人教版九年级下册《第27章相似》单元评估检测试卷（有答案）.docx

人教版九年级数学下册 第27章 相似 单元评估检测试卷 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） ‎ ‎1. 已知‎3‎x‎=‎‎2‎‎5‎，则x的值是（ ） ‎ A.‎‎10‎‎3‎ B.‎‎15‎‎2‎ C.‎‎3‎‎10‎ D.‎‎2‎‎15‎ ‎ 2. 如图，C是线段AB上的一点，且AC:CB=2:3‎，那么AB:BC等于（ ）‎ A.‎‎2:3‎ B.‎‎5:3‎ C.‎‎3:2‎ D.‎‎3:5‎ ‎ 3. 如图，在‎△ABF中，D为AB的中点，C为BF上一点，AC与DF交于点E，AE=‎3‎‎4‎AC，则BCCF的值为（ ）‎ A.‎‎1‎ B.‎‎3‎‎4‎ C.‎‎4‎‎3‎ D.‎‎2‎ ‎ 4. 如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC>AC，D是AC的中点，过点D作直线L，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L有________条． ‎ ‎ 15. 在阳光下，一名同学测得一根长为‎1‎米的竹竿的影长为‎0.8‎米，同时另一名同学测得一棵树落在学校墙壁上的影长为‎1.2‎米，此树落在地面上的影长为‎2.4‎米，则此树的高为________米． ‎ ‎ 16. 如图，在‎△ABC中，AB=AC，‎∠A=‎‎36‎‎∘‎，BD平分‎∠ABC交AC于点D，下列结论中： ①BD=BC=AD；②S‎△ABD‎:S‎△BCD=AD:DC；③BC‎2‎=CD⋅AC；④若AB=2‎，则BC=‎2‎-1‎， 其中正确结论的个数是________个．‎ ‎ 17. 如图所示，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，平放在离树根部‎12m的地面上，然后他沿着树根和镜子所在直线后退，当他退了‎4m时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的目高为‎1.6m，则树的高度是________．‎ ‎ 18. 在四边形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF // AB，EG // CD，求EFAB‎+EGCD=‎________．‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计66分 ， ） ‎ ‎19.(10分) 如图，AD是直角三角形‎△ABC斜边上的高 ‎ ‎(1)‎若AD=6cm，CD=12cm，求BD的长；‎ ‎ ‎(2)‎若AB=15cm，BC=25cm，求BD的长．‎ ‎ ‎ ‎20.(10分) 如图，在直角坐标系中，‎△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）．‎ ‎ ‎(1)‎在第一象限内找一点P，以格点P、A、B为顶点的三角形与‎△ABC相似但不全等，请写出符合条件格点P的坐标；‎ ‎ ‎(2)‎请用直尺与圆规在第一象限内找到两个点M、N，使‎∠AMB=∠ANB=∠ACB．请保留作图痕迹，不要求写画法．‎ ‎ ‎ ‎21.(10分) 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．‎ ‎ ‎ ‎(1)‎过点O作‎0E⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G点，则‎△ABC与‎△FGC是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出位似比；若不是，请说明理由．‎ ‎ ‎(2)‎连接DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，试确定CIBC的值．‎ ‎ ‎ ‎22.(12分) 如图，有三条线段AB、BD、DC，AB=6‎，BD=8‎，DC=2‎，且AB // DC．点E和点F分别为BD上的两个动点，且DFBE‎=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎ ‎ ‎(1)‎求证：‎△ABE∽△CDF； ‎ ‎(2)‎当EF=2‎时，求BE的长度；‎ ‎(3)‎在以上‎2‎个问题的解题过程中，概括（或者描述）你所用到数学基本知识（定义、定理等）或者是利用的数学思想方法．（共写出‎2‎点即可）‎ ‎ ‎ ‎23. （12分） 如图是几组三角形的组合图形，图①中，‎△AOB∽△DOC；图②中，‎△ABC∽△ADE；图③‎ 中，‎△ABC∽△ACD；图④中，‎△ACD∽△CBD． 小Q说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是O和A． 小R说：图③、④是位似变换，其位似中心是点D． 请你观察一番，评判小Q，小R谁对谁错． ‎ ‎ ‎ ‎24.