第二十二章 《二次函数》 压轴题过关测试
1．如图所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=时，抛物线上一点的纵坐标取最大值．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于不同的两点M、N．
试求：当∠MON≤90°时，a的取值范围．（要写出必要的过程）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点之间的距离为|MN|=）
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及点C的坐标；
（Ⅱ）直线y=﹣x﹣2与该抛物线在第四象限内交于点D，与x轴交于点F，连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，求证：△AGF≌△CGD；
（Ⅲ）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M′，点H的坐标为（1，0），若四边形NHOM′的面积为，求点H到OM′的距离d．
3．研究发现，抛物线y=上的点到点F（0，1）的距离与到直线l：y=﹣1的距离相等．如图1所示，若点P是抛物线y=上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH．
基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y=的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线y=的关联点．
（1）在点M1（2，0），M2（1，2），M3（4，5），M4（0，﹣4）中，抛物线y=的关联点是 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3）
①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y=的关联距离d的取值范围；
②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y=的关联点，则t的取值范围是 ．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
5．定义：在平面直角坐标系中，点Q坐标为（x，y），若过点Q的直线l与x轴夹角为45°时，则称直线l为点Q的“湘依直线”．
（1）已知点A的坐标为（6，0），求点A的“湘依直线”表达式；
（2）已知点D的坐标为（0，﹣4），过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于C点，动点P在反比例函数y=（x＞0）上，求△PCD面积的最小值及此时点P的坐标；
（3）已知点M的坐标为（0，2），经过点M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线y=x2+（m﹣2）x+m+2相交与A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若0≤x1≤2，0≤x2≤2，求m的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．
（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；
（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当△CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；
（3）如图2，线段AE在第一象限内垂直BD并交BD于E点，将抛物线向右水平移动，点A平移后的对应点为点G；将△ABD绕点B逆时针旋转，旋转后的三角形记为△A1BD1，若射线BD1与线段AE的交点为F，连接FG．若线段FG把△ABF分成△AFG和△BFG两个三角形，是否存在点G，使得△AFG和△BFG中一个三角形是等腰三角形、另一个是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．
备注：抛物线顶点坐标公式（﹣，）
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2ax与x轴相交于O、A两点，OA=4，点D为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点，与y轴相交于点C，B点的横坐标是﹣1．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是直线AB上方抛物线上的一点，设P点的横坐标是t，△PAB的面积是S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当PB∥CD时，点Q是直线AB上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q点坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+x+2与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）抛物线上有一动点P，过点P作y轴的平行线分别交x轴和直线BC于点D和E，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥直线BC于点M．
（1）求抛物线及直线BC的函数关系式．
（2）当点M是线段BC的中点时，求m的值．
（3）如图2，当点P移动到抛物线的顶点位置时停止运动，点Q为抛物线上的另一动点，则在y轴的正半轴上是否存在点N，使得以点O，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
12．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B两点、与y轴负半轴交于点C，其中A在B的左侧，且点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）用含有c的式子分别表示b的值和点B的横坐标．
（2）如图1，连接BC，过点A作直线AE∥BC交抛物线y=x2+bx+c于点E，点D（2，0）是x轴上一点，若当C、D、E在同一直线上时，求抛物线的解析式．
