衡阳市八中2019届高三第四次月考试题
文科数学
命题人：彭源 审题人：吕建设
请注意： 时量120分钟 满分150分
第I卷（选择题，共60分）
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.
1.已知全集，集合，则集合的子集个数是( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
2.设为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为，则 ( )
A. B. C. D.
3.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)
(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－5x＋150，则下列结论正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系 B.若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5
C.当销售价格为10元时，销售量为100件
D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右
4.《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学
爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框
图，其中表示m除以n的余数，
例如．若输入m的值为8时，
则输出i的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5.《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位。现有一邪田,广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田。若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好被种在圭田内的概率为( )
A. B. C. D.
6.以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面得到一个三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列结论错误的是( )
A. B. 平面ABD平面BDC
C. BC与平面ADC所成角为 D. 在平面ABD中至少存在一条直线平行BC
7.在数列中，且，若数列的前n项和为，则( )
A. 0 B. 1 C.4 D.3
8.在中，为的三等分点，
则( )
A. B. C. D.
9.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于的结论错误的是( )
A. 的最小正周期为 B.的关于点对称
C. 关于直线对称 D.在区间上单调递增
10.的内角的对边分别为，已知，则角 ( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则此双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，若抛物线上一点到焦点的距离为3，则 .
14.已知向量，且变量满足，则的最大
值 .
15.若球O是棱长为3的正四面体的内切球，则球O的表面积为 .
16.已知函数的图象关于点对称，则在闭区间上的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.(本小题12分)已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和为，求.
18.(本小题12分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
质量指标值
频数
(190,195]
9
(195,200]
10
(200,205]
17
(205,210]
8
(210,215]
6
图1：乙流水线样本频率分布直方图
表1：甲流水线样本的频数分布表
(1)根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两
条流水线分别生产出不合格品约多少件？
(3)根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这
种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
附：（其中为样本容量）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.(本小题12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD丄底面ABCD，AB //CD，AB=2，CD=3，
M为PC上一点，且PM =2MC.
(1)求证：BM //平面PAD；
(2)若，三棱锥P—ADM的体积为，
求AD的长.
20.(本小题12分)已知椭圆：的离心率为，过点且垂直于x轴的直线被所截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左顶点为，右焦点为，为原点，在
椭圆上，且，， 三点共线，直线和分别
与y轴交于，两点，求证：.
21.(本小题12分) 已知函数.
(1) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(2) 证明: 当时, .
22.(本小题10分) (不等式选讲)
设函数，不等式的解集为M.
(1)求M；
(2)当时，证明：.
衡阳市八中2019届高三第四次月考试题
文科数学参考答案
命题人：彭源 审题人：吕建设
请注意： 时量120分钟 满分150分
第I卷（选择题，共60分）
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.
1.已知全集，集合，则集合的子集个数是( D )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
2.设为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为，则 ( B )
A. B. C. D.
3.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)
(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－5x＋150，则下列结论正确的是( D )
A.y与x具有正的线性相关关系 B.若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5
C.当销售价格为10元时，销售量为100件
D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右
4.《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学
爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框
图，其中表示m除以n的余数，
例如．若输入m的值为8时，
则输出i的值为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
5.《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位。现有一邪田,广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田。若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好被种在圭田内的概率为( A )
A. B. C. D.
6.以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面得到一个三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列结论错误的是( D )
A. B. 平面ABD平面BDC
C. BC与平面ADC所成角为 D. 在平面ABD中至少存在一条直线平行BC
7.在数列中，且，若数列的前n项和为，则( C )
A. 0 B. 1 C.4 D.3
8.在中，为的三等分点，
则( B )
A. B. C. D.
9.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于的结论错误的是( C )
A. 的最小正周期为 B.的关于点对称
C. 关于直线对称 D.在区间上单调递增
10.的内角的对边分别为，已知，则角 ( D )
A. B. C. D.
11.已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则此双曲线的离心率是( A )
A. B. C. D.
12.已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，若抛物线上一点
到焦点的距离为3，则 .
14.已知向量，且变量满足，则的最大
值 .
15.若球O是棱长为3的正四面体的内切球，则球O的表面积为 .
16.已知函数的图象关于点对称，则在闭区间上的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.(本小题12分)已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和为，求.
解：（1）设的公差为d，的公比为q，则
(2)
18.(本小题12分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
质量指标值
频数
(190,195]
9
(195,200]
10
(200,205]
17
(205,210]
8
(210,215]
6
图1：乙流水线样本频率分布直方图
表1：甲流水线样本的频数分布表
(1)根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两
条流水线分别生产出不合格品约多少件？
(3)根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这
种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
附：（其中为样本容量）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的平均数为：
192.50.06+197.50.16+202.50.26+207.50.38+212.50.14=204.4
(2)由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，
于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：
（3）列联表:
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
35
40
75
不合格品
15
10
25
合计
50
50
100
则， 因为
所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线
的选择有关”．
19.(本小题12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD丄底面ABCD，AB //CD，AB=2，CD=3，
M为PC上一点，且PM =2MC.
(1)求证：BM //平面PAD；
(2)若，三棱锥P—ADM的体积为，
求AD的长.
证明：(1)在PD上取点N，使PN=2ND，连结AN,MN，易证四边形ABMN为平行四边形， (或在CD上取点N，使2CN=ND，连结BN,MN，易证平面PAD//平面BMN) 从而得证
(2)过A作AH丄CD，垂足为H，因为PD丄底面ABCD，
所以平面PCD丄平面ABCD，所以AH丄平面PCD.
所以 易求AD=2
20.(本小题12分)已知椭圆：的离心率为，过点且垂直于x轴的直线被所截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左顶点为，右焦点为，为原点，在
椭圆上，且，， 三点共线，直线和分别
与y轴交于，两点，求证：.
解:(1)由题意可知： 所以椭圆C：
(2)设，则，且即
又直线AE：
又直线AD：
21.(本小题12分) 已知函数.
(1) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(2) 证明: 当时, .
解:(1)法1: 函数的定义域为.
由, 得.
因为,则时, ;时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, .
当, 即时, 又, 则函数有零点.
所以实数的取值范围为.
法2：函数的定义域为.
由, 得.令，则.
当时, ; 当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
故时, 函数取得最大值.
因而函数有零点, 则.所以实数的取值范围为.
(2) 要证明当时, ,
即证明当时, , 即.
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, .
于是,当时, ①
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
当时, .
于是, 当时, ② 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时, .
22.(本小题10分) (不等式选讲)
设函数，不等式的解集为M.
(1)求M；
(2)当时，证明：.
解析：(1)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|≤6等价于
或或解得－3≤x≤3， ∴M＝[－3,3]．
(2)证明：当a，b∈M，即－3≤a≤3，－3≤b≤3时，
要证|a＋b|≤|ab＋3|，即证3(a＋b)2≤(ab＋3)2.
∵3(a＋b)2－(ab＋3)2＝3(a2＋2ab＋b2)－(a2b2＋6ab＋9)
＝3a2＋3b2－a2b2－9＝(a2－3)(3－b2)≤0，
∴|a＋b|≤|ab＋3|.
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