广东省珠海市姓名：__________班级：__________考号：__________
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2017-2018学年第一学期
八年级第三次月考数学试题
考试时间：100分钟
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
△注意事项：
1.填写答题卡请使用2B铅笔填涂
2.提前5分钟收答题卡
一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm
如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
已知x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（x3）3=x6
C．x5+x5=x10 D．（﹣x）6÷x2=x4
若a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2=c2﹣2ab，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 034米，将这个数用科学记数法表示为（ ）米
A．0.34×10﹣9 B．3.4×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（ ）
A．16 B．23 C．16或23 D．13
已知A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001）
一 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是 边形．
因式分解：2m2﹣8n2= ．
若2x=3，4y=5，则2x﹣2y的值为 ．
如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=96°，则∠2的度数为 ．
若x2+2（m﹣3）x+16是一个完全平方式，那么m应为 ．
如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=11cm，CF=5cm，则BD= cm．
一 、解答题（本大题共9小题，共52分）
为迎接国庆长假，长沙某商家用1200元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1800购进第二批多肉盆栽，已知两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元．
（1）这两批多肉盆栽的单价各是多少元？
（2）第一批盆栽以20元每盆售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批的盆栽每盆售价最少应该为多少元？
如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．
（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；
（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．
甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
（1）计算：2x（x﹣4）+3（x﹣1）（x+3）；
（2）分解因式：x2y+2xy+y．
（3）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
（4）分解因式：（x2y2+1）2﹣4x2y2
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．
在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
解答题
（1）若3a=5，3b=10，则3a+b的值．
（2）已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
2017-2018学年广东省珠海市小林中学八年级第三次月考
答案解析
一 、选择题
1若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm
【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．
【解答】解：①4cm是底边时，腰长为×（16﹣4）=6，能组成三角形，
②4cm是腰长时，底边为16﹣2×4=8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论．
2. 如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3.已知x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】首先分解x2y﹣xy2，再代入x﹣y=2，xy=3即可．
【解答】解：x2y﹣xy2=xy（x﹣y）=3×2=6，
故选：D．
【点评】此题主要考查了提公因式分解因式，关键是正确确定公因式．
4.下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（x3）3=x6
C．x5+x5=x10 D．（﹣x）6÷x2=x4
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：a2•a3=a5，A错误；
（x3）3=x9，B错误；
x5+x5=2x5，C错误；
（﹣x）6÷x2=x4，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、除法、合并同类项、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.若a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2=c2﹣2ab，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据题意，利用完全平方公式展开求得a、b、c之间的关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵（a﹣b）2=c2﹣2ab，
∴a2+b2﹣2ab=c2﹣2ab，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，合并同类项，勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 034米，将这个数用科学记数法表示为（ ）米
A．0.34×10﹣9 B．3.4×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 000 034=3.4×10﹣11．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（ ）
A．16 B．23 C．16或23 D．13
【分析】本题没有明确已知的两边的具体名称，要分为两种情况即：①3为底，10为腰；②10为底，3为腰，可求出周长．注意：必须考虑三角形的三边关系进行验证能否组成三角形．
【解答】解：∵等腰三角形的两边分别是3和10，
∴应分为两种情况：①3为底，10为腰，则3+10+10=23；
②10为底，3腰，而3+3＜10，应舍去，
∴三角形的周长是23．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
9.已知A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），纵坐标相同，因而AB平行于x轴，A，B之间的距离为4．
【解答】解：正确的是：②A，B关于y轴对称；④若A，B之间的距离为4．
故选：B．
【点评】本题考查的是如何利用点的坐标判断两点关于x轴，y轴是否对称．
10.用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001）
【分析】A．精确到0.1就是保留小数点后一位，因为小数点后第二位是5，进一得0.1；
B、精确到百分位，就是保留小数点后两位，因为小数点后第三位是0，舍，得0.05；
C、精确到千分位，就是保留小数点后三位，因为小数点后第四位是1，舍，得0.050；
D、精确到0.0001，就是保留小数点后四位，因为小数点后第五位是9，进一，得0.0502；
【解答】解：A．0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确；
B、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确；
C、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确；
本题选择错误的，故选C．
【点评】本题考查了根据精确度取近似数，精确度可以是“十分位（0.1）、百分位（0.01）、千分位（0.0010”等，按四舍五入取近似数，只看精确度的后一位数．
一 、填空题
11.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是 13 边形．
【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．
【解答】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得n﹣3=10，
∴n=13．
故这个多边形是13边形．
【点评】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
12.因式分解：2m2﹣8n2= 2（m+2n）（m﹣2n） ．
【分析】根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
【解答】解：2m2﹣8n2，
=2（m2﹣4n2），
=2（m+2n）（m﹣2n）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不能再分解为止．
13.若2x=3，4y=5，则2x﹣2y的值为 ．
【分析】所求式子中有22y，根据所给条件可得22y的值，所求式子中的指数是相减的关系，那么可整理为同底数幂相除的形式．
