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展：
(3)如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到点N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
图7－Y－11
9
详解详析
1．A
2．[解析] C ∵圆锥的侧面积为15π cm2，底面直径为6 cm，∴母线长l＝2×15π÷6π＝5(cm)．在Rt△AOB中，利用勾股定理可得OA＝4 cm，故sin∠ABC＝＝.故选C.
3．[解析] B 根据直角三角形中边与角的关系即可推出答案．在Rt△ABC中，AB＝；在Rt△ADC中，AD＝，所以＝∶＝.
4．[解析] A 过点C作CN⊥DE于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE，∴四边形MNCB为矩形，∴MN＝BC＝20米．
∵斜坡CD的坡比i＝1∶0.75，
∴设CN＝x米，则DN＝0.75x米．
在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，
解得x＝8(负值已舍去)，
从而CN＝8米，DN＝6米．
∵DE＝40米，
∴ME＝MN＋DN＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．
在Rt△AME中，tanE＝，
即＝tan24°，∴≈0.45，
解得AB≈21.7.
故选A.
5．[答案] 25
[解析] 设小明沿垂直方向升高了x m，则水平距离为x m，斜坡长为2x m．根据题意，得2x＝50，解得x＝25.
6．[答案]
[解析] 根据tanA＝，可设BC＝1，则AC＝2.由勾股定理，得AB＝，所以sinB＝＝.
9
7．[答案] 3
[解析] 如图，利用网格添加辅助线，使EF∥CD，BG⊥EF于点H，则tan∠BOD＝tan∠BIH＝3.
8．[答案]
[解析] 根据所给的三角函数值进行分析可以得到如下规律：tan∠BA1C＝＝，tan∠BA2C＝＝，tan∠BA3C＝＝， tan∠BA4C＝＝，…，按此规律可知tan∠BAnC＝＝.
9．[答案] 15 或10
[解析] 先画出△ABC的草图，确定对应元素的位置和大小，再利用三角形的面积公式求解．具体的解答过程如下：
分两种情况求解：
(1)当∠ACB为锐角时，如图①所示，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝10，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝×10＝5，BD＝＝＝5 .
又∵AC＝2 ，
∴CD＝＝＝，
∴BC＝BD＋CD＝5 ＋＝6 ，
∴△ABC的面积为BC·AD＝×6 ×5＝15 .
(2)当∠ACB为钝角时，如图②所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
同上可得BD＝5 ，CD＝，AD＝5，
∴BC＝BD－CD＝5 －＝4 ，
9
∴△ABC的面积为BC·AD＝×4 ×5＝10 .
综上所述，△ABC的面积等于15 或10 .
10．[答案]
[解析] 如图所示，过点C作CH⊥l，垂足为H.
由题意得∠ACH＝60°，∠CBH＝60°，
∴∠BCH＝30°.
设CH＝x km.在Rt△ACH中，AH＝CH·tan∠ACH＝x·tan60°＝x.
在Rt△BCH中，BH＝CH·tan∠BCH＝x·tan30°＝x.
∵AH－BH＝AB，
∴x－x＝2，解得x＝，
即船C到海岸线l的距离是km.
11．[答案] (，－)
[解析] 如图，设BD与OA相交于点E，过点D作DF⊥OA于点F.
由折叠的性质可知∠CBO＝∠DBO，OD＝OC＝4.
由矩形OABC的性质可知OA∥CB，
∴∠BOA＝∠CBO，
∴∠DBO＝∠BOA，
∴OE＝BE.
在Rt△ABE中，BE＋AE＝OE＋AE＝OA＝8，AB＝OC＝4，由勾股定理可解出BE＝OE＝5，AE＝3.
易证∠ABE＝∠DOE.
在Rt△ODF中，OF＝OD·cos∠DOE＝4cos∠ABE＝4×＝，DF＝OD·sin∠DOE＝4sin∠ABE＝4×＝，∴点D的坐标为(，－)．
12．解：如图，过点P作PD⊥AB于点D.
9
设BD＝x米，则AD＝(x＋200)米．
∵∠EAP＝60°，
∴∠PAB＝90°－60°＝30°.
在Rt△BPD中，
∵∠FBP＝45°，
∴∠PBD＝∠BPD＝45°，
∴PD＝BD＝x米．
在Rt△APD中，
∵∠PAB＝30°，
∴PD＝tan30°·AD＝(x＋200)米，
∴x＝(x＋200)，
解得x＝100 ＋100，
∴PD＝100 ＋100≈273(米)．
答：凉亭P到公路l的距离约为273米．
13．解：在Rt△CED中，∠CED＝58°.
∵tan∠CED＝，
∴DE＝＝.
在Rt△CFD中，∠CFD＝22°.
∵tan∠CFD＝，
∴DF＝＝，
∴EF＝DF－DE＝－.
同理EF＝BE－BF＝－，
∴－＝－，
解得AB≈5.9(m)．
答：建筑物AB的高度约为5.9 m.
14．解：(1)∵EC∥MN，∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM.
∵∠DMN＝90°，
9
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2.
故答案为2.
(2)如图②，取格点D，连接CD，DM.
∵CD∥AN，
∴∠CPN＝∠DCM.
由图易得△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°，
∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝.
(3)如图②，取格点M，连接AN，MN.
易得PC∥MN，
∴∠CPN＝∠ANM.
∵AM＝MN＝，AN＝2，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴∠ANM＝∠MAN＝45°，
∴∠CPN＝45°.
9
微信/支付宝扫码支付