2018-2019学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，﹣6x
2．若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
3．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1
C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109
4．抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
5．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A．（1+x）2=31 B．1+x+x2=31 C．（1+x）x=31 D．1+x+2x=31
6．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ）
A．2（1+x）2=8 B．2（1﹣x）2=8
C．2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D．2（1+x）+2（1+x）2=8
7．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y=﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（ ）
A．1 cm B．1.5 cm C．2 cm D．2.5 cm
9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（ ）
A．b+c﹣1=0 B．b+c+1=0 C．b﹣c+1=0 D．b﹣c﹣1=0
10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程x2﹣9=0的解是 ．
12．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为 ．
13．抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是
14．若二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．抛物线y=x2+mx+m+经过定点的坐标是
16．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是 米．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣6x+5=0
（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0
18．已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求a的值；
（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
19．已知函数y=﹣（x+1）2﹣2
（1）指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为
（2）当x 时，y随x的增大而增大
（3）怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=﹣（x+1）2﹣2
20．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；
（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
21．（9分）（1）抛物线y=ax2+c经过点A （4，0）、点B （1，﹣3），求该抛物线的解析式．
（2）如图1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
（3）如图2，点P（0，m2）（m＞0），在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D，求的值．
22．（9分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
23．（10分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调查价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）直接写出每周售出商品的利润y（单位：元）与每件降价x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元；
（3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价．
24．（12分）已知，点A（﹣3，），点B（4，3）和抛物线y=x2，将抛物线y=x2沿着y轴方向平移经过点A（﹣3，）画出平移后的抛物线如图所示
（1）平移后的抛物线是否经过点B（4，3）？说明你的理由
（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使S△PAB=7？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
（3）在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线y=﹣2的垂线，垂足为N，连OM、ON．当∠OMN=60°时，求点M坐标．
2018-2019学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，﹣6x
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式是3x2﹣6x+1=0，各项的系数分别是：3，﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．
2．若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，
解得m=6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
3．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1
C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109
【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．
【解答】解：方程x2+10x+9=0，
整理得：x2+10x=﹣9，
配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
5．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A．（1+x）2=31 B．1+x+x2=31 C．（1+x）x=31 D．1+x+2x=31
【分析】由题意设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设主干长出x个支干，
根据题意列方程得：x2+x+1=31．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
6．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ）
A．2（1+x）2=8 B．2（1﹣x）2=8
C．2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D．2（1+x）+2（1+x）2=8
【分析】关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额=8，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得：
2（1+x）+2（1+x）2=8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．
7．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y=﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y=﹣x2﹣2x+b，
∴函数y=﹣x2﹣2x+b的对称轴为直线x=﹣1，开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1﹣（﹣3）=2，﹣1﹣（﹣1）=0，2﹣（﹣1）=3，
∴y3＜y1＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．
8．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（ ）
A．1 cm B．1.5 cm C．2 cm D．2.5 cm
【分析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，可列方程求解．
【解答】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则
（30﹣2x）（ 20﹣4x）=30×20×（1﹣），
整理得：x2﹣20x+19=0，
解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．
答：竖彩条的宽度为1cm．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积作为等量关系列方程求解．
9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（ ）
A．b+c﹣1=0 B．b+c+1=0 C．b﹣c+1=0 D．b﹣c﹣1=0
【分析】根据∠OBC=45°，有OB=OC，可设点C，B的坐标为（0，c），（c，0），把点B（c，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，从而求出关系式．
【解答】解：∵∠OBC=45°，
∴OB=OC，
∴点C，B的坐标为（0，c），（c，0）；
把点B（c，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，
即c（c+b+1）=0，
∵c≠0，
∴b+c+1=0．
故选：B．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．根据题意得到点C、B的坐标是解题的关键．
10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0
所以y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况，
（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出．
（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，
解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，
解得：n=，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
2m=﹣（n﹣1）2+5，n=，
∴m=，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣2+=．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程x2﹣9=0的解是 x1=3，x2=﹣3 ．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解答】解：∵x2﹣9=0，
∴x2=9，
解得：x1=3，x2=﹣3．
故答案为：x1=3，x2=﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
12．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为 x（x﹣1）=36 ．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程．
【解答】解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得： x（x﹣1）=36，
故答案为x（x﹣1）=36．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
