4.4 两个三角形相似的判定（3）
三边对应成比例的两个三角形相似．
1.已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是(C).
A.2cm，3cm B.4cm，5cm C.5cm，6cm D.6cm，7cm
2.如图所示，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是(A).
A.△AFD B.△AED C.△FED D.不能确定
（第2题） （第4题） （第6题）
3.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①；②；
③∠A=∠A′；④∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C′的共有(C).
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4.如图所示，图1，图2中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图2中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(A).
A.都相似 B.都不相似
C.只有图1中相似 D.只有图2中相似
5.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中真命题是 ②③ （把所有真命题的序号都填上）．
6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，N是AC上的点，且AN=AB，连结BN，作AD⊥BN于D，M是BC上的动点，则当BM= 5 时，△BMD∽△BCN．
7.如图所示，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线交于点M．
（第7题）
（1）AC= 2 ，AB= 2 ．
（2）求∠ACB的值．
（3）判断△CAB和△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】(1)2 2
(2)∵BC==2,AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.
(3)△CAB和△DEF相似.理由如下：DE=DF==，EF==.∴===2.∴△CAB∽△DEF.
8.如图所示，在△ABC中，点D在AC上，AE分别交BD，BC于点F，G，∠1=∠2，=.
求证：BF2=FG·EF．
（第8题）
【答案】∵=，∠AFD=∠EFB，∴△ADF∽△EBF.∴∠1=∠E.∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.
∵∠BFG=∠EFB，∴△BEF∽△GBF.∴=，即BF2=FG·EF.
9.下列条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是(C).
A.∠A=50°，∠B=40°，∠A′=40°，∠C′=80°
B.∠A=∠A′=130°，AB=4，AC=10，A′B′=10，A′C′=24
C.AB=48，BC=80，CA=60，A′B′=24，C′A′=30，B′C′=40
D.∠A=∠A′=90°，AB=1，AC=2，A′C′=3，B′C′=6
10.如图所示，在正方形网格中有6个斜三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的是(B).
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
（第10题） （第11题）（第12题）
11.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）.P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形：
△DP2P5，△DP2P4，△DP4P5 ．
12.P是等边△ABC的边AB上一点，连结PC，点Q，D在PC，BC上，连结BQ，DQ，AD，∠PQB=∠BQD=∠CQD，若BQ=3，QC=6，则AD的长为 7 ．
13.如图所示，四边形ABCD，DCFE，四边形EFGH都是正方形．
（1）求证：△ACF∽△GCA．
（2）求∠1+∠2的度数．
（第13题）
【答案】(1)设正方形的边长为a，则AC=a，∴==.∵∠ACF=∠GCA，∴△ACF∽△GCA.
(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF.∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°.
14.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，作BF⊥AE交AE于点H，交CD于点F，作CG∥AE，交BF于点G.求证：
（第14题）
（1）CG=BH．
（2）FC2=BF·GF．
（3）=．
【答案】(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.∴∠CBG+∠BCG=90°,∠BAH+∠ABH=90°.
∵∠ABH+∠CBG=90°,∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG.∵AB=BC.∴△ABH≌△BCG.∴CG=BH.
(2)∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，∴△CFG∽△BFC.∴=，即FC2=BF·GF.
(3)同(2)可知BC2=BG·BF.∵AB=BC，∴AB2=BG·BF.∴==.
15.图中的每个点（包括△ABC的各个顶点）都在边长为1的小正方形的顶点上，在P，Q，G，H中找一个点，使它与点D，E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是 Q,G .（写出满足条件的所有的点）
（第15题） （第16题）
16.如图所示，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P的坐标是 (1，)或(1，2+)或(1，2- ) ．
17.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点.
（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长.
（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？请说明理由.
（第17题）
【答案】(1)设AP=x.∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当△ADP∽△BPC时，则=，∴=，解得x=2或6.
②当△ADP∽△BCP时，则=，∴=，解得x=2.∴当以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似时，AP的值为2或6.
(2)设PA=x.∵△ADP∽△BPC，∴=.∴=，整理得x2-mx+ab=0.由题意Δ≥0，∴m2-4ab≥0.∴当a，b，m满足m2-4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC.
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