专题训练（一）巧解时钟问题
1. 同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：
(1)三点整时，时针与分针所夹的角是______度；
(2)7点25分时，时针与分针所夹的角是______度；
(3)一昼夜(0点到24点)时针与分针互相垂直的次数有多少次？
[解析] (1)看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°，3×30°＝90°；(2)方法同(1)，2×30°＝72.5°；(3)时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分钟就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可．
解： (1)90
(2)72.5
(3)设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则
6x－0.5x＝2×90，5.5x＝180，x＝ .
24×60÷
＝24×60×
＝44(次)．
答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．
2. 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？
[解析] 2点时，分针在时针后60°，一段时间后分针追上了时针(重叠)，即在相同的时间内，分针比时针多跑60°(如图4－T－14)．这道题可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝开始时两者的距离(60°)．
图4－T－14
解： 设2点x分时，时钟的时针和分针重叠，x分钟内，时针转过0.5x°，分针转过6x°.
则6x－0.5x＝60，
解得x＝.
答：2点分时，时钟的时针和分针重叠．
3. 在某地大地震后，许许多多志愿者到灾区投入抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门她看到钟表上的时针与分针正好是重合的，下午两点多她拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线．问小方是几点钟去为灾民服务的？几点钟回到家的？共用了多长时间？
[解析] 在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°，时针转动°.依据这一关系列出方程，可以求出．
解： 设8点x分时，时针与分针重合，则x－x＝40，解得x＝.即8点分时出门．
设2点y分时，时针与分针方向相反，则y－y＝10＋30，解得y＝，即下午2点分时回家．
14点分与8点分相差6小时．
答：共用了6个小时．
4. 纪璇同学晚上6点多钟开始做作业时，她发现钟表上时针和分针的夹角为120°，做完作业后，
她发现钟表上时针和分针的夹角还是120°，但这时已近晚上7点了．问纪璇同学做作业用了多长时间？(精确到分)
[解析] 6点整时，时针和分针在一条直线上，它们的夹角为180°，开始做作业时，分针在时针后120°，做完作业后，分针追到时针前120°，即在相同的时间内，分针比时针多跑240°(如图4－T－15)．这道题也可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝240°.
图4－T－15
解： 设她做作业用了x分钟，由题意得
6x－0.5x＝240.解得x＝≈44(分)．
答：她做作业用了约44分钟．
这种解时钟问题的方法你掌握了吗？不妨给自己出道题试试看．
5. 某钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？
[解析] 先求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成60小格，每一大格所对角的度数为30°，每一小格所对角的度数为6°，即可求出晚上9时35分20秒时，时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有的小彩灯个数．
解： 晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角为
9×30°＋35×0.5°＋20÷60×0.5°－(7×30°＋20÷60×6°)＝°，
75 ÷6≈12.6(个)．
故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．
专题训练(二)——正方体的展开图
类型之一 识别正方体的展开图
1．下列图形是正方体的展开图的是( )
图6－ZT－1
[解析] C A图中四个相连的正方形可围成正方体的侧面，另两个正方形无法围成正方体相对的底面，所以排除选项A.因为B图中含有“凹”字，D图中含有“田”字，所以均被排除．C图属于“一四一型”，故选C.
2．一个长方体的展开图如图6－ZT－2所示，其表面积是________，体积是________．
图6－ZT－2
[答案] 4ab＋2b2 ab2
[解析] 由展开图可知，这个长方体的6个表面中有2个面是边长为b的正方形，有4个面是长为a，宽为b的长方形．
3．将如图6－ZT－3所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去________(填序号)．
图6－ZT－3
[答案] 1或2或6
[解析] 根据有“田”字形结构的展开图都不是正方体的展开图，可知应剪去1或2或6.
4．[菏泽中考] 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图6－ZT－4的几何体，其展开图正确的为( )
图6－ZT－4
图6－ZT－5
[解析] B 选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合，故选择B.
类型之二 根据展开图识别正方体的相对面和相邻面
图6－ZT－6
5．[贵港中考] 如图6－ZT－6是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“共”字一面相对的面上的字是( )
A．美 B．丽 C．家 D．园
[解析] D 构成相对面的是“共”与“园”，“建”与“丽”，“美”与“家”，所以选D.
6．一个正方体的展开图如图6－ZT－7所示，每个面上都标注了字母，若从正方体的右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是( )
图6－ZT－7
A．面E B．面F
C．面A D．面B
[答案] A
7．[恩施州中考] 正方体的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图6－ZT－8是其三种不同的放置方式，与数字“6”相对的面上的数字是( )
图6－ZT－8
A．1 B．5 C．4 D．3
[答案] B
8．如图6－ZT－9是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是________．
图6－ZT－9
[答案] 6
[解析] 相对面上的数字分别是1与5，2与6，3与4，它们的和分别是6，8，7，其最小值是6.