（3）如图2，连接AC，在第一象限内，抛物线上是否存在点P点，使得A、B、P为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
13．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；
（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．
14．已知抛物线y=x2+bx+
c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．
①求△PCD的面积的最大值；
②是否存在点P，使得△
PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
参考答案
1．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣时，y取最大值，
∴抛物线的解析式是：y=﹣（x+）2+，即y=﹣x2﹣x+6；
当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6），
当y=0时，﹣x2﹣x+6=0，解得：x=2或﹣3，
即A点坐标是（﹣3，0），B点坐标是（2，0）．
将A（﹣3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m，
得，
解得：，
则直线的解析式是：y=2x+6；
（2）如图1，
过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S△ABP：S△BPC=1：3，
∴=，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC==3．
①当点P为线段AC上一点时，如图2，
过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．
∵PH∥OC，
∴==，
∴PH=，
∴=2x+6，
∴x=﹣，
∴点P（﹣，）；
②当点P在CA延长线时，如图3，
作PG⊥x轴，点G为垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴==，
∴PG=3，
∴﹣3=2x+6，x=﹣，
∴点P（﹣，﹣3）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣3）．
（3）如图4，
设直线y=x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）．
则，，为方程组的解，
由方程组消去y整理，得：x2+x+a﹣6=0，
∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6=0的两个根，
∴xM+xN=﹣，xM•xN=a﹣6，
∴yM•yN=（xM+a）（xN+a）=xM•xN+（xM+xN）+a2=（a﹣6）﹣a+a2．
∵∠MON=90°，
∴OM2+ON2=MN2，即 +++=（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2，
化简得xM•xN+yM•yN=0，
∴（a﹣6）+（a﹣6）﹣a+a2=0，
整理，得2a2+a﹣15=0，
解得a1=﹣3，a2=，
当直线y=x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6相切时易得a=．
∴当∠MON≤90°时，a的取值范围是a≤﹣3或≤a＜．
2．解：（Ⅰ）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式y=x2﹣x﹣3．
令x=0，则y=﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（Ⅱ）证明：∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2，
∴当y=0时，x=﹣2，
∴F（﹣2，0），OF=2，
∵A（﹣1，0），
∴OA=1，
∴AF=2﹣1=1，
由解得，，
∵点D在第四象限，
∴点D的坐标为（1，﹣3），
∵点C的坐标为（0，﹣3），
∴CD∥x轴，CD=1，
∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，
在△AGF与△CGD中
∴△AGF≌△CGD（ASA）；
（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N，
∴点M、N关于直线x=对称，
设N（t，m），则M（1﹣t，m），
∵点 M关于y轴的对称点为点M'，
∴M'（t﹣1，m），
∴点M'在直线y=m上，
∴M'N∥x轴，
∴M'N=t﹣（t﹣1）=1，
∵H（1，0），
∴OH=1=M'N，
∴四边形OM'NH是平行四边形，
设直线y=m与y轴交于点P，
∵四边形OM'NH的面积为，
∴OH×OP=1×m=，即m=，
∴OP=，
当x2﹣x﹣3=时，
解得x1=﹣，x2=，
∴点M的坐标为（﹣，），
∴M'（，），即PM'=，
∴Rt△OPM'中，OM'==，
∵四边形OM'NH的面积为，
∴OM'×d=，
∴d=．
3．解：（1）由题意知，当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PF+MP的值最小，且FM的取值范围为：2≤FM≤4符合题意．
∵F（0，1），M1（2，0），
∴FM1==，符合题意．
FM4=5＞4．不符合题意；
当点M与F在抛物线的同侧时，MP+PF的值等于点M到直线l：y=﹣1的距离，
∵点M2到直线y=﹣1的距离为3，
2＜3＜4，
∴M2是抛物线y=的关联点，
∵点M3到直线y=﹣1的距离为6，
6＞4，不符合题意，
综上所述，抛物线y=的关联点是M1，M2；
故答案是：M1，M2；
（2）①当t=4时，A（4，1），C（5，3）．B（5，1），D（4，3）．
∵F（0，1），
∴当点A与点M重合时，d==4；
当点C与点M重合时，d==，
当点D与点M重合时，d=2＞4，
当点B与点M重合时，d=5，
∴点M关于抛物线y=的关联距离d的取值范围是：4≤d≤．
②∵在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3），
∴B（t+1，1），点D（t，3）．
（i）t＞0时，当点A在抛物线y=上时，把y=1代入y=，得t=2；
当点C在抛物线y=上时，d取最大值，此时4=CF，即4=，故t=2﹣1．
此时2≤t≤2﹣1．
