2017-2018学年江苏省连云港市海州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1， D．，，4
3．小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
4．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
5．下列无理数中，在﹣1与2之间的是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠BCA=∠DCA
7．下列一次函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A．y=﹣3x B．y=x﹣2 C．y=﹣2x+3 D．y=3﹣x
8．如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2018
的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0）
二、填空题（每小题3分，满分24分）
9．16的平方根是 ．
10．圆周率π=3.1415926…精确到千分位的近似数是 ．
11．如图，起重机吊运物体，∠ABC=90°．若BC=12m，AC=13m，则AB= m．
12．一次函数y=﹣3x+2的图象不经过第 象限．
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=28°，则∠ADE= °．
14．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是 ．
15．如图，已知函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是 ．
16．如图，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是 ．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（10分）（1）求式中x的值：（x+4）3+2=25
（2）计算：20180﹣+
18．（8分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
19．（8分）已知一次函数y=kx+2与y=x﹣1的图象相交，交点的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）直接写出二元一次方程组的解．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 ．
21．（10分）如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形草坪ABCD的面积．
22．（10分）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
23．（10分）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费．该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．
（1）若0＜x≤6，请写出y与x的函数关系式．
（2）若x＞6，请写出y与x的函数关系式．
（3）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？
24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
25．（12分）小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米/分钟；
（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式；
（3）若设两人在路上相距不超过0.4千米时称为可以“互相望见”，则小聪和小明可以“互相望见”的时间共有多少分钟？
26．（14分）建立模型：
如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．
操作：
过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：
（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
2017-2018学年江苏省连云港市海州区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1， D．，，4
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+52≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B、22+32≠42，不可以构成直角三角形，故B选项错误；
C、12+（）2=（）2，可以构成直角三角形，故C选项正确；
D、（）2+（）2≠42，可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：D．
【点评】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
4．在平面直角坐标系中，点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标是（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．下列无理数中，在﹣1与2之间的是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可．
【解答】解：A．﹣＜﹣1，故错误；
B．﹣＜﹣1，故错误；
C．﹣1＜，故正确；
D.＞2，故错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
6．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠BCA=∠DCA
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．下列一次函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A．y=﹣3x B．y=x﹣2 C．y=﹣2x+3 D．y=3﹣x
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵一次函数y=﹣3x中，k=﹣3＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
B、∵正比例函数y=x﹣2中，k=1＞0，∴此函数中y随x增大而增大，故本选项正确；
C、∵正比例函数y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
D、正比例函数y=3﹣x中，k=﹣1＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜
0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
8．如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2018的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0）
【分析】根据轴对称的性质分别写出点P1的坐标为、点P2的坐标、点P3的坐标、点P4的坐标，从中找出规律，根据规律解答．
【解答】解：由题意得，点P1的坐标为（5，3），
点P2的坐标为（3，5），
点P3的坐标为（0，2），
点P4的坐标为（2，），
点P5的坐标为（5，3），
2018÷4=504…2，
∴P2018的坐标为（3，5），
故选：B．
【点评】本题考查的是点的坐标、坐标与图形变化﹣对称，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，满分24分）
9．16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10．圆周率π=3.1415926…精确到千分位的近似数是 3.142 ．
【分析】近似数π=3.1415926…精确到千分位，即是保留到千分位，由于千分位1后面的5大于4，故进1，得3.142．
【解答】解：圆周率π=3.1415926…精确到千分位的近似数是3.142．
故答案为3.142．
【点评】本题考查了近似数和精确度，精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．
11．如图，起重机吊运物体，∠ABC=90°．若BC=12m，AC=13m，则AB= 5 m．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出AB的长．
【解答】解：由题意可得：AB==5（m）．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
12．一次函数y=﹣3x+2的图象不经过第 三 象限．
【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．
【解答】解：因为解析式y=﹣3x+2中，﹣3＜0，2＞0，图象过一、二、四象限，故图象不经过第三象限．
故答案为：三
【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=28°，则∠ADE= 34 °．
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠B=62°，再根据折叠的性质得∠DEC=∠B=62°，然后根据三角形外角性质求∠ADE的度数．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=28°，
∴∠B=90°﹣28°=62°，
∵沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，
∴∠DEC=∠B=62°，
∵∠DEC=∠A+∠ADE，
∴∠ADE=62°﹣28°=34°．
故答案为34°．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是 ﹣1 ．
【分析】根据垂直的定义得到∠ABC=90°，根据勾股定理得到AC==，求得AD=AC﹣CD=﹣1，根据圆的性质得到AE=AD，即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∵AB=2，BC=1，
∴AC==，
∵CD=BC，
∴AD=AC﹣CD=﹣1，
∵AE=AD，
∴AE=﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，圆的性质，正确掌握勾股定理是解题的关键．
15．如图，已知函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是 x＞﹣2 ．
【分析】根据函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），然后根据图象即可得到不等式 3x+b＞ax﹣3的解集．
【解答】解：∵函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
∴不等式 3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．如图，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是 （2，0） ．
【分析】找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．
【解答】解：作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，
∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），
∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，
