专题二 借助数学模型解决实际问题
一次函数模型
例1 (2016，河北)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系，如下表：
第1个
第2个
第3个
第4个
…
第n个
调整前的单价x/元
x1
x2＝6
x3＝72
x4
…
xn
调整后的单价y/元
y1
y2＝4
y3＝59
y4
…
yn
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元．
(1)求y与x之间的函数关系式，并确定x的取值范围；
(2)某个玩具调整前的单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少元？
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为，，猜想与之间的关系式，并写出推导过程．
【思路分析】(1)已知y与x之间的函数类型，可利用待定系数法，由表中所给的两组数据列方程组解得．(2)已知自变量x的值为108，求对应的函数值，再求调整前、后的单价差．(3)利用平均数公式求得．
解：(1)设y＝kx＋b.
依题意，得
解得
∴y＝x－1.
依题意，得x－1>2.
解得x>，即x的取值范围为x>.
(2)将x＝108代入y＝x－1，
得y＝×108－1＝89.
108－89＝19(元)，
∴顾客购买这个玩具省了19元．
(3) ＝－1.
推导过程：由(1)知y1＝x1－1，y2＝x2－1，…，
yn＝xn－1，
∴＝(y1＋y2＋…＋yn)
12
＝
＝
＝·(x1＋x2＋…＋xn)－1
＝－1.
针对训练1 如图①，长为60 km的某段线路AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，到达B，A后立刻返回到出发站停止，速度均为30 km/h.设甲车、乙车距南站A的路程分别为y甲 km，y乙 km，行驶时间为t h.
训练1题图
(1)如图②，已画出y甲与t之间的函数图象，其中a＝ 60 ，b＝ 2 ，c＝ 4 ；
(2)分别写出0≤t≤2及2＜t≤4时，y乙关于t的函数解析式；
(3)在图②中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．
【思路分析】 (1)由函数图象的数据，根据行程问题的数量关系就可以求出结论．(2)当0≤t≤2时，设y乙关于t的函数解析式为y乙＝kt＋b；当2＜t≤4时，设y乙关于t的函数解析式为y乙＝k1t＋b1.用待定系数法就可以求出结论．(3)通过描点法画出函数图象即可．
解：(1)60 2 4
(2)当0≤t≤2时，设y乙关于t的函数解析式为y乙＝kt＋b.
由题意，得解得
∴y乙＝－30t＋60.
当2＜t≤4时，设y乙关于t的函数解析式为y乙＝k1t＋b1.
由题意，得
解得
∴y乙＝30t－60.
(3)y乙与t的函数图象如答图所示．
训练1答图
因为两个图象有两个交点，
所以在整个行驶过程中两车相遇的次数为2.
12
例2 (2009，河北节选)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材的规格是60 cm×30 cm，B型板材的规格是40 cm×30 cm.现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(如图所示的是裁法一的裁剪示意图)
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
2
m
n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A，B两种型号的板材刚好够用．
(1)上表中，m＝ 0 ，n＝ 3 ；
(2)分别求出y关于x和z关于x的函数解析式．
例2题图
【思路分析】 (1)按裁法二裁剪时，2块A型板材的长为120 cm.150－120＝30(cm)，所以无法裁出B型板材．按裁法三裁剪时，3块B型板材的长为120 cm，120＜150，而4块B型板材的长为160 cm，160＞150，所以无法裁出4块B型板材．(2)由题意，得共需用A型板材240块、B型板材180块．所以x＋2y＝240，2x＋3z＝180.然后即可求出解析式．
解：(1)0 3
(2)由题意，得共需用A型板材240块、
B型板材180块．
∴x＋2y＝240，2x＋3z＝180.
∴y＝－x＋120，z＝－x＋60.
针对训练2 一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，恰好用完购机款61 000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价如下表：
手机型号
A型
B型
C型
进价/(元/部)
900
1 200
1 100
(1)用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
(2)求出y关于x的函数解析式．
【思路分析】 (1)由A型、B型、C型三款手机共60部和A，B型手机的部数可表示出C型手机的部数．(2)根据购机款列出等式可表示出x，y之间的关系．
解：(1)60－x－y.
(2)根据题意，得900x＋1 200y＋1 100(60－x－y)＝61 000.
整理，得y＝2x－50.
例3 煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1 000 t煤炭要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如下表：(表中运费栏“元/(t·km)”表示：每吨煤炭运送1 km所需的费用)
厂别
运费/[元/(t·km)]
路程/km
需求量/t
12
A
0.45
200
不超过600
B
a(a为常数)
150
不超过800
(1)写出总运费y(元)关于运往A厂的煤炭量x(t)的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费．(可用含a的代数式表示)
【思路分析】 (1)根据总费用＝运往A厂所需的费用＋运往B厂所需的费用．整理后可得出y关于x的函数解析式．(2)根据一次函数的性质算出所求方案的费用．
解：(1)∵运往A厂x t，
∴运往B厂(1 000－x)t.
