南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷
数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi；
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；
圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合，集合，则= ▲ ．
2．双曲线的渐近线方程是 ▲ ．
3．复数满足，其中是虚数单位，则复数的模是 ▲ ．
第6题图
4. 若一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，则该组数据的
方差s2＝ ▲ ．
5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取
2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．
6．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．
7．若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积
是____▲____．
8．设直线是曲线的切线，则直线的斜率
的最小值是 ▲ ．
9．已知，则的值是 ▲ ．
10．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若
f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是 ▲ ．
11．中，，为边AC中点，，则的值为 ▲ ．
12．已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是 ▲ ．
13．已知n∈N*,，， ，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若 对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是 ▲ ．
14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 ▲ _.
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．(本小题满分14分）
在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，，求，．
16．(本小题满分14分）
题16图
A
B
C
D
P
O
E
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
PC⊥底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点．
求证：(1) PD∥平面ACE；
(2) 平面PAC⊥平面PBD．
17. (本小题满分14分）
已知椭圆：上一点与两焦点构成的三角形的周长为,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两
点（点P在第一象限）.若四边形APBQ面积为，求直线l的方程.
18．(本小题满分16分）
如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合)．
(1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；
(2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内．则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．
A
B
M
C
D
O
N
G
F
H
E
19．(本小题满分16分）
已知数列{an}各项均不相同，a1＝1，定义，其中n，k∈N*．
（1）若，求；
（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，数列{an}的前n项和为Sn．
（i）求数列{an}的通项公式；
（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．
20．(本小题满分16分）
已知函数.
(1)求的极大值；
(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；
(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷
数学参考答案及评分标准 2018.12
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．
8． 4 9． 10． 11． 12． 或
13． 14 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．【解析】（1）在中，
由正弦定理，得． ………………2分
又因为在中．
所以． ………………………………………………………4分
法一：因为，所以，因而．
所以，
所以． ……………………………………………………6分
法二：即， …………………………4分
所以，因为，
所以． …………………………………6分
（2）由正弦定理得，
而，
所以 ，① …………………………………9分
由余弦定理，得，
即， ② …………………………………12分
把①代入②得，. …………………………………14分
题16图
A
B
C
D
P
O
E
16．【解析】证明：(1) 连接OE．
因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以O为BD中点． ……………………2分
因为E为PB的中点，所以PD∥OE． …………4分
又因为OE⊂面ACE，PB平面ACE，
所以PD∥平面ACE． …………………………6分
(2) 在四棱锥P－ABCD中，．．．．．．．
因为PC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，
所以BD⊥PC． …………………………………8分
因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以BD⊥AC． ………………………………………………10分
又PC、AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BD⊥平面PAC． …………………………………12分
因为BD⊂平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD． ………………………………14分
17. 【解析】（1）由题设得，又，解得,∴.…2分
故椭圆的方程为. …………………………………………4分
（2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，
设，则. …………………………………6分
， ……8分
到直线PQ的距离为，
到直线PQ的距离为， ………………………………10分
又因为在第一象限, 所以，
所以，
所以， ……………………………12分
解得，
所以直线方程为． …………………………………………14分
18．解： (1) 连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，
则∠FOC＝－θ (＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)，……………………2分
则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ
＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋) ……………………4分
因为＜θ＜，所以＜θ＋＜，所以当θ＋＝，即θ＝时，
(FG＋FH)max＝5． ………………………………………………6分
x
y
E
A
B
M
C
D
O
G
F
H
N
(2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy．由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方．由OF＝5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2＋y2＝25，
圆E的方程为(x－15)2＋y2＝6.25，………………………………………………8分
设直线CD的方程为y＝kx＋t (－＜k＜0，t＞0)，
即kx－y＋t＝0，设点D(xD，0)
则 ……………………10分
由①得t＝5， …………………………12分
代入②得，解得k2>． ………………………13分
又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．
在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．
………………………15分
答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是5百米；
(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间(，10)(单位：百米)内的任何一点处． ………………………16分
19.解：（1）因为，
所以，
所以. ………………………4分
（2）（i）因为bn＋1(k)＝2bn(k)，
得 ，
令k＝1, ，……………①
k＝2，，……………② …………………6分
由①得，……………③
②+③得，……………④ ……………………8分
①+④得，
又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以． ……………………10分
（ii）由（i）可知S n＝2n－1．
因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，
所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k， ………………………12分
所以2t＝(2k)2－3×2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1(*)．
由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．
当k＝2时，2t＝8，得t＝3． ………………………14分
当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3×2k－2＋1为奇数，
所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3×2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．
综上，k＝2，t＝3． ………………………16分
20．（1），令，得. …………………………………2分
当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故当时，的极大值为．………………………4分
（2）不等式恒成立，即恒成立，
记，则，
当时，令，得，………………………………………………6分
当时，，此时单调递增，当时，，此时
单调递减，则，即，…8分
则， 记，则，令，得
当时，，此时单调递减，当时，，此时 单调递增，，故的最小值为. ………………………10分
（3）记，由，……12分
故存在，使在上有零点，下面证明唯一性：
① 当时，，故，在上无解
…………………………………………………………………14分
②当时，，而，
此时，单调递减，
所以当符合题意． ……………………………16分
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数学Ⅱ(附加题)
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到的点
（1）求实数的值；
（2）求矩阵的逆矩阵.
B．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系中，已知直线的参数方程是（t是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线的
极坐标方程为．求直线l被曲线C截得的弦长．
C．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习．
（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；
（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．
23.（本小题满分10分）
设且，集合的所有个元素的子集记为．
（1）当时，求集合中所有元素之和；
（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．
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数学附加题参考答案
21．【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．
A．解：（1）因为 ， ……………………2分
所以 所以 ． ……………………4分
（2） ， ……………………6分
． ……………………10分
B．解：消去参数，得直线的普通方程为， ……………………2分
即，两边同乘以得，
所以， ……………………4分
圆心到直线的距离， ……………………6分
所以弦长为． ……………………10分
C．解：由柯西不等式，得．……………2分
因为，所以， …………………6分
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以的最小值为4． ……………………10分
22．解：（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法．
记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，
事件A共包含个基本事件，
所以，
所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率．………………………… 3分
（2）方法1：X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
………………………………………………………… 8分
所以X的数学期望为：
．……………… 10分
方法2：每个同学分到B公司的概率为，．…… 5分
根据题意～，所以，4，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
……………………………………………… 8分
所以X的数学期望为． ……………………………… 10分
23．（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为； ……………………………… 3分
（2）集合的所有个元素的子集中：
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．……… 5分
， ……………………………… 8分
． ． ……………………… 10分
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