万州二中高2020级高二上期中期考试理科数学试题
命题人：张应红 审题人：左建平
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的
1．直线的倾斜角是( )
A． B． C． D．
2．已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是( )
A． B． C． D．
3．在长方体中，，则异面直线所成角的余弦值为( )
A．B． C． D．
4．设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是( )
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
5．已知直线平行，则实数的值为( )
A． B． C．或 D．
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为( )
试卷第11页，总6页
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A． B．
C． D．
7．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )
A． B．
C． D．
8．若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
9．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )
A．B．或
C． D．
10．如图，将边长为2的正方体沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，错误的为( )
A．直线平面
B．
C. 三棱锥的外接球的半径为
D．若为的中点，则平面
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，⊥平面, ，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为( )
试卷第11页，总6页
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A． B． C． D．
12．设a，则的最小值为( )
A．11B．121 C．9 D．81
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上
13．已知空间两点，，则它们之间的距离为__________．
14．已知直线截圆所得的弦的中点坐标为，则弦的垂直平分线方程为____________.
15．在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为___________.
16．在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）已知圆．
（1）求过圆心且在轴、轴上的截距相等的直线方程．
（2）已知过点的直线交圆于、两点，且，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，且900
（2）若，四棱锥的体积为9，求四棱锥的侧面积
试卷第11页，总6页
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19．（本小题满分12分）已知圆过两点，且圆心在上．
（1）求圆的方程；
（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.
20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
21．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，.
试卷第11页，总6页
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（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.
22.（本小题满分12分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点.
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
试卷第11页，总6页
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万州二中高2020级高二上期中期考试理科数学试题
参考答案
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13．14．15．16．
16.【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1．
设点的坐标为，
∵，
∴，
整理得，
故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．
由题意得圆和点Q的轨迹有公共点，
∴，
解得．
∴实数的取值范围是．
17．【解析】（）①若直线过原点，设为，过圆心为可得，
此时直线方程为．
②若直线不过原点，设为，即
由过圆心为可得，，
综上所述，直线方程为或．
（）①若斜率不存在，则直线方程为，
弦长距，半径为，则，符合题意．
②若斜率存在，设直线方程为，
试卷第11页，总6页
弦心距得，解得，
综上所述，直线的方程为或.
18．【解析】（1）
又
又
（2）设，则.
过作,为垂足，为中点.
.
..
四棱锥P-ABCD的侧面积为：
,
。
19．【解析】（1）法一： 线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x－y＝0.
解方程组，解得，所以圆M的圆心坐标为(1,1)，
半径.
故所求圆M的方程为
法二：设圆M的方程为，
根据题意得，解得，.
故所求圆M的方程为
试卷第11页，总6页
（2）如图，
由题知，四边形PCMD的面积为
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可。
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以
所以四边形PCMD面积的最小值为.
20．【解析】（1）如图，
连接，交于点，再连接，据直棱柱性质知，四边形为平行四边形，为的中点，∵当时，，∴是的中点，∴，
又平面，平面，∴平面.
（2）如图，在平面中，过点作，垂足为，
∵是中点，
∴点到平面与点到平面距离相等，
∵平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，
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∴长为所求，在中，，，，
∴，∴点到平面的距离为.
21．【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，
因为底面是边长为的正三角形，
所以，且，
因为，，，
所以，
所以，又因为，
所以，
所以， 又因为，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（Ⅱ）证明：过连接
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由（Ⅰ）知道：平面,结合三垂线定理得
即为所求角.
在中，
同理可求
在中，由面积相等可得
又
22.【解析】（1）圆化为，所以圆的圆心坐标为
（2）方法一：设线段的中点，由圆的性质可得垂直于直线.
设直线的方程为（易知直线的斜率存在），所以，，所以，所以，即.
因为动直线与圆相交，所以，所以.
所以，，解得，
，综上：
所以满足
即的轨迹的方程为.
方法二：设线段的中点，直线的方程为（易知直线的斜率存在），则
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得：
.解得：
消去得：
又解得：或
的轨迹的方程为
（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.
结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按顺时针方向运动到的圆弧（不包含端点）.
由条件得：而当直线与轨迹相切时，，解得（舍去）.
结合图形，可得当时，直线与曲线只有一个交点。
综上所述，当时直线与曲线只有一个交点.
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