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理科数学 参考答案 第 1 页 共 6 页 衡阳市八中 2019 届高三第四次月考试题 理科数学 参考答案 命题：徐五洲 审题：张贤华 考试时间：2018 年 12 月 9 日 8:00——10:00 试卷满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 2 2 14． 2 15． 130 129 16． 5,2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：(1)当 1n  时， 1 13 1S a  ，∴ 1 13 1a a  ，∴ 1 1 4a  ， 当 2n  时，因为 3 1n nS a  ①， 所以 1 13 1n nS a   ② ①－②得 13 n n na a a  ，∴ 14 n na a  ，∴ 1 1 4 n n a a   . 所以数列 na 是首项为 1 4 ，公比为 1 4 的等比数列. ∴ 11 1 1 4 4 4 n n na             ； (2)    1 2 2 1 2 2 1 1 1 log log 2 2 11 1log log4 4 n n n n n b a a n n                      1 1 1 1 4 1 4 1n n n n        ， ∴ 1 1 1 1 1 1 1 114 2 2 3 3 4 1nT n n                                  …   1 114 1 4 1 n n n        . 18．解：（1） AcCab sin3 3cos  ， 即  CAACCAB  sinsinsin3 3cossinsin ， ACCA sinsin3 3sincos  ， 又 0sin C ， 3tan A ，  ,0A ， 3 A …………6 分理科数学 参考答案 第 2 页 共 6 页 （2）由 4cos2 222  aAbccb ， bcbcbcbccb  24 22 ， 4bc (当 cb  时取等号)， ABC 面积 3sin2 1  AbcS ABC …………12 分 19．解：理科数学 参考答案 第 3 页 共 6 页 20．解：（I）方法一（I）当 AB 垂直于 x 轴时，显然不符合题意， 所以可设直线 AB 的方程为 y kx b  ，代入方程 2 4y x 得： 2 2 2(2 4) 0k x kb x b    ∴ 1 2 2 4 2 2kbx x k    得： 2b kk   ∴直线 AB 的方程为 2( 1)y k x k    ∵ AB 中点的横坐标为 1，∴ AB 中点的坐标为 2(1, )k ∴ AB 的中垂线方程为 1 2 1 3( 1)y x xk k k k        ∵ AB 的中垂线经过点 (0,2)P ，故 3 2k  ，得 3 2k  ∴直线 AB 的方程为 3 1 2 6y x  （Ⅱ）由（I）可知 AB 的中垂线方程 为 1 3y xk k    ，∴ M 点的坐标为 (3,0) 因 为 直 线 AB 的 方 程 为 2 22 0k x ky k    ∴ M 到 直 线 AB 的 距 离 2 2 2 4 2 | 3 2 | 2 1 | | k k kd kk k      由 2 2 2 2 0 4 k x ky k y x        得， 2 2 22 04 k y ky k    ， 2 1 2 1 2 2 4 8 2, ky y y yk k     2 2 1 22 2 1 4 1 1| | 1 | | k kAB y yk k      ∴ 2 2 1 14(1 ) 1AMBS k k    , 设 2 11 tk   ,则 0 1t  ， 2 34 (2 ) 4 8S t t t t     ， 2' 12 8S t   ，由 ' 0S  ，得 6 3t  34 8S t t   在 6(0, )3 上递增，在 6( ,1)3 上递减，当 6 3t  时， S 有最大值理科数学 参考答案 第 4 页 共 6 页 得： 3k   时， max 16 6 9S  直线 AB 方程为3 3 1 0x y   法二：（Ⅰ）当 AB 垂直于 x 轴时，显然不符合题意，当 AB 不垂直于 x 轴时，根据题意设 AB 的中点为 (1, )Q t ，则 2 1 2 1 2 2 2 12 1 2 4 4 AB y y y yk y yx x t      由 P 、Q 两点得 AB 中垂线的斜率为 2k t  ， 由 2( 2) 1t t     ，得 4 3t  [来源:Z.xx.k.Com] ∴直线 AB 的方程为 3 1 2 6y x  （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线 AB 的方程为 2 ( 1)y t xt    AB 中垂线方程为 ( 1)2 ty t x    ，中垂线交 x 轴于点 (3,0)M 点 M 到直线 AB 的距离为 2 2 2 4 4 4 td t t     由 2 2 ( 1) 4 y t xt y x       得： 2 2 24 8 ( 2) 0x x t    ， 2 2 1 2 1 2 ( 2)2, 4 tx x x x    2 2 1 22 4| | 1 | | ( 4)(4 )AB x x t tt        2 2 2 2 2 2 3 1 1| | ( 4) (4 )2 2 2 2 16 16 6( 4)( 4)(8 2 ) ( )4 4 3 9 S AB d t t t t t             当 2 4 3t  时， S 有最大值16 6 9 ，此时直线 AB 方程为3 3 1 0x y   ．理科数学 参考答案 第 5 页 共 6 页 21． 解：理科数学 参考答案 第 6 页 共 6 页 22．解：（1）曲线C 的参数方程为        sin4 2cos4 y x 得曲线 C 的普通方程： 2 2 4 12 0x y x    ， 所以曲线 C 的极坐标方程为： 2 4 cos 12    ； …………………5 分 （2）设 ,A B 两点的极坐标方程分别为 1 2, , ,6 6              ， 1 2AB    又 ,A B 在曲线 C 上，则 1 2,  是 2 4 cos 12 0     的两根， ∴ 1 2 1 22 3, 12       ， 2 15AB  . …………………10 分 23．解：（1）   9xf 可化为 9142  xx ， 2 3 3 9 x x     或 1 2 5 9 x x       或 1 3 3 9 x x      ； 42  x 或 21  x 或 12  x ； 不等式的解集为 4,2 ； …………………5 分 （2）由题意： 2( )f x x a   2 5, [0,2]a x x x     故方程 2( )f x x a   在区间[0,2] 有解  函数 y a 和函数 2 5y x x   图象在区 间[0,2] 上有交点，  当 [0,2]x  时， 2 195 [ ,7]4y x x    ， 19[ ,7]4a  …………………10 分