依题意，得y＝200×0.45x＋150a·(1 000－x)＝90x＋150 000a－150ax＝(90－150a)x＋150 000a.
依题意，得1 000－x≤800.解得x≥200.
∵x≤600，
∴200≤x≤600.
∴y＝(90－150a)x＋150 000a(200≤x≤600)．
(2)当0＜a＜0.6时，90－150a＞0，y随x的增大而增大．
∴当x＝200时，y最小＝(90－150a)×200＋150 000a＝120 000a＋18 000.
此时1 000－x＝1 000－200＝800.
当a＞0.6时，90－150a＜0，y随x的增大而减小．
∴当x＝600时，y最小＝(90－150a)×600＋150 000a＝60 000a＋54 000.
此时1 000－x＝1 000－600＝400.
当a＝0.6时，y＝90 000，此时，不论如何分配运往A厂，B厂的煤炭量，总运费都是一样的．
综上所述，当0＜a＜0.6时，运往A厂200 t，B厂800 t，总运费最少，最少总运费为(120 000a＋18 000)元；当a＞0.6时，运往A厂600 t，B厂400 t，总运费最少，最少总运费为(60 000a＋54 000)元；当a＝0.6时，总运费为90 000元.
针对训练3 (2018，湘西州，导学号5892921)某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大总利润是多少元？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a(0＜a＜200)元，且限定商店最多购进A型电脑60台．若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【思路分析】 (1)根据“总利润＝A型电脑每台利润×A型电脑数量＋B型电脑每台利润×B型电脑数量”可得函数解析式．(2)根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的取值范围，再结合(1)所求函数解析式及一次函数的性质求解可得．(3)根据题意，得y＝(400＋a)x＋500(100－x)，即y＝(a－100)x＋50 000，33≤x≤60.分三种情况讨论：①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小；②当a＝100时，y＝50 000；③当100＜a＜200时，y随x的增大而增大．分别进行求解．
解：(1)根据题意，得
y＝400x＋500(100－x)＝－100x＋50 000.
(2)∵100－x≤2x，
12
∴x≥33.
∵y＝－100x＋50 000中，k＝－100＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正数，
∴当x＝34时，100－x＝66，y最大＝46 600.
答：该商店购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大总利润是46 600元．
(3)根据题意，得y＝(400＋a)x＋500(100－x)，
即y＝(a－100)x＋50 000，33≤x≤60.
①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
所以当x＝34时，y取得最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时，销售总利润最大．
②当a＝100时，a－100＝0，
所以y＝50 000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润．
③当100＜a＜200时，y随x的增大而增大，
所以当x＝60时，y取得最大值，
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑时，销售总利润最大．
二次函数模型
例4 (2018，河北，导学号5892921)如图所示的是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴(水平)18 m，与y轴交于点B，与滑道y＝(x≥1)交于点A，且AB＝1 m．运动员(看成点)在BA方向获得速度v m/s后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h(m)与飞出时间t(s)的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt m.
(1)求k的值，并用t表示h；
(2)设v＝5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x之间的关系式(不写x的取值范围)，及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5 m/s，v乙 m/s.当甲距x轴1.8 m，且乙位于甲右侧超过4.5 m的位置时，直接写出t的值及v乙的取值范围．
例4题图
【思路分析】 (1)用待定系数法解题即可．(2)根据题意，分别用t表示x，y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式，然后再求运动员与正下方滑道的竖直距离．(3)把y＝1.8代入，解方程求出t的值．求出甲距x轴1.8 m
12
时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5 m时的v乙的取值范围．
解：(1)∵点A(1，18)在滑道y＝上，
∴18＝.
∴k＝18.
设h＝at2.
把t＝1，h＝5代入，得5＝a·12.
解得a＝5.
∴h＝5t2.
(2)∵v＝5，AB＝1，
∴x＝AB＋vt＝5t＋1.
∵h＝5t2，OB＝18，
∴y＝OB－h＝－5t2＋18.
由x＝5t＋1，得t＝(x－1)．
∴y＝－5＋18＝－(x－1)2＋18.
当y＝13时，13＝－(x－1)2＋18.
解得x＝6或x＝－4.
∵x≥1，
∴x＝6.
把x＝6代入y＝，
解得y＝3.
所以y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离是13－3＝10(m)．
(3)把y＝1.8代入y＝－5t2＋18，得t2＝.
解得t＝1.8或t＝－1.8(负值舍去)．
∴x＝5t＋1＝10.
由题意，得1＋1.8v乙－10＞4.5.
∴v乙＞7.5.
