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2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习
24.2.1 点和圆的位置关系
一．选择题（共16小题）
1．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断
2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
3．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2 或4 D．8
4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（ ）
A．3＜r＜4 B．3＜r＜5 C．3≤r≤5 D．r＞4
5．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A在函数y=x的图象上运动，下列各点不可能落入⊙A的内部的是（ ）
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A．（1，2） B．（2，3.2） C．（3，3﹣） D．（4，4+）
7．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
10．如图所示，△ABC内接于⊙O，C为弧AB的中点，D为⊙O上一点，∠ACB=100°，则∠ADC的度数等于（ ）
A．40° B．39° C．38° D．36°
11．三角形的外心是（ ）
A．三条边中线的交点
B．三条边高的交点
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C．三条边垂直平分线的交点
D．三个内角平分线的交点
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠ACD=40°，则∠BAD的大小为（ ）
A．35° B．50° C．40° D．60°
13．如图，已知⊙O的半径为3，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为（ ）
A．3 B． C． D．4
14．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（ ）
A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B．四边形中所有内角都是锐角
C．四边形的每一个内角都是钝角或直角
D．四边形中所有内角都是直角
15．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都小于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都大于90°
16．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ）
A．至少有一个内角是直角 B．至少有两个内角是直角
C．至多有一个内角是直角 D．至多有两个内角是直角
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二．填空题（共9小题）
17．圆外一点到圆的最大距离为9cm，最小距离为4cm，则圆的半径是 cm．
18．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为 ．
19．已知圆内一点P到圆上的最长距离为6cm，最短距离为2cm，则圆的半径为 cm．
20．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
21．已知直线l：y=x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为 时，过P、A、B不能作出一个圆．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，CD=6，OA交BC于点E，则AE的长度是 ．
23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC= ．
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24．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 ．
25．用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中 ．
三．解答题（共7小题）
26．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 ；点（6，﹣2）在⊙D ；（填“上”、“内”、“外”）∠ADC的度数为 ．
27．已知AB是⊙O的直径，AB=2，点C，点D在⊙O上，CD=1，直线AD，BC交于点E．
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（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．
（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．
28．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
29．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
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由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
30．问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？
探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号 ；
发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现： ；
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由．
31．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：PD=PF；
（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．
32．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠
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APC，求证：PB＜PC（反证法）
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参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．【解答】解：∵r=5，d=OP=6，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外，
故选：B．
2．【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP==5．
∵⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
3．【解答】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：
当点在圆外时，则⊙O的直径为6﹣2=4，半径是2；
当点在圆内时，则⊙O的直径是6+2=8，半径为4，
故选：C．
4．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5．
故选：B．
5．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
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∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD==12，
BM===13，
∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．
故选：D．
6．【解答】解：A、点（1，2）到直线y=x的距离为（2﹣1）=＜1，
∴点（1，2）可能在⊙A的内部；
B、点（2，3.2）到直线y=x的距离为（3.2﹣2）=＜1，
∴点（2，3.2）可能在⊙A的内部；
C、点（3，3﹣）到直线y=x的距离为 [3﹣（3﹣）]=＜1，
∴点（3，3﹣）可能在⊙A的内部；
D、点（4，4+）到直线y=x的距离为（4+﹣4）=1，
∴点（4，4+）不可能在⊙A的内部．
故选：D．
7．【解答】解：：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
8．【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；
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①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．
故选：D．
9．【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，
由题意得，
=，
解得，y=，
故选：C．
10．【解答】解：∵C为弧AB的中点，
∴=，
∴AC=BC，
∵∠ACB=100°，
∴∠B=∠CAB=×（180°﹣100°）=40°，
由圆周角定理得，∠ADC=∠B=40°，
故选：A．
11．【解答】解：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，
故选：C．
12．【解答】解：连接BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
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∵∠ACD=∠ABD=40°，
∴∠BAD=90°﹣40°=50°．
故选：B．
13．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴AB=3，
故选：B．
14．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．
故选：B．
15．【解答】解：用反证法证明：四边形中至少有一个内角大于或等于90°，应先假设：每一个内角都小于90°．
故选：B．
16．【解答】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确
∴应假设：至少有两个内角是直角．
故选：B．
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二．填空题（共9小题）
17．【解答】解：∵圆外一点到圆的最大距离是9cm，到圆的最小距离是4cm，则圆的直径是9﹣4=5（cm），
∴圆的半径是2.5cm．
故答案为：2.5．
18．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：10．
19．【解答】解：⊙O的直径=6cm+2cm=8cm，
半径为4cm；
故答案为：4．
20．【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
21．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
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∵A（1，0），点B（0，2），
∴，
解得，
∴y=﹣2x+2．
解方程组，得，
∴当P的坐标为（2，﹣2）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
故答案为（2，﹣2）
22．【解答】解：∵AB=C，
∴=，
∴OA⊥BC，
∴∠BAE=∠CAE=60°，BE=EC，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵BE⊥OA，
∴OE=AE，
∵OB=OD，BE=EC，
∴OE=AE=CD=3．
故答案为3．
23．【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AD=DB，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
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∴DE=BC，
∴BC=2DE=2×2=4．
故答案为：4
24．【解答】解：由图象可知B（1，4），C（1，0），
根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，
设D（a，2），
根据勾股定理得：DA=DC
（1﹣a）2+22=42+（3﹣a）2
解得：a=5，
∴D（5，2）．
故答案为：（5，2）．
25．【解答】解：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；
∴应假设：三角形三个内角中最多有一个锐角．
故答案为：三角形三个内角中最多有一个锐角
三．解答题（共7小题）
26．【解答】解：（1）①平面直角坐标系如图所示：
②圆心点D，如图所示；
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（2）⊙D的半径=AD==2，
∵点（6，﹣2）到圆心D的距离==2=半径，
∴点（6，﹣2）在⊙D上．
观察图象可知：∠ADC=90°，
故答案为：2，上，90°．
27．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OC、OD，
∵CD=1，OC=OD=1，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠CBD=∠COD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠AEB=90°﹣∠DBE=90°﹣30°=60°；
（Ⅱ）如图2，连接OC、OD，同理可得∠CBD=30°，∠ADB=90°，
∴∠AEB=90°+∠DBE=90°+30°=120°．
28．【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
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29．【解答】解：（1）对角互补（对角之和等于180°）；
∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；
四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补．
（2）图4中，∠B+∠D＜180°．
图5中，∠B+∠D＞180°．
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）．
30．【解答】解：探索：矩形有外接圆；
故答案为②；
发现：对角互补的四边形一定有外接圆；
故答案为对角互补的四边形一定有外接圆；
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．
图④左：连接BE，∵∠A+∠E=180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°；
图④右：连接DE，∵∠A+∠BED=180°，∠BED＞∠C，
∴∠A+∠C＜180°．
31．【解答】（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
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∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴∠DAC=∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，
又∵∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD=3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4．
即DE的长为2.4．
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32．【解答】证明：假设PB≥PC．
把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，
∵PB≥PC，PB=CD，
∴CD≥PC，
∴∠CPD≥∠CDP，
又∵AP=AP，
∴∠APD=∠ADP，
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，
又∵∠APB=∠ADC，
∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB≥PC不成立，
综上所述，得：PB＜PC．
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