（ii）t＜0时，当点B在抛物线y=上时，把y=1代入y=，得t=﹣3；
当点D在抛物线y=上时，d取最大值，此时4=CF，即4=，故t=﹣2．
此时﹣2≤t≤﹣3．
（iii）t=0时，A（0，1），C（1，3），B（1，1），D（0，3）．故矩形ABCD上的所有点都是抛物线y=的关联点，
综上所述，t的取值范围是：﹣2≤t≤2﹣1．
故答案是：﹣2≤t≤2﹣1．
4．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠OAC=4，
∴OC=4，
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4，
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，﹣4）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，
解得k=﹣1，b=﹣1，
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．
∵直线AD的一次项系数k=﹣1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP=90°，
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．
设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），
则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4．
∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4；
（3）存在
点G的坐标为（，0）或（，0）．
附解题过程：设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）
①如图1，
若= 时，△AOC∽△EGN．
则 =，整理得：a2+a﹣8=0．
得：a=（负值舍去）∴点G为（，0）
②如图2，
若=时，△AOC∽△NGE．
则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
得：a=（负值舍去）
∴点G为（，0）．
综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．
5．解：由“湘依直线”的定义知，直线l与直线y=x或y=﹣x平行．
（1）设点A的“湘依直线”表达式为：y=x+b或y=﹣x+b，
将A（6，0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b
解得b=﹣6或b=6．
故点A的“湘依直线”表达式为：y=x﹣6或y=﹣x+6；
（2）∵点D的坐标为（0，﹣4），过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，
∴过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4，
∴C（﹣4，0），即△OCD是等腰直角三角形，
∴CD=4．
∵线段CD的长度为定值，
∴当过点P的直线与直线CD垂直时，△PCD面积的最小，
又∵点P在反比例函数y=（x＞0）图象上，
∴点P是线段CD的垂直平分线与双曲线的交点，如图，
∵直线CD与直线y=﹣x平行，
∴点P在直线y=x上，
故设P（a，a），
∴a=，
解得a=4（舍去负值）．
此时P（4，4），
S△PCD=×4×（4+2）=24．
综上所述，△PCD面积的最小值是24，此时点P的坐标是（4，4）；
（3）
∵点M的坐标为（0，2），过点M的“湘依直线”经过第一、二、三象限，
∴过点M的“湘依直线”为y=x+2，
则由题意知，
整理，得x2+（m﹣3）x+m=0
∴．
解得，≤m＜1．
故m的取值范围是≤m＜1．
6．解：（1）令x=0，则y=2
∴C（0，2）
∵对称轴为x==，且C，D关于对称轴对称
∴D（，2）
令y=0，则0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣，x2=2
∴A（﹣，0），B（2，0）
设直线AD解析式y=kx+b
解得：k=1，b=
∴直线AD解析式y=x+
（2）如图1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT
设M（m，2），则T（m，m+）
∵A（﹣，0），D（，2）
∴AH=DH
∴∠DAH=∠ADH=45°=∠CDA
∵MT∥DH，KN∥CD
∴∠KNT=∠KTN=45°=∠CDA
∴KT=KN，MT=MD
∵MN∥BD，
∴∠MND=∠ADB且∠CDA=∠DAB
∴△ADB∽△MND
∴
∴ND=MD
∵DT=MD
∴NT=MD
∵KN∥CD
∴=
∴KT=MT
∴KM=MT=（﹣m）
∴S△CMN=CM×KM=m×（﹣m）=﹣m2+m
∴当m=时，S△CMN最大值．
∴M（，2）
如图2 作M关于y轴对称点M1（﹣，2），作O关于BD的对称点O1（，）
∵MP+PQ+OQ=M1P+PQ+O1Q
∴M1，P，Q，O1共线时，MP+PQ+OQ值最小
∴最小值为M1Q1=
（3）如图3：根据题意可得直线BD解析式y=﹣2x+4，直线AE解析式y=x+，则E（，），即tan∠EAB=
①当AG=FG，∠GFB=90°时，设FH=a，则AH=2a，设AG=FG=x，则GH=2a﹣x[
∵FH2+GH2=FG2
∴a2+（2a﹣x）2=x2
∴x=a
∴GH=a
∵FH⊥AB，GF⊥FB
∴∠FBG=∠GFH
∴tan∠GFH=tan∠FBG
∴
∴BH=a
∵AH+BH=AB=3
∴2a+a=3
∴a=
∵OG=AG﹣AO
∴OG=×﹣=
∴G（，0）
②如图4
当FG=BG，∠AGF=90°时，设GF=a，则AG=2a，BG=a
∴AB=AG+BG=3a=3
∴a=
∴G（，0）
③如图5
当FG=BG，∠AFG=90°时，设GF=a，则BG=a，AG=a
∴AB=AG+BG=a+a=3
∴a=
∵OG=AG﹣AO=a﹣=
∴G（，0）
∴综上所述G（，0），（，0），（，0
7．解：（1）把y=0代入y=x+2得：0=x+2，解得：x=﹣4，
∴A（﹣4，0）．
把点A的坐标代入y=x2+mx﹣2得：m=，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
（2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，