9．一个正方体相对的两个面上的点数和都等于7，在图6－ZT－10所示的两个展开图的各空白面分别画上适当的点数．
图6－ZT－10
解： 如图6－ZT－11所示．
图6－ZT－11
10．立方体的六个面上标着连续的整数，它的展开图如图6－ZT－12所示，若相对的两个面上所标数的和相等，求这六个数的和．
图6－ZT－12
解： 由图可知，六个连续的整数必定包括4，5，6，7，因此六个连续的整数可能是2，3，4，5，6，7或3，4，5，6，7，8或4，5，6，7，8，9.由于相对面上的数字之和相等，且4，5，7是相邻面，所以六个数只可能是以上第三种，此时相对面是4与9，5与8，6与7.它们的和为13×3＝39.
专题训练(三)——线段或角的计算
类型之一 线段的和差倍分计算
1．如图7－ZT－1，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8 cm，BC＝2 cm，则MC的长是( )
图7－ZT－1
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．6 cm
[解析] B 由图可知AC＝AB－BC＝8－2＝6(cm)．∵点M是AC的中点，∴MC＝AC＝3(cm)．
2．将一把刻度尺如图7－ZT－2所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“8 cm”分别对应数轴上的－3.6和x，则x的值为( )
图7－ZT－2
A．4.2 B．4.3
C．4.4 D．4.5
[解析] C 由图可知x＝8－3.6＝4.4.
3．如图7－ZT－3所示，C，D是线段AB上的两点，已知BC＝AB，AD＝AB，AB＝12 cm，则DC的长为________．
图7－ZT－3
[答案] 5 cm
[解析] 因为BC＝12×＝3，AD＝12×＝4，
所以DC＝12－(4＋3)＝5(cm)．
4．已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3 cm，则线段AC＝____________．
[答案] 5 cm或11 cm
[解析] (1)如图7－ZT－4①，当点C在线段AB上时，AC＝AB－CB＝8－3＝5(cm)；
图7－ZT－4
(2)如图6－ZT－1②，当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(cm)．
所以AC＝5 cm或11 cm.
5．已知：如图7－ZT－5，B，C为线段AB上的两点，且AB＝BC＝CD，AD＝18.
(1)求BC的长；
(2)图中共有多少条线段？求所有线段的长度的和．
图7－ZT－5
解： (1)设AB＝x，则BC＝2x，CD＝3x.
于是x＋2x＋3x＝18，解得x＝3.所以BC＝2x＝6.
(2)图中共有6条线段，它们是AB，AC，AD，BC，BD，CD，
这些线段的长度的和为3AD＋BC＝3×18＋6＝60.
类型之二 角的和差倍分计算
6．已知∠AOB＝90°，OC是它的一条三等分线，则∠AOC等于( )
A．30°或60° B．45°或60°
C．30° D．45°
[解析] A 一个角的三等分线共有2条．
7．若一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角为( )
A．30° B．40° C．60° D．75°
[解析] B 设这个角为x°，则依题意可列方程90－x＝(180－x)－20，
解得x＝40.所以选B.
8.在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是( )
A．60° B．120°
C．60°或90° D．60°或120°
[解析] D 如图7－ZT－6(1)所示，∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝180°－30°－90°＝60°；如图7－ZT－6(2)所示，∠AOD＝90°－∠AOC＝90°－30°＝60°，∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－60°＝120°.故选D.
图7－ZT－6
9．一副三角板如图7－ZT－7所示放置，则∠AOB＝________．
图7－ZT－7
[答案] 105°
10．如图7－ZT－8，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，∠AOD＝120°.则∠BOD＝________°，∠AOC＝________°.
图7－ZT－8
[答案] 100 60
[解析] ∠BOD＝∠AOD＝×120°＝100°，
∠AOC＝∠AOD＝×120°＝60°.
11．如图7－ZT－9，∠AOB＝90°，OD平分∠BOC，∠AOC＝2∠1，则∠1＝________度．
图7－ZT－9
[答案] 67.5
[解析] ∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠1.
∵∠AOC＝2∠1，
∴∠BOC＝∠AOC＝×(360°－∠AOB)＝×(360°－90°)＝135°，
∴∠1＝∠BOC＝67.5°.
12．如图7－ZT－10，点O在直线BC上，∠1与∠2互余，OE平分∠AOC，∠1＝27°20′.求∠2，∠3的度数．
图7－ZT－10
解： 因为∠1与∠2互余，
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′.
因为OE平分∠AOC，
所以∠3＝(180°－∠1)＝×(180°－27°20′)＝76°20′.
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