第二节 矩形、菱形、正方形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·重庆A卷)下列命题正确的是( )
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分
2．(2018·舟山)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
3．(2018·日照)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
第3题图
4．(2018·湘潭)如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四边形
5．(2018·
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陕西)如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是( )
A．AB＝EF B．AB＝EF
C．AB＝2EF D．AB＝EF
6．(2018·恩施州) 如图所示，在正方形 ABCD中，G 为 CD边的中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD交 AG 于 F 点，已知 FG ＝2，则线段 AE 的长度为( )
A．6 B. 8 C．10 D．12
7．(2018·内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28° C．62° D．56°
8．(2018·天水)如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若OE＝3，BC＝8，则OB的长为( )
A．4 B．5 C. D.
9．(2018·兰州)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是( )
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A. B. C. D.
10．(2018·宿迁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( )
A. B．2 C. 2 D．4
11．(2017·黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为( )
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
12．(2018·龙东)如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________， 使平行四边形ABCD是矩形．
13．(2018·南通)如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是________(填序号)．
14．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是________．
15．(2018·天水)如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________．
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16．(2018·黔南州) 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是________．
17．(2017·丹东)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN，若MN＝1，BD＝2，则菱形的周长为________．
18．(2018·深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．
19．(2018·南平质检)如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为________．
20．(2018·莆田质检)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为________．
21．(2018·郴州)如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于E、F，连接BE，DF.
求证：四边形BFDE是菱形．
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22．(2018·舟山) 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
23．(2018·建设兵团)如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
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24．(北师九上P27第11题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE.过点C作BD的平行线交线段OE的延长线于点F，连接DF.
求证：(1)△ODE≌△FCE；
(2)四边形CODF是菱形．
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25．(2018·南通)如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.
(1)求证：CF＝AB；
(2)连接BD、BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF.
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26．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
1．(2018·建设兵团)
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如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( )
A. B．1 C. D．2
2．(2018·武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是________．
3．(2018·青岛)已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．
4．(2018·厦门质检)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.
(1)AB＝2，AO＝，求BC的长；
(2)∠DBC＝30°，CE＝CD，∠DCE＜90°，若OE＝BD，求∠DCE的度数．
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5.(2018·扬州)如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
6. (2018·白银)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点.
(1)求证：△BGF ≌△FHC；
(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
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参考答案
【基础训练】
1．D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A
11．A
【解析】如解图，连接BF，∵点E为AB的中点，∴AB＝2AE，∵AF＝2AE，∴cos∠FAE＝，∴∠FAE＝60°，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，BF＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠FBC＝∠ABF＋∠ABC＝150°，BF＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝×(180°－150°)＝15°，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠DBC＝45°，∴∠DOC＝∠DBC＋∠BCF＝45°＋15°＝60°.
12．AC＝BD(答案不唯一) 13.② 14.2 15. 16.2
17．8 18.8 19. 20.1
21．证明：∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠FBD，
∴△EBO≌△FBO，∴EO＝OF，
∴EF与BD互相垂直平分，∴四边形BFDE是菱形．
22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
又∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
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∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
23．(1)证明：∵ ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
在△DOE与△BOF中，
∵ ∴△DOE≌△BOF；
(2)解：四边形EBFD是矩形．理由：∵OB＝OD，OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD＝EF，∴ ▱EBFD是矩形．
24．证明：(1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，
∴△ODE≌△FCE(ASA)；
(2)由(1)知△ODE≌△FCE.∴OD＝FC，
∵CF∥BD，∴四边形CODF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD，
∴四边形CODF是菱形．
25．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，
∵BE＝CE，∠AEB＝∠CEF，
∴△AEB≌△FEC，∴AB＝CF.
(2)连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，
∵AB＝CF，AB∥CF，
∴四边形ACFB是平行四边形，
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∴BF＝AC，∴BD＝BF.
26．(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝ ∠ACD.
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACD，∴ AD＝CD.
又∵AD＝AB，∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O.
∴AC⊥BD.OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90° .∴OA＝＝2.
∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，∵∠AEC＝90°，O为AC的中点．
∴OE＝AC＝OA＝2.
【拔高训练】
1．B
2．30°或150° 【解析】 分两种情况：①如解图①，等边△ADE在正方形ABCD内部：∠CDE＝∠CDA－∠ADE＝90°－60°＝30°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝75°，∴∠ECB＝15°，同理可得∠EBC＝15°，∴∠BEC＝150°.
②如解图②，等边△ADE在正方形ABCD外部：
∠CDE＝∠CDA＋∠ADE＝90°＋60°＝150°，∵CD＝DE，∴∠CED＝15°，同理∠AEB＝15°，∴∠BEC＝∠AED－∠CED－∠AEB＝60°－15°－15°＝30°.
第2题解图① 第2题解图②
3. 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°.又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE＋∠AEB＝180°－∠BAE＝180°－90°＝90°，
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∴∠DAF＋∠AEB＝90°，∴∠AGE＝180°－90°＝90°，∴∠BGF＝90°.在Rt△BGF中，点H为BF的中点，∴GH＝BF.在Rt△BFC中，BC＝5，CF＝CD－DF＝5－2＝3，根据勾股定理得BF＝＝，
∴GH＝.
4．解： (1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝2.
在Rt△ACB中，BC＝＝4.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，BD＝2OD，AC＝2OC，AC＝BD.
∴OD＝OC＝BD.
∵∠DBC＝30°，∴在Rt△BCD中，CD＝BD.
∵CE＝CD，∴CE＝BD.
∵OE＝BD，∴在△OCE中，OE2＝BD2.
又∵OC2＋CE2＝BD2＋BD2＝BD2，
∴OC2＋CE2＝OE2，∴∠OCE＝90°.
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°.
∴∠DCE＝∠OCE－∠OCD＝30°.
5．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BED.
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，又∵∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，∴AD＝BE，
又∵AD∥BC，∴四边形AEBD是平行四边形．
∵DA＝DB，∴平行四边形AEBD是菱形；
(2)∵平行四边形AEBD是菱形，∴AB⊥ED.
∵AB∥CD，∴ED⊥CD.
在Rt△CDE中，tan∠DCB＝3，DC＝，∴DE＝3，
∵AB＝CD＝，
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∴菱形AEBD的面积＝AB·ED＝××3＝15.
6．(1)证明：∵点F，H分别是BC，CE的中点，
∴FH∥BE，FH＝BE.∴∠CFH＝∠CBG.
又∵点G是BE的中点，∴FH＝BG.
又∵BF＝CF，∴△BGF≌ △FHC.
(2)解：当四边形EGFH是正方形时，可知EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，点G，H分别是BE，EC的中点，
∴ GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，∴EF⊥BC.
又∵AD∥BC, AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝a，
∴S矩形ABCD＝AB·AD＝a·a＝a2.
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