4.4 两个三角形相似的判定（2）
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
1.如图所示，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC∽△ADE的是(C).
A.∠B=∠D B.∠C=∠AED C. = D. =
（第1题）（第2题） （第3题）
2.如图所示，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(C).
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
3.如图所示，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且=，AE=BE，则有(B).
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
4.如图所示，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有(C).
(第4题)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 △APB∽△CPA ．
（第5题） （第6题）
6.如图所示，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 4或9 时，△ADP和△ABC相似．
7.如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
（第7题）
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．
（2）请分别说明两对三角形相似的理由．
【答案】(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.
(2)∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE.∴=.∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE.
8.如图所示，AB=3AC，BD=3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（第8题）
（1）求证：△ABD∽△CAE．
（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．
【答案】(1)∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA=∠CAE.∵==3，∴△ABD∽△CAE.
(2)∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2.∴∠D=90°.∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°.∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，∴BC2=（AB+AE）2+EC2=(3BD+BD)2+(BD)2=12BD2=12a2.∴BC=2a.
9.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有(C).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
10.如图所示，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件.下列添加的条件中，错误的是(D).
A.∠ACD=∠DAB B.AD=DE C.AD2=BD·CD D.CD·AB=AC·BD
11.如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2.当AB= 3或 时，这两个直角三角形相似．
12.如图所示，P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM，ON相交于点A，B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.如果∠MON=50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为 155° .
13.如图所示，ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC交于点E.设AP=x，当x= 8 时，△ABP与△EBC相似．
14.如图所示，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连结BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．
（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．
（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答.
（第14题）
【答案】(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG，∴BC=CE=EG=BG=1,FG=AB=.∴BG=3.∴=
==3.∵∠BGF=∠FGE，∴△BFG∽△FEG.∵△FEG是等腰三角形，∴△BFG是等腰三角形.∴BF=BG=.
(2)略
15.如图所示，已知点D，E分别在△ABC的边AC，BC上，线段BD与AE交于点F，且CD·CA=CE·CB.
（1）求证：∠CAE=∠CBD.
（2）若=，求证：AB·AD=AF·AE.
（第15题） （第15题答图）
【答案】(1)∵CD·CA=CE·CB，∴=.∵∠ECA=∠DCB，∴△CAE∽△CBD.∴∠CAE=∠CBD.
(2)如答图所示，过点C作CG∥AB，交AE的延长线于点G.∴
.∴CG=CA.∴∠G=∠CAG.∵∠G=∠BAG，∴∠CAG=∠BAG.∵∠CAE=∠CBD，∠AFD=∠BFE，
∴∠ADF=∠BEF.∴△ADF∽△AEB.∴=.∴AB·AD=AF·AE.
16.【随州】在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=
或 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似.
17.【宿迁】如图所示，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上.
（1）求证：△BDE∽△CEF.
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
（第17题）
【答案】(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，
∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF.∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF，∴=.∵点E是BC的中点，∴BE=CE.∴=.∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE=∠CFE.∴FE平分∠DFC.
18.如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm.点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动.点E，G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t（s）时，△EFG的面积为S（cm2）.
（1）当t=1(s)时，S的值是多少？
（2）写出S关于t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．
（第18题） (第18题答图)
【答案】(1)当t=1(s)时，AE=2(cm)，EB=10(cm)，BF=4(cm)，FC=4(cm)，CG=2(cm)，
S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG= (EB+CG)×BC-EB×BF-FC×CG=×（10+2）×8-×10×4-×4×2
=24（cm2）.
(2)①如答图1所示，当0s≤t≤2s时，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上移动，
此时AE=2t(cm)，EB=(12-2t)(cm)，BF=4t(cm)，FC=(8-4t)(cm)，CG=2t(cm)，
S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG=（EB+CG）×BC-EB×BF-FC×CG=×8×（12-2t+2t）-×4t（12-2t）-×2t（8-4t）=8t2-32t+48.
②当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4(s).如答图2所示,当2s＜t≤4s时，点E在边AB上移动，点F，G都在边CD上移动，此时CF=(4t-8)(cm)，CG=2t(cm)，FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t(cm)，S=FG×BC=（8-2t）×8=-8t+32.∴S=.
(3)如答图1所示，当点F在矩形BC上移动时，0≤t≤2.在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°.
①若=，即=，解得t=.当t=时，△EBF∽△FCG.
②若=,即=，解得t=.当t=时，△EBF∽△GCF.
综上所述，当t=或t=时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似.
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