2017-2018学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≥0 C．x＞3 D．x≠3
2．在下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．9
3．9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．81
4．下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A．科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功
B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点
C．太阳从西边升起来了
D．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
5．小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从中任抽一颗．袋子里有三种颜色的糖果，它们的大小、形状、质量等都相同．如果袋中所有糖果数量统计如图所示，那么小明抽到红色糖果的可能性为（ ）
A． B． C． D．
6．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的20倍
C．缩小为原来的 D．不改变
8．如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）9、的相反数是．
9．2的相反数是 ．
10．已知分式的值为0，那么x的值为 ．
11．如果实数a在数轴上的位置如图所示，那么+= ．
12．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二
颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．
如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是： ．
13．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ．
14．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．
15．学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确： ，你的理由是 ．
16．学习了“分式的加法”的相关知识后，小明同学画出了如图：请问他画的图中①为 ，②为 ．
三、解答题（本题共45分，每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：﹣+|﹣2|．
18．解方程：x2+4x﹣1=0．
19．已知a﹣3b=0，求•（a+b）的值．
20．解方程：﹣=1．
21．阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算﹣的解答过程如下：
解：﹣①
=﹣②
=（x﹣2）﹣（x+2）③
=x﹣2﹣x﹣2 ④
=﹣4 ⑤
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：
22．已知：如图，∠BAC=∠DAC．请添加一个条件 ，使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．
23．已知：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE和DE，如果∠ABE=40°，BE=DE．求∠CED的度数．
24．如图，电信部门要在公路m和公路n之间的区域内修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到地点A和地点B的距离相等，到两条公路m和公路n的距离也相等．
（1）在所给的图中，作出发射塔P所处的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）简单说明作图的依据．
25．列方程解应用题：
为了缓解北京市西部地区的交通拥堵现象，市政府决定修建本市的第一条磁浮地铁线路﹣﹣“S1线”．该线路连接北京城区与门头沟，西起石门营，向东经苹果园，终点至慈寿寺与6号线和10号线相接．为使该工程提前4个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%．问原计划完成这项工程需用多少个月．
四、解答题（本题共23分，第26题7分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
26．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3=0
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当该方程的根都是整数，且|x|＜4时，求m的整数值．
27．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2
=﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如 计算：（5+i）+（3﹣4i）=（5+3）+（i﹣4i）=8﹣3i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：（2+i）2；
（3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
28．已知：在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上两动点（不与B，C重合），点P在点Q左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小明通过观察和实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PM=PA．他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：
（Ⅰ）要想证明PM=PA，只需证△APM为等腰直角三角形；
（Ⅱ）要想证明△APM为等腰直角三角形，只需证∠PAM=90°，PA=AM；
…
请参考上面的思路，帮助小明证明PM=PA．
2017-2018学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≥0 C．x＞3 D．x≠3
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：二次根式有意义，
则x的取值范围是：x≥3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2．在下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．9
【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是分数，所以是有理数，故本选项错误；
B、是开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确；
C、0是整数，是有理数，故本选项错误；
D、9是整数，是有理数，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．81
【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的平方根．
【解答】解：± =±3，
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，根据平方求出平方根，注意一个正数的平方跟有两个．
4．下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A．科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功
B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点
C．太阳从西边升起来了
D．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意；
B、是不可能事件，故B不符合题意；
C、是不可能事件，故C不符合题意；
D、是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从中任抽一颗．袋子里有三种颜色的糖果，它们的大小、形状、质量等都相同．如果袋中所有糖果数量统计如图所示，那么小明抽到红色糖果的可能性为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用条形统计图得到绿色糖果的个数为2，红色糖果的个数为5，紫色糖果的个数为8，然后根据概率公式求解．
【解答】解：根据统计图得绿色糖果的个数为2，红色糖果的个数为5，紫色糖果的个数为8，
所以小明抽到红色糖果的概率=．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了条形统计图．
6．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的20倍
C．缩小为原来的 D．不改变
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式==
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8．如果实数a=，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得
＜＜，得
3＜a＜3.5，
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出＜＜是解题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）9、的相反数是．
9．2的相反数是 ﹣2 ．
【分析】根据相反数的定义可知．
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．
10．已知分式的值为0，那么x的值为 2 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣2=0，且x+1≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2=0，且x+1≠0，
解得：x=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．如果实数a在数轴上的位置如图所示，那么+= 1 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣2＜0，a﹣1＞0，
故+=2﹣a+a﹣1=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数与数轴以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
12．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二
颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．
如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是： 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：这样做的原因是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
13．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 4 ．
【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BND中，x2+32=（9﹣x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
14．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件．
故答案为：4，2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
