4.4 两个三角形相似的判定（1）
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）有两个角对应相等的两个三角形相似．
1.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C).
A.都含有一个30°的内角 B.都含有一个45°的内角
C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个80°的内角
2.如图所示，ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC,DC于点F，G，则下列结论中，错误的是(D).
A.△ABE∽△DGE B.△CGB∽△DGE C.△BCF∽△EAF D.△ACD∽△GCF
（第2题）（第3题） （第4题）
3.如图所示，F是△ABC的边BC上一点，DE∥BC交AF于点G，若ADDB=34，则
等于(A).
A. B. C. D.
4.如图所示，ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于点G，则图中的相似三角形有(B).
A.8对 B.6对 C.4对 D.2对
5.如图所示，在矩形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE，交CD于点F，连结BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是(B).
A.△EFB B.△DEF C.△CFB D.△EFB和△DEF
（第5题）（第6题） （第7题） （第8题）
6.如图所示，E是ABCD的边AD上一点，AE=ED，CE与BD相交于点F，BD=10，则DF= 4 .
7.如图所示，已知△ABC与△DEF均为等边三角形，则图中的相似三角形有 3 对．
8.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 2 .
9.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE．
（第9题）
【答案】在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.
10.如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB.
（1）求证：△AEC∽△DEB.
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径.
（第10题）
【答案】(1)∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC∽△DEB.
(2)设⊙O的半径为r，则CE=2r-2.∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=AB=4.∵△AEC∽△DEB，
∴=，即=，解得r=5.
11.如图所示，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．
（第11题）
（1）求证：△ABD∽△DCF．
（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
【答案】(1)∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠ADE=60°.∵∠BDA+∠ADE=∠DFC+∠C,∴∠BDA=∠DFC.∴△ABD∽△DCF.
(2)△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.
12.如图所示，在锐角三角形ABC中，∠A=60°，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，则DE∶BC等于(C)．
A.2∶3 B.1∶3 C.1∶2 D.3∶2
（第12题）（第13题）（第14题）
13.如图所示，点E，F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若=2，则的值为(B).
A. B. C. D.
14.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为(A).
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如图所示，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC，AD于点F，E，若AD=1，AB=CF，则AE= .
（第15题） （第16题）
16.如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连结OE交AD于点F.若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= .
17.如图所示，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至点F，使AH=3FH，过点F作FG⊥CD，垂足为点G，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点E.求证：
（1）△ADH∽△FGH.
（2）四边形CEFG是正方形.
（第17题）
【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADH=90°，AD=DC.∵FG⊥CD，∴∠FGH=90°.
∴∠ADH=∠FGH.又∠AHD=∠FHG，∴△ADH∽△FGH.
(2)∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，∴四边形CEFG是矩形.∵△ADH∽△FGH，∴==.∵AH=3FH，∴==3.∴GF=AD.又∵DH=CH，∴CG=2GH.∴CD=6GH.∴CG=CD.∴GF=CG.∴矩形CEFG是正方形.
（第18题）
18.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连结CE，OH．
（1）求证：△ACE∽△CFB．
（2）若AC=6，BC=4，求OH的长．
（第18题答图）
【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCB=45°.
∵AE⊥CD，∴∠CAE=45°=∠FCB.∵∠E=∠ABC，∴△ACE∽△CFB.
(2)如答图所示，延长AE，CB交于点M.∵∠FCB=45°，∠CHM=90°，∴∠M=45°=∠CAE.
∴HA=HC=HM，CM=CA=6.∵CB=4，∴BM=6-4=2.∵OA=OB，HA=HM，∴OH是△ABM的中位线.∴OH=BM=1.
19.【泰安】如图所示，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为(B).
A.18 B. C D.
（第19题） （第20题）
20.【锦州】如图所示，E为ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB=2∶3，连结DE交BC于点F，则CF∶AD= 3∶5 .
21.如图所示，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1）求证：△ACE∽△FBE．
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α，β满足什么关系时，△ACE≌△FBE，请说明理由．
（第21题）
【答案】(1)∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.∴∠CAB+∠BAC′=∠C′AB′+∠BAC′，即∠CAC′=∠BAB′.
∴∠ACC′=∠ABB′.∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE.
(2)当β=2α时，△ACE≌△FBE.∵AC=AC′，∴∠ACC′===90°-α.
∵∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，∴∠BCE=α.∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE.∴CE=BE.∵△ACE∽△FBE，∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE.∵CE=BE，∴△ACE
≌△FBE.
微信/支付宝扫码支付