第五节 二次函数的简单综合题
课时1 二次函数的实际应用
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )
A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m
2. (人教九上P50探究第2题改编)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润.
3．(2018·安徽) 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
4. 某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．
6
公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足的函数关系式为y＝－x＋26.
(1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
5．(2018·江西)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
6
6．(2018·衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
6
参考答案
1．B 2.35
3．解： (1)W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8 000，
W2＝(50－x)×19＝－19x＋950.
(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8 950＝－2(x－)2＋.
由于x取整数，根据二次函数性质，得
当x＝10时，总利润W最大，最大总利润是9 160元．
4．解：(1)W1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236.
(2)由题意：20＝－x2＋32x－236.
解得：x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元．
(3)由题意：得－x＋26≤12，解得x≥14，∵x≤16，∴14≤x≤16.
W2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150，
∵14≤x≤16，
∴x＝14时，W2有最小值，最小值为88万元，
6
答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
5．解： (1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(10，200)(15，150)代入y＝kx＋b(k≠0)中，得
，解得
∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300(8≤x＜30)．
(2)设每天销售获得的利润为w，
根据题意得：w＝(x－8)y
＝(x－8)(－10x＋300)
＝－10(x－19)2＋1 210.
∵8≤x＜30，
∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1 210.
(3)由(2)可知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，
则每天销售量为y＝－10×19＋300＝110(千克)．
∵保质期为40天，
∴销售总量为40×110＝4 400(千克)．
又∵4400＜4800，
∴不能销售完这批蜜柚．
6．解： (1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为
y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5，得：25a＋5＝0，
解得：a＝－.
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－(x－3)2＋5(0＜x＜8)，
(2)当y＝1.8时，有－(x－3)2＋5＝1.8，
解得：x1＝－1(舍)，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
(3)当x＝0时，y＝－(x－3)2＋5＝.
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－x2＋bx＋.
∵该函数图象过点(16，0)，
∴0＝－×162＋16b＋，解得：b＝3，
6
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－x2＋3x＋＝－(x－)2＋.
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
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