2018_2019学年九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图象与性质1.2.5二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质练习新版湘教版.doc

1 二次函数 本章中考演练 一、选择题 1．2018·岳阳抛物线 y＝3(x－2)2＋5 的顶点坐标是(　　) A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5) 2．2018·永州在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y＝ b x(b≠0)与二次函数 y＝ax2＋ bx(a≠0)的图象大致是(　　) 图 1－Y－1 3．2018·益阳已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 1－Y－2 所示，则下列说法正确的是 (　　) 图 1－Y－2 A．ac＜0 B．b＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜0 4．2018·绍兴若抛物线 y＝x2＋ax＋b 与 x 轴的两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦 抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x＝1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向2 下平移 3 个单位，得到的抛物线过点(　　) A．(－3，－6) B．(－3，0) C．(－3，－5) D．(－3，－1) 5．2018·天津已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)， 其对称轴在 y 轴右侧．下列结论： ①抛物线经过点(1，0)； ②方程 ax2＋bx＋c＝2 有两个不相等的实数根； ③－3＜a＋b＜3. 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．2018·连云港已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)满足函数 表达式 h＝－t2＋24t＋1，则下列说法正确的是(　　) A．点火后 9 s 和点火后 13 s 火箭的升空高度相同 B．点火后 24 s 火箭落于地面 C．点火后 10 s 火箭的升空高度为 139 m D．火箭升空的最大高度为 145 m 7．2018·鄂州如图 1－Y－3，已知在矩形 ABCD 中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，动点 P 在边 BC 上 从点 B 向点 C 运动，速度为 1 cm/s，同时动点 Q 从点 C 出发，沿折线 CDA 运动，速度为 2 cm/s.当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设点 P 的运动时间为 t(s)，△BPQ 的面积为 S(cm2)，则描述 S(cm2)与 t(s)的函数关系的图象大致是(　　) 图 1－Y－3 图 1－Y－4 二、填空题 8．2018·武汉飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数表达式是y ＝60t－ 3 2t2.在飞机着陆滑行中，最后 4 s 滑行的距离是________． 9．2018·自贡若函数 y＝x2 ＋2x－m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 ________． 10．2018·绵阳图 1－Y－5 是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m，水面下降 2 3 m，水面宽度增加________m. 图 1－Y－5 11．2018·孝感如图 1－Y－6，抛物线 y＝ax2 与直线 y＝bx＋c 的两个交点坐标分别为 A(－ 2，4)，B(1，1)，则方程 ax2＝bx＋c 的解是________． 图 1－Y－6 12．2018·湖州如图 1－Y－7，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y1＝ax2＋bx(a＞0)的 顶点为 C，与 x 轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y2＝ax2(a＞0)交于点 B.若四 边形 ABOC 是正方形，则 b 的值是________． 图 1－Y－7 三、解答题 13．2018·南京已知二次函数 y＝2(x－1)(x－m－3)(m 为常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； (2)当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？ 14．2018·衢州某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷 出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，最高为 5 米，且各方向喷出的水柱恰 好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图 1－Y－8②所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心4 为原点建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王 师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提 下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度 不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 图 1－Y－8 15．2018·湘潭如图 1－Y－9，P 为抛物线 y＝ 1 4x2 上一动点． (1)若抛物线 y＝ 1 4x2 是由抛物线 y＝ 1 4(x＋2)2－1 通过平移得到的，请写出平移的过程． (2)若直线 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为(0，－1)，过点 P 作 PM⊥l 于 点 M. ①问题探究：如图(a)，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM＝PF 恒成立？若存在，求出 点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． ②问题解决：如图(b)，若点 Q 的坐标为(1，5)，求 QP＋PF 的最小值． 图 1－Y－956 教师详解详析 1．C 2．[解析] D　A．抛物线 y＝ax2＋bx 开口方向向上，则 a＞0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b＜0，所以反比例函数 y＝ b x(b≠0)的图象位于第二、四象限，故本选项错 误；B.