15．学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确： 不正确 ，你的理由是 2+2＜5，2，2，5不构成三角形 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5时，周长=5+5+2=12；
当腰长为2时，因为2+2＜5，
根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．
故答案为：不正确，2+2＜5，2，2，5不构成三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，解题时根据是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．学习了“分式的加法”的相关知识后，小明同学画出了如图：请问他画的图中①为 化为最简分式 ，②为 通分 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：由分式的运算法则可知：①化为最简分式；②通分；
故答案为：①化为最简分式；②通分；
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
三、解答题（本题共45分，每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：﹣+|﹣2|．
【分析】原式第一项利用立方根定义化简，第二项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣2+2﹣
=4﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解方程：x2+4x﹣1=0．
【分析】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19．已知a﹣3b=0，求•（a+b）的值．
【分析】先化简分式，再变形a﹣3b=0，代入求出结果．
【解答】解： •（a+b）
=•（a+b）
=
∵a﹣3b=0，
∴a=3b
当a=3b时，
原式=
=
=
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的运算法则．
20．解方程：﹣=1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+x﹣2=x2﹣1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算﹣的解答过程如下：
解：﹣①
=﹣②
=（x﹣2）﹣（x+2）③
=x﹣2﹣x﹣2 ④
=﹣4 ⑤
问题：（1）上述计算过程中，从 ③ 步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： 不能去分母 ；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：
【分析】观察小明的运算过程，找出错误的步骤，改正即可．
【解答】解：（1）上述计算过程中，从③步开始出现了错误（填序号）；
故答案为：③；
（2）发生错误的原因是：不能去分母；
故答案为：不能去分母；
（3）正确解答过程为：
解：﹣
=﹣
=
=﹣．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．已知：如图，∠BAC=∠DAC．请添加一个条件 AB=AD（或∠B=∠D或∠ACB=∠ACD） ，使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．
【分析】若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边，根据全等三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：若添加的条件为：AB=AD，则
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
若添加的条件为：∠B=∠D，则
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
若添加的条件为：∠ACB=∠ACD，则
，
∴△ABC≌△ADC（ASA）．
故答案为：AB=AD（或∠B=∠D或∠ACB=∠ACD）（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边．
23．已知：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE和DE，如果∠ABE=40°，BE=DE．求∠CED的度数．
【分析】由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三个内角为60°，根据∠ABE=40°，求出∠EBC的度数，根据BE=DE，利用等边对等角得到∠EBC=∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABE=40°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣40°=20°，
∵BE=DE，
∴∠D=∠EBC=20°，
∴∠CED=∠ACB﹣∠D=40°．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
24．如图，电信部门要在公路m和公路n之间的区域内修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到地点A和地点B的距离相等，到两条公路m和公路n的距离也相等．
（1）在所给的图中，作出发射塔P所处的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）简单说明作图的依据．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，再作直公路m和公路n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点；
（2）根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）依据：角平分线上的点到角的两边的距离相等；线段的中垂线上的点到线段两个端的距离相等．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
25．列方程解应用题：
为了缓解北京市西部地区的交通拥堵现象，市政府决定修建本市的第一条磁浮地铁线路﹣﹣“S1线”．该线路连接北京城区与门头沟，西起石门营，向东经苹果园，终点至慈寿寺与6号线和10号线相接．为使该工程提前4个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%．问原计划完成这项工程需用多少个月．
【分析】本题的等量关系是：原计划用的时间=实际用的时间+4个月．实际的工作效率=原计划的工作效率×（1+10%），由此可得出方程来求出未知数．
【解答】解：设原计划完成这项工程用x个月，则实际完成这项工程用（x﹣4）个月．
根据题意有：（1+10%）×=．
解得：x=44．
经检验：x=44是原方程的解．
答：原计划完成这项工程用44个月．
【点评】本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．要注意的是当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．
四、解答题（本题共23分，第26题7分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
26．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3=0
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当该方程的根都是整数，且|x|＜4时，求m的整数值．
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）令mx2﹣3（m+1）x+2m+3=0，表示出x，根据该方程的根都是整数都是整数，根据x的范围即可确定出m的整数值．
【解答】解：（1）由题意m≠0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）=（m+3）2＞0，
解得：m≠﹣3，
则m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；
（2）设y=0，则mx2﹣3（m+1）x+2m+3=0．
∵△=（m+3）2，
∴x=，
∴x1=，x2=1，
当x1=是整数时，可得m=1或m=﹣1或m=3，
∵|x|＜4，m=1不合题意舍去，
∴m的值为﹣1或3．
【点评】此题考查一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
27．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2=﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如 计算：（5+i）+（3﹣4i）=（5+3）+（i﹣4i）=8﹣3i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3= ﹣i ，i4= 1 ；
（2）计算：（2+i）2；
（3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
【分析】（1）根据i2=﹣1，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．
【解答】解：（1）∵i2=﹣1，
∴i3=i2•i=﹣1•i=﹣i，i4=i2•i2=﹣1•（﹣1）=1，
故答案为：﹣i，1；
（2）（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i；
（3）====i．
【点评】本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
28．已知：在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上两动点（不与B，C重合），点P在点Q左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小明通过观察和实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PM=PA．他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：
（Ⅰ）要想证明PM=PA，只需证△APM为等腰直角三角形；
（Ⅱ）要想证明△APM为等腰直角三角形，只需证∠PAM=90°，PA=AM；
…
请参考上面的思路，帮助小明证明PM=PA．
【分析】（1）首先证明∠BAP=∠CAQ，再根据三角形的外角的性质计算即可；
（2）①根据要求画出图形即可；
②只要证明AP=AM，∠PAM=90°即可解决问题；
【解答】（1）解：如图1中，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45°
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQC，
∵∠APQ=∠B+∠BAP，∠AQP=∠C+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=20°，
∴∠AQB=45°+20°=65°．
（2）①解：如图2中所示：
②证明：∵Q、M关于AC对称，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∵∠BAP=∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAM，
∴∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC，
即∠PAM=∠BAC=90°，
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△PAM是等腰直角三角形，
∴PM=AP．
【点评】本题考查几何变换、等腰直角三角形的性质、三角形的外角的性质、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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