故点D的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是根据“两点之间，线段最短”，并且利用了正方形的轴对称性．
三、解答题（共10小题，满分102分）
17．（10分）（1）求式中x的值：（x+4）3+2=25
（2）计算：20180﹣+
【分析】（1）移项后计算等式的右边，再利用立方根的定义计算可得；
（2）先计算零指数幂、算术平方根和立方根，再计算加减可得．
【解答】解：（1）∵（x+4）3+2=25，
∴（x+4）3=23，
则x+4=，
∴x=﹣4；
（2）原式=1﹣2﹣5=﹣6．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、算术平方根和立方根的定义与运算法则．
18．（8分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
【分析】欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵AF=CD，
∴AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
19．（8分）已知一次函数y=kx+2与y=x﹣1的图象相交，交点的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）直接写出二元一次方程组的解．
【分析】（1）先将x=2代入y=x﹣1，求出y的值，得到交点坐标，再将交点坐标代入y=kx+2，利用待定系数法可求得k的值；
（2）方程组的解就是一次函数y=kx+2与y=x﹣1的交点，根据交点坐标即可写出方程组的解．
【解答】解：（1）将x=2代入y=x﹣1，得y=1，
则交点坐标为（2，1）．
将（2，1）代入y=kx+2，
得2k+2=1，
解得k=；
（2）二元一次方程组的解为．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系及待定系数法求字母系数，难度适中．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 （a+4，﹣b） ．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用平移变换的性质得出点M2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）由（1）（2）轴对称以及平移的性质得出对应A2C2上的点M2的坐标是：（a+4，﹣b）．
故答案为：（a+4，﹣b）．
【点评】
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21．（10分）如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形草坪ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再求出AD的长，结合勾股定理的逆定理得到∠D是直角；
（2）由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【解答】解：（1）∠D是直角，理由如下：
连接AC，
∵∠B=90°，AB=24m，BC=7m，
∴AC2=AB2+BC2=242+72=625，
∴AC=25（m）．
又∵CD=15m，AD=20m，152+202=252，即AD2+DC2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，或∠D是直角；
（2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=•AB•BC+•AD•DC
=234（m2）．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理的应用是解答此题的关键．
22．（10分）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
23．（10分）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费．该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．
（1）若0＜x≤6，请写出y与x的函数关系式．
（2）若x＞6，请写出y与x的函数关系式．
（3）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？
【分析】（1）当0＜x≤6时，根据“水费=用水量×2”即可得出y与x的函数关系式；
（2）当x＞6时，根据“水费=6×5+（用水量﹣6）×3”即可得出y与x的函数关系式；
（3）经分析，当0＜x≤6时，y≤12，由此可知这个月该户用水量超过6吨，将y=27代入y=3x﹣6中，求出x值，此题得解．
【解答】解：（1）根据题意可知：
当0＜x≤6时，y=2x；
（2）根据题意可知：
当x＞6时，y=2×6+3×（x﹣6）=3x﹣6；
（3）∵当0＜x≤6时，y=2x，
y的最大值为2×6=12（元），12＜27，
∴该户当月用水超过6吨．
令y=3x﹣6中y=27，则27=3x﹣6，
解得：x=11．
答：这个月该户用了11吨水．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据数量关系列出函数关系式；（3）代入y=27求出x值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．
24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm
，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
【分析】（1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP=7﹣2t，PE=PC=2t﹣4，BE=5﹣4=1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
【解答】解：（1）设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，
即：（4﹣2t）2+32=（2t）2，
解得：t=，
∴当t=时，PA=PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP=7﹣2t，PE=PC=2t﹣4，BE=5﹣4=1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，
即：（2t﹣4）2+12=（7﹣2t）2，
解得：t=，
∴当t=时，P在△ABC的角平分线上．
【点评】本题考查了勾股定理，关键是根据等腰三角形的判定，三角形的面积解答．
25．（12分）小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为 20 分钟，小聪返回学校的速度为 0.2 千米/分钟；
（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式；
（3）若设两人在路上相距不超过0.4千米时称为可以“互相望见”，则小聪和小明可以“互相望见”的时间共有多少分钟？
【分析】（1）由函数图象的数据可以求出小聪在图书馆查阅资料的时间为20分钟，由速度=路程÷时间就可以得出小聪返回学校的速度；
（2）设小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式为y=kx，由待定系数法求出其解即可；
（3）分类讨论，当小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前、当小聪、小明在相遇之前及当小聪、小明在相遇之后，分别求出来即可．
【解答】解：（1）由题意，得
小聪在图书馆查阅资料的时间为20分钟．
小聪返回学校的速度为4÷20=0.2千米/分钟．
故答案为：20，0.2；
（2）设小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式为s=kt，由题意，得
4=60k，
解得：k=．
∴所求函数表达式为s=t．
（3）小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前，两人相距0.4千米时，0.4÷（0.2﹣）=3；
当小聪从图书馆返回时：设直线BC的解析式为s=k1t+b，由题意，得
，
解得：
∴直线BC的函数式为：．
当小聪、小明在相遇之前，刚好可以“互相望见”时，即两人相距0.4千米时，﹣t=0.4，解得t=；
当小聪、小明在相遇之后，刚好可以“互相望见”时，即两人相距0.4千米时， t﹣=0.4，解得t=．
∴所以两人可以“互相望见”的时间为：﹣=3（分钟）
综上可知，两人可以“互相望见”的总时间为3+3=6（分钟）．
【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
26．（14分）建立模型：
如图1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上．
操作：
过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：
（1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
【分析】操作：根据余角的性质，可得∠ACD=∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；
应用（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；
（2）根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：操作：如图1：，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ACD和△CBE中，
∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（1）∵直线y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（﹣3，0）．
如图2：，
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴
在△BDC和△AOB中，
，
△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD=BO=3，BD=AO=4．OD=OB+BD=3+4=7，
∴C点坐标为（﹣7，3）．
设l2的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入，得
，
解得
l2的函数表达式为y=x+4；
（2）由题意可知，点Q是直线y=2x﹣6上一点．
如图3：，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
在△AQE和△QPF中，
，
∴△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即6﹣（2a﹣6）=8﹣a，
解得a=4
如图4：，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，
AE=2a﹣12，FQ=8﹣a．
在△AQE和△QPF中，
，
△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a﹣12=8﹣a，
解得a=；
综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．
【点评】本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出∠ACD=∠CBE是解题关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出CD，BD的长是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
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