(12分) 如图‎1‎，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB‎=‎BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，某教学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似的给出“黄金分割线”的定义：“一直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S‎1‎，S‎2‎，如果S‎1‎S‎=‎S‎2‎S‎1‎，那么称这条直线为该图形的黄金分割线． ‎ ‎(1)‎如图‎2‎，在‎△ABC中，‎∠A=‎‎36‎‎∘‎，AB=AC，‎∠C的平分线交AB于点D，请问直线CD是不是‎△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎如图‎3‎，在边长为‎1‎的正方形ABCD中，点E是边BC上一点，若直线AE是正方形ABCD的黄金分割线，求BE的长． ‎ 答案 ‎1. B ‎2. B ‎3. D ‎4. A ‎5. A ‎6. D ‎7. B ‎8. C ‎9. A ‎10. D ‎11. ‎‎2:3‎ ‎12. ‎‎2:32:3‎ ‎13. ‎‎△DEF ‎14. ‎‎4‎ ‎15. ‎‎4.2‎ ‎16. ‎‎4‎ ‎17. ‎‎4.8m ‎18. ‎‎1‎ ‎19. 解：‎(1)‎∵AD是直角三角形‎△ABC斜边上的高， ∴AD‎2‎=CD⋅BD， ∴BD=‎6‎‎2‎‎12‎=3(cm)‎；‎(2)‎∵AD是直角三角形‎△ABC斜边上的高， ∴AB‎2‎=BD⋅BC， ∴BD=‎15‎‎2‎‎25‎=9(cm)‎．‎ ‎20. 解：‎(1)‎如图所示：P(1, 4)‎或P'(3, 4)‎；‎ ‎(2)‎作‎△ABC的外接圆，在ACB上取两点M，N即可．‎ ‎21. 解：‎(1)‎∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG // AB， ∴‎△ABC∽△FGC， ‎△ABC与‎△FGC对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或重合， ∴‎△ABC与‎△FGC是位似图形，位似中心是点C， ∵BO=OD，OE // CD， ∴DCOE‎=BDOB=2‎ ∴CFFO‎=DCOE=2‎， ∴CGCE‎=‎‎2‎‎3‎， ∴CGCB‎=‎‎1‎‎3‎， 则‎△ABC与‎△FGC的位似比为‎3‎；‎(2)‎由‎(1)‎得，EGEC‎=‎‎1‎‎3‎，FG // CD， ∴‎FGCD‎=EGEC=‎‎1‎‎3‎ ‎， ∴CICG‎=CHCF=‎‎3‎‎4‎，又CGCE‎=‎‎2‎‎3‎， ∴CICE‎=‎‎1‎‎2‎， ∴CIBC‎=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎22. ‎(1)‎证明：∵AB // CD∴‎∠B=∠D， 又∵CDAB‎=‎‎1‎‎3‎，DEBE‎=‎‎1‎‎3‎， ∴‎△ABE∽△CDF．‎(2)‎解：设BE=x，则DF=‎1‎‎3‎x， 又∵BD=8‎， ∴x+‎1‎‎3‎x=8-2‎， 解得：x=‎‎9‎‎2‎， ∴BE的长度为：‎9‎‎2‎．‎(3)‎解：①两直线平行，内错角相等          ②相似三角形对应边成比例 ③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 ④分类讨论思想      ⑤数形结合思想      ⑥方程思想（列方程解决实际问题）．‎ ‎23. 解：根据位似图形的定义得出： 小Q对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为O、A， ③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换．‎ ‎24. 解：‎(1)‎直线CD是‎△ABC的黄金分割线． 理由：如图‎2‎， ∵AB=AC，‎∠A=‎‎36‎‎∘‎， ∴‎∠ABC=∠ACB=‎180‎‎∘‎‎-‎‎36‎‎∘‎‎2‎=‎‎72‎‎∘‎． ∵CD平分‎∠ACB， ∴‎∠ACD=∠BCD=‎1‎‎2‎∠ACB=‎‎36‎‎∘‎， ∴‎∠BDC=‎72‎‎∘‎=∠B，‎∠A=∠ACD， ∴BC=DC，AD=DC， ∴BC=AD． ∵‎∠B=∠B，‎∠BCD=∠A，‎ ‎ ∴‎△BCD∽△BAC， ∴BDBC‎=‎BCBA， ∴BDDA‎=‎DABA． ∵S‎△BCDS‎△ADC‎=‎BDAD，S‎△ADCS‎△ABC‎=‎ADAB， ∴S‎△BCDS‎△ADC‎=‎S‎△ADCS‎△ABC， ∴直线CD是‎△ABC的黄金分割线；‎(2)‎设BE=x，如图‎3‎， ∵正方形ABCD的边长为‎1‎， ∴S‎△ABE‎=‎1‎‎2‎AB⋅BE=‎1‎‎2‎x，S正方形ABCD‎=‎1‎‎2‎=1‎， ∴S四边形ADCE‎=1-‎1‎‎2‎x． ∵直线AE是正方形ABCD的黄金分割线， ∴S‎△ABES四边形ADCE‎=‎S四边形ADCES正方形ABCD， ∴S四边形ADCE‎2‎‎=S‎△ABE⋅‎S正方形ABCD， ∴‎(1-‎1‎‎2‎x‎)‎‎2‎=‎1‎‎2‎x⋅1‎， 整理得：x‎2‎‎-6x+4=0‎， 解得：x‎1‎‎=3+‎‎5‎，x‎2‎‎=3-‎‎5‎． ∵点E是边BC上一点， ∴x