【解答】解：∵4y=5，
∴22y=5，
∴2x﹣2y=2x÷22y=．
故答案为．
【点评】考查同底数幂相除法则的灵活运用；用到的知识点为：一个幂的指数是相减的形式，那么可分解为同底数幂相除的形式．
14.如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=96°，则∠2的度数为 24° ．
【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°﹣120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°．
∴∠FEB+∠EFC=360°﹣120°=240°．
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°．
∴∠1+∠2=240°﹣120°=120°．
∵∠1=96°，
∴∠2=120°﹣96°=24°．
故答案为：24°．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、三角形的内角和定理、求得∠1+∠2=120°是解题的关键．
15.若x2+2（m﹣3）x+16是一个完全平方式，那么m应为 ﹣1或7 ．
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2（m﹣3）=±8，解得m的值即可．
【解答】解：由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m﹣3）x+16，
∴2（m﹣3）=±8，
解得m=﹣1或m=7．
故答案为：﹣1；7．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值．
16.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=11cm，CF=5cm，则BD= 6 cm．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，
在△AED和△CEF中
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴FC=AD=5cm，
∴BD=AB﹣AD=11﹣5=6（cm）．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
一 、解答题
17.为迎接国庆长假，长沙某商家用1200元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1800购进第二批多肉盆栽，已知两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元．
（1）这两批多肉盆栽的单价各是多少元？
（2）第一批盆栽以20元每盆售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批的盆栽每盆售价最少应该为多少元？
【分析】（1）设第一批多肉盆栽的单价是x元，根据两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元，列出方程，求出x的值即可得出答案；
（2）设第二批的盆栽每盆售价应该为y元，根据两批所得的利润不低于50%和利润率=×100%，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设第一批多肉盆栽的单价是x元，依题意有
=，
解得x=10，
经检验，x=20是原方程的解，
10+5=15（元）．
答：第一批多肉盆栽的单价是10元，第二批多肉盆栽的单价是15元；
（2）设第二批的盆栽每盆售价应该为y元，根据题意得：
（y﹣10）+（y﹣15）≥50%×（1200+1800），
解得：y≥18.75，
答：第二批的盆栽每盆售价最少应该为18.75元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润做为不等量关系列出不等式求解．
18.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．
（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；
（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，AB=CD，根据DE⊥BD，可证四边形ACDE是平行四边形，可证得结论．
（2）由题意可得∠DOA=2∠OBA，∠E=90°﹣∠OBA，即可求∠E与∠DOA的数量关系．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD；
∵DE⊥BD，AC⊥BD，
∴AC∥DE，且CD∥AB，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD且AB=CD，
∴AE=AB；
（2）∠E=90°﹣，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO，
∴∠OBA=∠OAB；
∵DE⊥BD，∠DOA=∠OBA+∠OAB，
∴∠E=90°﹣∠OBA，∠DOA=2∠OBA，
∴∠E=90°﹣．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
19.甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
【解答】解：
（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根据题意，可列方程：1.5×=，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是原方程的解，且x﹣0.5=1，
答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；
（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，
∴乙需要修路=15﹣1.5a（天），
由题意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，
解得a≥8，
答：甲工程队至少修路8天．
【点评】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．
20.（1）计算：2x（x﹣4）+3（x﹣1）（x+3）；
（2）分解因式：x2y+2xy+y．
（3）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
（4（x2y2+1）2﹣4x2y2
【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式=2x2﹣8x+3（x2+2x﹣3）
=2x2﹣8x+3x2+6x﹣9
=5x2﹣2x﹣9；
（2）原式=y（x2+2x+1）
=y（x+1）2．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式以及公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【分析】（3）首先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式得出答案；
（4）首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
=（x﹣y）（9a2﹣4b2）
=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（2）（x2y2+1）2﹣4x2y2
=（x2y2+1+2xy）（x2y2+1﹣2xy）
=（xy﹣1）2（xy+1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
21.【解答】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=（360°﹣60°）=150°．
（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC=DE=4，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC=4．
[
22.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
23.解答题
（1）若3a=5，3b=10，则3a+b的值．
（2）已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．
【解答】解：（1）∵3a=5，3b=10，
∴3a+b=3a×3b=5×10=50；
（2）∵a+b=3，a2+b2=5，
∴ab=[（a+b）2﹣（a2+b2）]
=（32﹣5）
=2．
24.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
【分析】（1）①根据SAS即可判断；
②利用全等三角形的性质，判断出对应边，根据时间．路程、速度之间的关系即可解决问题；
（2）求出Q的运动路程，与根据三角形ABC周长的整数倍进行比较，即可得出相遇点的位置．
【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
∵点P的运动速度是1cm/s，
∴点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC=6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D为AB的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是cm/s．
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，
∴10+10+t=t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．
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