13．抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故答案为﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
14．若二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤3且k≠2 ．
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，
∴，
解得：k≤3且k≠2．
故答案为：k≤3且k≠2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
15．抛物线y=x2+mx+m+经过定点的坐标是 （﹣1，1）
【分析】由y=x2+（x+1）m+，抛物线经过定点，可得x+1=0，由此即可解决问题；
【解答】解：∵y=x2+（x+1）m+，
∵抛物线经过定点，
∴x+1=0，
∴x=﹣1，y=1，
∴定点坐标为（﹣1，1），
故答案为（﹣1，1）
【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，定点问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是 50 米．
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长，本题得以解决．
【解答】解：∵h=30t﹣5t2=﹣5（t﹣3）2+45（0≤t≤6），
∴当t=3时，h取得最大值，此时h=45，
∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45+[45﹣（30×4﹣5×42）]=50（米），
故答案为：50．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的总的路径的长．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣6x+5=0
（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0
【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+5=0，
（x﹣5）（x﹣1）=0，
x﹣5=0，x﹣1=0，
x1=5，x2=1；
（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0，
（x﹣4）（x+5）=0，
x﹣4=0，x+5=0，
x1=4，x2=﹣5．
【点评】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18．已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求a的值；
（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
【分析】（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y=ax2求得a即可；
（2）再把点P（m，﹣6）代入抛物线解析式中即可得出m的值，从而得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y=ax2，
得4a=﹣8，
∴a=﹣2；
（2）把点P（m，﹣6）代入y=﹣2x2中，
得﹣2m2=﹣6，
∴m=±，
∴P（，﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
19．已知函数y=﹣（x+1）2﹣2
（1）指出函数图象的开口方向是 向下 ，对称轴是 直线x=﹣1 ，顶点坐标为 （﹣1，﹣2）
（2）当x ＜﹣1 时，y随x的增大而增大
（3）怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=﹣（x+1）2﹣2
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题；
（3）根据平移的性质可以解答本题．
【解答】解：（1）∵函数y=﹣（x+1）2﹣2，
∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：向下，直线x=﹣1，（﹣1，﹣2）；
（2）∵函数y=﹣（x+1）2﹣2，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x＜﹣1；
（3）将抛物线y=﹣x2向左平移一个单位长度就可以得到抛物线y=﹣（x+1）2﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；
（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可．
（2）因为==﹣，所以由根与系数的关系可得=﹣，解方程可得m的值．
【解答】解：（1）证明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1）
=16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵，即=﹣，
∴由根与系数的关系可得=﹣，
解得 m=﹣，
经检验得出m=﹣是原方程的根，
即m的值为﹣．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
21．（9分）（1）抛物线y=ax2+c经过点A （4，0）、点B
（1，﹣3），求该抛物线的解析式．
（2）如图1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
（3）如图2，点P（0，m2）（m＞0），在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D，求的值．
【分析】（1）把点A （4，0）、点B （1，﹣3）代入y=ax2+c，解方程组即可得到结论；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长；
（3）把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论．
【解答】解：（1）把点A （4，0）、点B （1，﹣3）代入y=ax2+c得，，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y=x2﹣；
（2）由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y=a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a=﹣．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y=﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x=0，则y==2.25．
故水管长为2.25m；
（3）将点P的纵坐标y=m2（m＞0）代入y=x2得x=±2m，
∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），
∴AB=4m．
将y=m2（m＞0）代入：y=x2得x=±3m，
∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），
∴CD=6m．
∴==．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
22．（9分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
23．（10分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调查价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）直接写出每周售出商品的利润y（单位：元）与每件降价x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元；
（3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价．
【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，根据总利润=单件利润×销售量列出函数表达式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列方程解答即可；
（3）根据降价和涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答．
【解答】解：（1）∵每降价1元，每星期要多卖出20件，
∴每星期实际可卖出（300+20x）件，
y=（60﹣40﹣x）（300+20x）
=﹣20x2+100x+6000；（0≤x≤20）；
（2）设涨价m元时，每周售出商品的利润为2250元，
由题意得，（60+m﹣40）（300﹣10m）=2250，
解得：m=25或m=﹣15（不合题意，舍去）；
答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元；
（3）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣10（x﹣）2+6125．
∴在降价的情况下，售价为57.5元每星期售出商品的最大利润是6125元．
设涨价m元时，每周售出商品的利润为W元，
∴W=（60+m﹣40）（300﹣10m）=﹣10m2+100m+6000=﹣10（m﹣5）2+6250，
∴在涨价的情况下，售价为65元每星期售出商品的最大利润是62505元．
综上所述：每周售出商品利润最大的商品的售价是65元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，然后利用当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＞0，x=h时，y有最小值k等性质解决实际问题
24．（12分）已知，点A（﹣3，），点B（4，3）和抛物线y=x2，将抛物线y=x2沿着y轴方向平移经过点A（﹣3，）画出平移后的抛物线如图所示
（1）平移后的抛物线是否经过点B（4，3）？说明你的理由
（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使S△PAB=7？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
（3）在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线y=﹣2的垂线，垂足为N，连OM、ON．当∠OMN=60°时，求点M坐标．
【分析】（1）直接利用二次函数平移的性质假设出解析式，进而将A点代入求出m的值进而得出答案；
（2）首先求出直线AB的解析式，进而表示出△PAB的面积，进而求出t的值，即可得出答案；
（3）首先表示出ON，NM的长，进而得出△OMN为等边三角形，再利用M点坐标得出t的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣m，
将A（﹣3，）代入y=x2﹣m，得m=1
则y=x2﹣1，
当x=4时，y=3，
故平移后的抛物线经过点（4，3）；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点A（﹣3，），点B（4，3）代入得：
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y=x+2，
设P（t， t2﹣1）
如图1，过点P作PQ∥y轴交AB于Q，
∴Q（t， t+2）
∴S△PAB=×[t+2﹣（t2﹣1）]×（4+3）=7，
解得：t=，
故（）2﹣1=，（）2﹣1=，
则P（，）或（，）；
（3）如图2，设M（a， a2﹣1）
则OM2=a2+（a2﹣1）2=（a2﹣1）2，MN2=（a2﹣1+2）2=（a2+1）2
∴OM=MN
∵∠OMN=60°
∴△OMN为等边三角形，
则∠MOF=30°，当OF=a，则MF=a，
可得M（a， a），
故a=a2﹣1，
解得：a1=2，a2=﹣，
则a=2或﹣
∴M（2，2）或（﹣，﹣）．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等边三角形的判定以及待定系数法解析式等知识，正确表示出M点坐标是解题关键．
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