设D（n， n2+n﹣2），H（n， n+2）．
∴DH=（n+2）﹣（n2+n﹣2）=﹣（n+1）2+．
∴当n=﹣1时，DH最大，最大值为，
此时△ABD面积最大，最大值为××4=9．
（3）把y=0代入 y=x2+x﹣2，得：x2+3x﹣4=0，解得：x=1或x=﹣4，
∴C（1，0）．
设直线CQ的解析式为y=ax﹣a，CP的解析式为y=bx﹣b．
∴，解得：x=1或x=2a﹣4．
∴xQ=2a﹣4．
同理：xP=2b﹣4．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y=kx+4k+1．
∴．
∴x2+（3﹣2k）x﹣8k﹣6=0，
∴xQ+xP=2a﹣4+2b﹣4=2k﹣3， xQ•xP=（2a﹣4）（2b﹣4）=﹣8k﹣6，
解得：ab=﹣．
又∵OE=﹣b，OF=a，
∴OE•OF=﹣ab=．
8．解：（1）∵OA=4
∴A（﹣4，0）
∴﹣16+8a=0
∴a=2，
∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，
∴B（﹣1，3），
将A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函数解析式，得
，
解得
直线AB的解析式为y=x+4，
∴k=1、a=2、b=4；
（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，如图1，
由（1）知直线AB是y=x+4，抛物线是y=﹣x2﹣4x，
∴当x=t时，yP=﹣t2﹣4t，yN=t+4
PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，
BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，
S△PAB=PN（AM+BH）=（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）=（﹣t2﹣5t﹣4）×3，
化简，得s=﹣t2﹣t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；
∴﹣4＜t＜﹣1
（3）y=﹣x2﹣4x，当x=﹣2时，y=4即D（﹣2，4），当x=0时，y=x+4=4，即C（0，4），
∴CD∥OA
∵B（﹣1，3）．
当y=3时，x=﹣3，
∴P（﹣3，3），
连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，如图2，
可证R在DT上
∴PN=ON=3
∴∠PON=∠OPN=45°
∴∠BPR=∠PON=45°，
∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠PBR=∠BAO=45°，
∴PO⊥AC
∵∠BPQ+∠CBO=180，
∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC
过点Q作QS⊥PN，垂足是S，
∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR，
可求BR=，OR=2，
设Q点的横坐标是m，
当x=m时y=m+4，
∴SQ=m+3，PS=﹣m﹣1
∴=，解得m=﹣．
当x=﹣时，y=，
Q（﹣，）．
9．解：（1）把点A的坐标为（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+x+2中得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（1分）
当x=0时，y=2，
∴C（0，2），（2分）
当y=0时，﹣x2+x+2=0，
x2﹣3x﹣4=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∵点A在点B的左侧，
∴B（4，0），（3分）
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2；（5分）
（2）如图1，在Rt△COB中，OC=2，OB=4，
由勾股定理得：BC==2，
∵M是BC的中点，
∴MB=BC=，（6分）
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m+2），E（m，﹣m+2），
∴PE=|（）﹣（﹣m+2）|=|﹣+2m|，（7分）
∴BD=OB﹣OD=4﹣m，
∵PD∥y轴，PM⊥BC，
∴cos∠MEP=，sin∠DEB=sin∠MEP==sin∠BCO===，
∴EB==（4﹣m），
ME=PE•cos∠MEP=PE•cos∠DEB=|﹣+2m|•，
∵BM=ME+BE，
∴|﹣+2m|•+（4﹣m）=，（9分）
解得：m=或（舍），
∴当点m是线段BC的中点时，m的值为；（10分）
（3）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
∴顶点P（，）
分两种情况：
①当Q在y轴的右侧时，如图2，四边形ONQM是平行四边形，
∴ON=QM，ON∥QM，
∴延长QM交x轴于K，则QK⊥OB，
当x=时，y=﹣×=，
∴E（，），即DE=，PE=﹣=，
cos∠MEP===，
∴ME=×=，
同理得：BE=，
∵DE∥MK，
∴，即，
∴MK=，同理得BK=，
∴OK=4﹣=，
∴M（，），
当x=时，y=﹣=，
∴Q（，），
根据平移规律可得N（0，），即N（0，）；
②如图3，当Q在y轴的左侧时，四边形MONQ是平行四边形，
由①知：M（，），
∴Q的横坐标为﹣，
当x=﹣时，y=﹣+2=，
∴Q（﹣，），
同理得：N（0，），即N（0，）；
综上，点N的坐标为（0，）或（0，）．（14分）
10．解：（1）当y=0时， x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PF=3PE，
∴=．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．
∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴=， =，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．
∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴=， =，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
