深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中考试
高二文科数学
命题人：彭仕主审题人：董正林
本试卷4页，22小题，全卷共计150分。考试时间为120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则
A．B．
C．D．
2．已知平面向量，，且//，则＝
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，在区间上为增函数的是
A． B． C． D．
5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为
A． B．
C． D．
7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．下列导数运算正确的是
A． B．C． D．
9．已知，则
A． B．C．D．
10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是
A． B． C． D．5
11．若，，则的最小值为
A． B． C． D．
12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有恒成立，则不等式
的解集为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____．
14．已知实数x，y满足条件的最小值为_____．
15．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．
16．若数列的首项，且，则=_____．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m ≤ x ≤2+m．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝an－30，
(1)求通项公式an；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
19．（本小题满分12分）
中，内角的对边分别为，的面积为，若．
（1）求角；
（2）若，，求角．
20．（本小题满分12分）
已知O为坐标原点，抛物线y2=–x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．
21．（本小题满分12分）
设函数在点处的切线方程为.
（1）求的值，并求的单调区间；
（2）证明：当时，.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．
深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中考试
高二文科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
A
A
B
B
C
D
B
C
D
13． 14． 15． 16．
17．【答案】（1）；（2）
【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤4，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，
p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4．
（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，
①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，
解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．
18．【答案】(1)；（2）.
【解】 (1)由a3＝10，S6＝72，得解得
所以an＝4n－2.
(2)由(1)知bn＝an－30＝2n－31.
由题意知得≤n≤.
因为n∈N＋，所以n＝15.
所以{bn}前15项为负值时，Tn最小．
可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.
19．【答案】(1) ; (2) 或
【解】(1) 中，
(2) ，，
由得
且B>A
或
或
20．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【证明与解答】（1）显然k≠0．
联立，消去x，得ky2+y–k=0．
如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠0，x2≠0，
由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1．
因为A，B在抛物线y2=–x上，
所以=–x1，=–x2，·=x1x2．
因为kOA·kOB=·=–1，所以OA⊥OB．
（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，
令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|
=ON·|y1–y2|=×1×，
所以，解得k=±．
21．【解析】
⑴，由已知，，故a= - 2，b= - 2.
，当时，，
当时，，故f(x)在单调递减，在单调递增；
⑵，即，设，
，所以g(x)在递增，在递减，
所以．
当x≥0时，.
22．【答案】（1）;（2）．
【解】（1）解：∵点在椭圆上，∴，
又∵离心率为，∴，∴，
∴，解得，，
∴椭圆方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，
联立，得，
设，，则，，
∴，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
∴直线的方程为，，
令得，∴直线经过定点，
当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．
当时，过定点．
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