抛物线 y＝ax2＋bx 开口方向向上，则 a＞0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a，b 同 号，即 b＞0，所以反比例函数 y＝ b x(b≠0)的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C. 抛物线 y＝ax2＋bx 开口方向向下，则 a＜0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b ＞0，所以反比例函数 y＝ b x(b≠0)的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D.抛物线y＝ ax2＋bx 开口方向向下，则 a＜0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b＞0，所以 反比例函数 y＝ b x(b≠0)的图象位于第一、三象限，故本选项正确．故选 D. 3．[解析] B　抛物线开口向上，∴a＞0.抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴，∴c＞0，∴ac＞ 0，选项 A 错误；对称轴在 y 轴右侧，a，b 异号，故 b＜0，选项 B 正确；抛物线与 x 轴有 两个不同的交点，b2－4ac＞0，选项 C 错误；由图象可知，当 x＝1 时，y＞0，∴a＋b＋c ＞0，选项 D 错误．故选 B. 4．[解析] B　由抛物线的对称轴为直线 x＝1，得－ a 2＝1，可求得 a＝－2，由抛物线 y＝x2＋ ax＋b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，可知 b＝0，即抛物线 y＝x2＋ax＋b 的表达式为 y＝ x2－2x＝(x－1)2－1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，可得抛物线 y＝(x＋1)2－4.当 x＝－3 时，y＝0，可知抛物线过(－3，0)．故选 B. 5．[解析] C　由抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)， 其对称轴在 y 轴右侧，可知图象开口向下，且最大值大于 3，所以图象不过(1，0)，且抛 物线 y＝ax2＋bx＋c 与 y＝2 有两个不同的交点，即方程 ax2＋bx＋c＝2 有两个不相等的 实数根；∵对称轴在 y 轴右侧，∴ －b 2a ＞0.∵a＜0，∴b＞0.∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 (－1，0)，(0，3)，可得 a－b＋c＝0，c＝3，∴a－b＝－3，∴b＝a＋3，a＝b－3，∴－ 3＜a＜0，0＜b＜3，∴－3＜a＋b＜3.故选 C. 6．D　[解析] A．当 t＝9 时，h＝－81＋216＋1＝136，当 t＝13 时，h＝－169＋312＋1＝ 144，升空高度不相同，故 A 选项说法错误；B.当 t＝24 时，h＝－576＋576＋1＝1，火箭 的升空高度是 1 m，故 B 选项说法错误；C.当 t＝10 时，h＝－100＋240＋1＝141，故 C 选 项说法错误；D.根据题意，得最大高度为 4ac－b2 4a ＝ －4－576 －4 ＝145，故 D 选项说法正确．故 选 D. 7．A　[解析] 当 0≤t＜2 时，如图①所示，S＝ 1 2BP·CQ＝ 1 2t·2t＝t2；当 t＝2 时，如图② 所示，点 Q 与点 D 重合，则 BP＝2，CQ＝4，故 S＝ 1 2BP·CQ＝ 1 2×2×4＝4；当 2＜t≤6 时， 如图③所示，点 Q 在 AD 上运动，S＝ 1 2BP·CD＝ 1 2t·4＝2t.故选 A.7 8．24 m　9.－1　10.4 2－4 11．x1＝－2，x2＝1　[解析] ∵抛物线 y＝ax2 与直线 y＝bx＋c 的两个交点坐标分别为 A(－ 2，4)，B(1，1)， ∴{y＝ax2， y＝bx＋c的解为{x1＝－2， y1＝4， {x2＝1， y2＝1. 即方程 ax2＝bx＋c 的解是 x1＝－2，x2＝1. 12．[解析] －2　由抛物线 y1＝ax2＋bx 可知，点 C 的横坐标为－ b 2a，纵坐标为－ b2 4a. ∵四边形 ABOC 是正方形， ∴－ b 2a＝ b2 4a. ∴b＝－2.故填－2. 13．解：(1)证明：当y＝0 时，可得 2(x－1)(x－m－3)＝0，解得 x1＝1，x2＝m＋3.当 m＋3＝ 1，即 m＝－2 时，方程有两个相等的实数根；当 m＋3≠1，即 m≠－2 时，方程有两个不 相等的实数根，所以，不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点． (2)当 x＝0 时，y＝2m＋6，即该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标是 2m＋6.当 2m＋6>0， 即 m>－3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方． 14．解：(1)∵抛物线的顶点为(3，5)， ∴设 y＝a(x－3)2＋5. 将(8，0)代入得 a＝－ 1 5， ∴y＝－ 1 5(x－3)2＋5， 即 y＝－ 1 5x2＋ 6 5x＋ 16 5 (0≤x≤8)， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为 y＝－ 1 5x2＋ 6 5x＋ 16 5 (0≤x≤8)． (2)当 y＝1.8 时，1.8＝－ 1 5x2＋ 6 5x＋ 16 5 ，可得 x1＝7，x2＝－1(舍去)． 答：王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内． (3)抛物线 y＝－ 1 5(x－3)2＋5 与 y 轴的交点为(0， 16 5 )． ∵装饰物的高度不变，∴新抛物线也经过(0， 16 5 )．∵水柱的形状不变，∴a＝－ 1 5. ∵水池直径扩大到 32 米，∴新抛物线过点(16，0)．设新抛物线的函数表达式为 y 新＝－ 1 5x2＋ bx＋c(0≤x≤16)，将点(0， 16 5 )和(16，0)代入，得b＝3，c＝ 16 5 ，∴y 新＝－ 1 5x2＋3x＋ 16 5 ，∴ y 新＝－ 1 5(x－ 15 2 )2＋ 289 20 .当 x＝ 15 2 时，y 新 max＝ 289 20 .8 答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 289 20 米． 15．解：(1)抛物线y＝ 1 4(x＋2)2－1 向上平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位得到抛物线 y＝ 1 4x2. (2)①存在一定点 F，使得 PM＝PF 恒成立．如图，过点 P 作 PB⊥y 轴于点 B，设点 P 的坐 标为(a， 1 4a2)， ∴PM＝PF＝ 1 4a2＋1，PB＝a，点 B 的坐标为(0， 1 4a2)， ∴在 Rt△PBF 中，BF＝ PF2－PB2＝ (1 4a2＋1) 2 －a2＝ 1 4a2－1. ∵OB＝ 1 4a2，∴OF＝OB－BF＝1， ∴点 F 的坐标为(0，1)． ②由①知 PM＝PF，∴QP＋PF 的最小值为 QP＋PM 的最小值，即当 Q，P，M 三点共线时，QP＋ PM 有最小值．∵点 Q 的纵坐标 5， ∴QP＋PM 的最小值为 6， ∴QP＋PF 的最小值为 6.