11．解：（1）由已知，B点横坐标为3
∵A、B在y=x+1上
∴A（﹣1，0），B（3，4）
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得
解得
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E
∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）
∴EQ=4﹣3t，PE=t
∵∠PQE+∠NQC=90°
∠PQE+∠EPQ=90°
∴∠EPQ=∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2
∵PQ2=PE2+EQ2
∴S=2（）2=20t2﹣48t+32
当t=时，
S最小=20×（）2﹣48×+32=
②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）
∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t
∴N点坐标为（3，8﹣6t）
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时
8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4
解得t=
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2
当N在抛物线上时，8﹣6t=4
∴t=
综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
12．解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣2，0），
∴0=×（﹣2）2+b×（﹣2）+c，
∴b=，
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左侧），
∴﹣2与xB是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，
∴﹣2•xB=，
∴xB=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；
（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，
∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
∵B（﹣2c，0），
∴﹣2kc+c=0，
∵c≠0，
∴k=，
∴直线BC的解析式为y=x+c．
∵AE∥BC，
∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴×（﹣2）+m=0，解得m=1，
∴直线AE得到解析式为y=x+1．
由，
解得，，
∴点E坐标为（2﹣2c，2﹣c）．
∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），
∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．
∵C，D，E三点在同一直线上，
∴2﹣c=﹣×（2﹣2c）+c，
∴c2+c﹣2=0，
∴c1=1（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，
∴b=﹣，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）存在
①按（2）中方法可求得直线AP解析式为为y=x+1．
∴点P坐标为（2﹣2c，2﹣c）
∵AP∥CB，
当∠ACB=∠PBA时，△ABP∽△BCA
由题意可知，△ABP与△ABC底边相同
∴
∵AB=2﹣2c，BC=
∴由相似三角形面积之比等于相似比平方
整理的c3﹣2c2﹣4c=0
∵c≠0
∴c2﹣2C﹣4=0
解得
c1=（舍去），c2=
∴抛物线的解析式为：y=
②取点C关于x轴对称点C′（0，﹣c）
求直线AC′解析式为：
y=﹣
求AC′与抛物线交点
x2+x+c=﹣
解得x1=﹣2，x2=﹣4c
则P点坐标为（﹣4c，2c2﹣c）
∵∠CAB=∠BAP
当∠ABP=∠ACB时
△ACB∽△ABP
由题意可知，△ABP与△ABC底边相同
∵PB=
∴1﹣2c=
整理得
4c4+6c3=0
∵c≠0
∴4c+6=0
∴c=﹣，b=﹣
∴抛物线的解析式为：y=
故答案为y=或y=
13．解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，
当x=0时，y=，
∴C（0，），
y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，
∴D（﹣，），
∴DK=，CK=﹣=，
∴CD===；（4分）
（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，
解得：x1=﹣3，x2=，
∴A（﹣3，0），B（，0），
∵C（0，），
易得直线AC的解析式为：y=，
设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），
∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，
Rt△ACO中，AO=3，OC=，
∴AC=2，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF=，
∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），
=﹣﹣x+ [2﹣（）]，
=﹣﹣x﹣x，
=﹣（x+2）2+，（5分）
∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）
∴PC=2，
∵O1B1=OB=，
∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，
∴B1（﹣，0），
将B1向左平移个单位长度即得点O1，
此时PO1+B1C=P2C==，
对应的点O1的坐标为（﹣，0），（7分）
∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3；（8分）
（3）O2M的长度为或或2+或2．（12分）
理由是：如图3，∵H是AB的中点，
∴OH=，
∵OC=，
