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上杭一中
2018-2019学年第一学期半期考
高二数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.数列的通项公式为，则的第项是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，,,,则等于（ ）
A． B． C． D．
3. 等比数列的前项和则的值为（ ）
A . B. C . D.
4. 在中，分别是角的对边，若，
则的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.各项均为正数的等比数列，前项和为，若，，则 ( )
A． B． C． D．
6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤
7.若实数满足，则的最小值为( )
A． B． C． D．
8.设等差数列的前项和为，已知 ，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 或 D.
9.已知正数的等差中项是，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
11.如图，某景区欲在两山顶之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，,在水平面上处测得山顶的仰角为，山顶的仰角为，,
则两山顶之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
12. 中，角的对边长分别为，若，则的最大值为 ( )
A．1 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，则 的最小值为_______________．
14.已知中，，， ，则面积为_______ __.
15. 在数列中，已知， ，记为数列的前项和，则________.
16．已知首项为2的正项数列的前项和为，且当时，．若
恒成立，则实数的取值范围为__________ _____．
三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）．
设是公比为正数的等比数列，若， 且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）解关于的不等式．
19．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，若．
（1）求角；
（2）若的面积为，，求的值．
20．（本小题满分12分）
在中，设角,,的对边分别为,,，已知
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求成立的正整数的最小值．
22．（本小题满分12分）
某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．
（1）问第几年开始获利?
（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；
方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
B
C
A
D
A
C
B
A
D
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（第17题10分，18－22题每题12分，共70分）
17、解：(1)设等比数列的公比为，
∵，，成等差数列
∴ 即，……………………………（2分）
即，解得或(舍去)，∴.……………………………（4分）
所以的通项为() ……………………………（5分）
(2)由上知 ∵，
∴， ……………………………（7分）
∴
……………………………（9分）
∴ ……………………………（10分）
即数列的前项和为．
18、解：（1）由题意知：且和是方程的两根，……………………………（2分）
由根与系数的关系有，解得
……………………………（6分）
（2）不等式可化为，
即． ……………………………（8分）
其对应方程的两根为
①当即时，原不等式的解集为；……………………………（9分）
②当即时，原不等式的解集为；……………………………（10分）
③当即时，原不等式的解集为； ……………………………（11分）
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
……………………………（12分）
19、解：（1）（法一）：在中，由正弦定理得
∴ ……………………………（2分）
又，∴，
∴ ……………………………（4分）
∴ ……………………………（5分）
， 故 ……………………………（6分）
（法二）由余弦定理得………………………（2分）
∴ ……………………………（3分）
∴, ……………………………（5分）
, 故． ……………………………（6分）
（2），所以． ……………………………（7分）
又
∴由余弦定理得
∴ ……………………………（9分）
又由正弦定理知 ……………………………（10分）
∴ 即
∴ ……………………………（12分）
20、（1）由题意知……………………………（1分）
即 ……………………………（2分）
由正弦定理得 ……………………………（3分）
由余弦定理得 …………………………… （4分）
又 ， 故 …………………………… （5分）
（2）（法一）：由上知，
∴由余弦定理有，……………………………（6分）
又，∴， ……………………………（7分）
又∵
∴，(当且仅当时取等号) ……………………………（8分）
∴ ， 即
解得，(当且仅当时取等号) ……………………………（10分）
又∵三角形两边之和大于第三边,即
∴ ……………………………（11分）
∴ ……………………………（12分）
所以的周长的范围为
（法二）由正弦定理知
∴, ……………………………（6分）
又
则的周长
…………………………（8分）
∵ ∴ ∴ ……………………………（10分）
∴，
所以的周长的范围为.……………………………（12分）
21、解：（1）由………①
当时，………② ……………………………（2分）
①–②得即 ……………………………（3分）
当时， 也满足上式 ……………………………（4分）
∴ ……………………………（5分）
(2)由(1)得, , ……………………………（6分）
所以 ………①
∴ ………② ……………………………（7分）
①－②，得
……………………………（9分）
依题意，即 即成立， ……………………………（10分）
又当时, ,
当时, . ……………………………（11分）
故使成立的正整数的最小值为5. ……………………………（12分）
22、解：（1）设第n年开始获利，获利为y万元，
由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，
故n年的总费用为． ……………………………（2分）
∴获利为 ……………………………（4分）
由即 解得 ……………………………（5分）
∵n∈N*，∴n＝4时，即第4年开始获利． ……………………………（6分）
（2）方案一：n年内年平均获利为．
由于，当且仅当n＝9时取“＝”号．
∴ （万元）．
即前9年年平均收益最大，此时总收益为12×9＋46＝154（万元）．……………………………（9分）
方案二：总纯收入获利．
∴ 当n＝15时，取最大值144，此时总收益为144＋10＝154（万元）．
……………………………（11分）
∵两种方案获利相等，但方案一中n＝9，所需的时间短，
∴方案一较合算． ……………………………（12分）
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