万州二中高2020级高二上期期中考试
数学试卷（文科）
命题人：张春 审题人：向忠
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知直线：x+2ay-1=0, 与：(2a-1)x-ay-1=0平行，则a的值是( )
A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D.
2. 不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点( )
A. B. (-2，0) C. (-2，3) D. (2，3)
3．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.A、B、C均有可能
4．棱长分别为2，，的长方体的外接球的表面积为( )
A． B. C. D.
5．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图(如图所示)，其中，，，则直角梯形边的长度是( )
A. B． C． D．
6．如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线BN与MB1是异面直线；
③直线AM与BN是平行直线； ④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
7．长方体ABCD-A1B1C1D1中，w.w.w.GkStK.c.o.m∠BAB1 =60°，则C1D与B1B所成的角是（ ）]
A．60° B．90° C． 30° D． 45°
8.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9．已知正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）底面边长为1且侧棱长为4,为的中点,从拉一条绳子绕过侧棱到达点的最短绳长为( )
A． B． C． D．
10. 曲线x2+y2+4x-4y=0关于( )
A. 直线x=4对称 B. 直线x+y=0对称 C. 直线x-y=0对称 D. 直线 (-4,4)对称
11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是( )
A. B． C. D.3
12.已知四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若三点 A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为 ▲ ．
14.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为▲ .
15.若圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形则圆柱的体积为 ▲ .
16.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分）
17 .（本小题满分10分）已知直线，求：
(1)点P(4,5)关于的对称点；
(2)直线关于直线对称的直线方程.
18. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．
20如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
21. （本小题满分12分）已知圆C的圆心坐标且与直线相切
（1）求圆C的方程；
（2）设直线与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由．
22. （本小题满分12分）已知曲线
（1）若曲线C1是一个圆，且点P(1,1)在圆C1外，求实数m的取值范围；
（2）当m=1时，曲线C1关于直线对称的曲线为C2.设P为平面上的点，满足：存在过P点的无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与曲线C1和曲线C2相交，且直线l1被曲线C1截得的弦长与直线l2被曲线C2截得的弦长总相等.求所有满足条件的点P的坐标；
高二上期文科数学10月月考试题参考答案
一、选择题
1-6：CCDBBD 7-12:CCBBB B
二、填空题
13. 4 14. 15. 16.
三、解答题
17. (本小题满分10分）
（1）设P（x，y）关于直线：3x－y＋3＝0的对称点为则
∵，即．①
又PP'的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴．②
由①②得．
把x＝4，y＝5代入③④得＝－2，＝7，
∴P（4，5）关于直线的对称点的坐标为（－2，7）．
（2）用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y得关于的对称直线方程为
．
化简得7x＋y＋22＝0．
18. (本小题满分12分）
解：连结交于点,连结,
∵四棱锥的底面为边长等于2的正方形，顶点与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长4，∴，∴
∴这个四棱锥的体积： (8分)
∴该四棱锥的表面积： (12分)
19. (本小题满分12分）
解： (1)∵在三棱锥P−ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点
∠BAC= ，AB=2，AC=，PA=2.∴，
∴三棱锥P−ABC的体积为 (6分)
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC，
∴∠ADE或其补角是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中,，
中，
故:异面直线BC与AD所成角的余弦值为 (12分)
19. (本小题满分12分）
11.【答案】解：（1）证明：底面ABCD是正方形，
AB∥CD ,
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
AB∥平面PCD ,
又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
AB∥EF ;
（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD
CD⊥平面PAD ,
又AF⊂平面PAD ,
CD⊥AF ,
由（1）可知，AB∥EF，
又AB∥CD，C,D,E,F 在同一平面内，
CD∥EF ,
点E是棱PC中点，
点F是棱PD中点 ,
在△PAD中，PA=AD，
AF⊥PD ,
又PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,
AF⊥平面PCD．
20（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EFAD,EF=AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BCEF, BC=EF
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
∴直线CE平面PAB；
（2）解：四棱锥P-ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，
可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=
=，
二面角M-AB-D的余弦值为：=．
21. (本小题满分12分）
解：解：（Ⅰ）根据题意，，
故圆的标准方程为：（x-2）2+y2=10；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是直线y=-x+m与圆C的交点，
联立y=-x+m与（x-2）2+y2=10可得：2x2-（4+2m）x+m2-6=0，
则有x1+x2=m+2，x1•x2=，
则MN中点H的坐标为（，），
假设以MN为直径的圆经过原点，则有|OH|=|MN|，
圆心C到MN的距离d=，
则有|MN|=2=2，
又由|OH|=|MN|，
则有（）2+（）2=10-，
解可得m=1±，
经检验，m=1±时，直线与圆相交，符合题意；
故直线MN的方程为：y=-x+1+或y=-x+1-．
22. (满分12分）(1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R，
AD=x，则OD=72−x，
由题意得，∴R=12，r=6，x=36，∴AD=36cm。………（5分）
(2)圆台所在圆锥的高H==12,圆台的高h=，
∴………（12分）
9.【答案】解：（Ⅰ）依题意得，解得，即实数的取值范围是
（Ⅱ）当时，圆，圆心，
半径，圆，圆心，半径.
（ⅰ）因为要存在存在过点的无穷多对互相垂直的直线，
所以必有无穷多对的斜率存在.设直线的斜率为，则
直线，同理直线，由于两圆半径相等，
要使得直线被曲线截得的弦长与直线被曲线截得的弦长总相等，
即，即，
即，所以
或整理得或
因为对无穷个k都成立，所以
或，解得或即，
（ⅱ）设到MN的距离为，则，，
所以
同理
所以（定值）
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