∴CH=BC=2，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2（﹣2，），
①如图4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
过C1作C1E⊥B2C于E，
∵B2C=B2C1=2，
∴=B2O2，B2E=，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣；
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=，
③如图6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M=AO2=；
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四边形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2，，
∴EM=，
∴O2M=EO2+EM=2+，
综上所述，O2M的长是或或2+或2．
14．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；
（2）当y=0时， x2﹣x﹣4=0，
解得：x=﹣2或4，
∴C（4，0），
如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，
∵S△PBO=S△PBC，
∴，
∴OE=CF，
易得△OEG≌△CFG，
∴OG=CG=2，
设P（x， x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，
tan∠PBM===，
∴BM=2PM，
∴4+x2﹣x﹣4=2x，
x2﹣6x=0，
x1=0（舍），x2=6，
∴P（6，8），
易得AP的解析式为：y=x+2，
BC的解析式为：y=x﹣4，
∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，
∴∠ABE=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE=，OE=﹣2=
∴E（，0），
∵B（0，﹣4），
易得BE：y=3x﹣4，
则x2﹣x﹣4=3x﹣4，
x1=0（舍），x2=8，
∴D（8，20）；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，
∵∠BEA=∠BEC，
∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，
∴==，
设BE=2m，CE=4m，
Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，
∴，
3m2﹣8m+8=0，
（m﹣2）（3m﹣2）=0，
m1=2，m2=，
∴OE=4m﹣4=12或，
∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，
∴E（﹣12，0）；
同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，
﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，
x=或0（舍）
∴D（，﹣）；
综上，点D的坐标为（8，20）或（，﹣）．
15．解：（1）直线y=﹣2x+3与x轴、y轴的交点坐标分别为：C（0，3），D（，0）．
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴设所求抛物线的函数关系式为 y=a（x+1）（x﹣3），
把点C（0，3）代入，得3=a（0+1）（0﹣3），解得a=﹣1．
∴所求抛物线的函数关系式为：y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3．（4分）
（2）①如图1，过点P作PE⊥y轴于点F，交DC于点E，
由题意，设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点E的纵坐标为﹣t2+2t+3．
以y=﹣t2+2t+3代入y=﹣2x+3，得，
∴点E的坐标为（，﹣t2+2t+3），
∴PE=．…（6分）
∴S△PCD=PE•CO．
===．…（8分）
∵a=＜0，且0＜t＜3，
∴当t=2时，△PCD的面积最大值为3．…（9分）
【解法一】②△PCD是以CD为直角边的直角三角形分两种情况：…（10分）
（Ⅰ）若∠PCD=90°，如图2，过点P作PG⊥y轴于点G，
则△PGC∽△COD，
∴，即．
整理得 2t2﹣3t=0，解得 t1=，t2=0（舍去）．
∴点P的坐标为（，）．…（12分）
（Ⅱ）若∠PDC=90°，如图3，过点P作PH⊥x轴于点H，
则△PHD∽△DOC，
∴，即，
整理得 4t2﹣6t﹣15=0，解得 t1=，t2=（舍去）．
∴点P的坐标为（，）．
综上所述，当△PCD是以CD为直角边的直角三角形时，点P的坐标为（，）或（，）．…（14分）
【解法二】②△PCD是以CD为直角边的直角三角形分两种情况：
（Ⅰ）若∠PDC=90°，如图4，延长PD交y轴于点M，
则△DOM∽△COD，
∴，即，
∴OM=，即点M的坐标为（0，）．
∴直线DM所对应的函数关系式为．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴，
整理得 4t2﹣6t﹣15=0，解得 t1=，t2=（舍去）．
∴点P的坐标为（，）．…（12分）
（Ⅱ） 若∠PCD=90°，如图5，过D作则PC∥DM，
∴直线CP所对应的函数关系式为．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴，
整理得 2t2﹣3t=0，解得 t1=，t2=0（舍去）．
∴点P的坐标为（，）．
综上所述，当△PCD是以CD为直角边的直角三角形时，
点P的坐标为（，）或（，）．…（14分）
16．解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD=2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
∴Q点坐标为（，）或（，）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．
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