针对训练4 (2018，石家庄43中模拟)某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将其拖回．如图，折线段O→A→B表示救援船在整个航行过程中离港口的距离y(n mile)随航行时间x(min)的变化规律．抛物线y＝ax2＋k表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y(n mile)随漂移时间x(min)的变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的.根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)救援船行驶了 16 n mile与故障渔船会合；
(2)求该救援船的前往速度；
(3)若该故障渔船在发出求救信号后40 min内得不到营救就会有危险，请问救援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证故障渔船的安全？
12
训练4题图
【思路分析】 (1)根据图象即可得出答案．(2)设该救援船的前往速度为v n mile/min，则返程速度为v n mile/min.由题意，得＋16＝，求出方程的解即可．(3)求出抛物线的解析式，把x＝40代入求出y的值，再用y的值除以时间求出速度即可．
解：(1)16
(2)设该救援船的前往速度为v n mile/min，则返程速度为v n mile/min.
由题意，得＋16＝.
解得v＝0.5.
答：该救援船的前往速度为0.5 n mile/min.
(3)由(2)知t＝16÷0.5＝32.
∴A(32，16)．
将A(32，16)，C(0，12)的坐标分别代入y＝ax2＋k，
得
解得
∴y＝x2＋12.
把x＝40代入，得y＝×402＋12＝.
÷＝(n mile)．
答：救援船的前往速度每小时至少是 n mile，才能保证故障渔船的安全.
针对训练5 (导学号5892921)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y关于x的函数解析式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)求当h＝2.6时，球能否越过球网，球会不会出界；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
12
训练5题图
【思路分析】 (1)利用h＝2.6，将点(0，2)的坐标代入解析式求出即可．(2)当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45，进而判断球能否越过球网；当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0，解方程即可判断球是否会出界．(3)根据球一定能越过球网，又不出边界分别列出不等式，解不等式即可得出答案．
解：(1)∵h＝2.6，且球从点O正上方2 m的A处发出，
∴抛物线y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)．
∴2＝a×(0－6)2＋2.6.
解得a＝－.
∴y关于x的函数解析式为y＝－(x－6)2＋2.6.
(2)当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，
∴球能越过球网．
当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0.
解得x1＝6＋2＞18，x2＝6－2(舍去)．
故球会出界．
(3)∵y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，
∴2＝36a＋h.
∴a＝.
若球一定能越过球网，则当x＝9时，y＞2.43，
即y＝×(9－6)2＋h>2.43.
解得h＞.
若球不出边界，则当x＝18时，y≤0，
即y＝×(18－6)2＋h≤0.
解得h≥.
故若球一定能越过球网，又不出边界，则h的取值范围是h≥.
例5 (2013，河北，导学号5892921)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q＝W＋100，而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据.
次数n
2
1
12
速度x
40
60
指数Q
420
100
(1)用含x和n的式子表示Q；
(2)当x＝70，Q＝450时，求n的值；
(3)若n＝3，要使Q最大，确定x的值；
(4)设n＝2，x＝40，能否在n增加m%(m＞0)，同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【思路分析】 (1)根据题目所给的信息，设W＝k1x2＋k2nx，然后根据Q＝W＋100，列出Q与x，n之间的关系式．(2)将x＝70，Q＝450代入，求n的值即可．(3)把n＝3代入，确定关系式，然后求Q最大时x的值即可．(4)根据题意列出关系式，求出当Q＝420时m的值即可．
解：(1)设W＝k1x2＋k2nx，则Q＝k1x2＋k2nx＋100.由表中数据，得
解得
∴Q＝－x2＋6nx＋100.
(2)将x＝70，Q＝450代入Q＝－x2＋6nx＋100，
得450＝－×702＋6×70n＋100.
解得n＝2.
(3)当n＝3时，
Q＝－x2＋18x＋100＝－(x－90)2＋910.
∵－＜0，
∴函数图象开口向下，有最大值，则当x＝90时，Q有最大值．
∴要使Q最大，x＝90.
(4)能．
由题意，得420＝－[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100.
解得m%＝或m%＝0(舍去)．
∴m＝50.
针对训练6 (2017，成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x(单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x/km
8
9
10
11.5
13
y1/min
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数解析式；
12
(2)李华骑单车的时间y2(单位：min)也受x的影响，其关系可以用y2＝x2－11x＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
【思路分析】 (1)根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数解析式．(2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y，则y＝y1＋y2＝x2－9x＋80.根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
解：(1)设y1关于x的函数解析式为y1＝kx＋b.
将(8，18)，(9，20)代入，
得
解得
∴y1关于x的函数解析式为y1＝2x＋2.
(2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min，则y＝y1＋y2
＝2x＋2＋x2－11x＋78
＝x2－9x＋80
＝(x－9)2＋39.5.
∴当x＝9时，y取得最小值，最小值为39.5.
所以李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min.
例6 某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为x件，其中x＞0.
若在甲地销售，每件售价y元与x件之间的函数解析式为y＝－x＋100，每件成本为20元．设此时的年销售利润为w甲元(利润＝销售额－成本)．
若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元(a为常数，15≤a≤25)，每件售价为106元，销售x件每年还需缴纳x2元的附加费．设此时的年销售利润为w乙元(利润＝销售额－成本－附加费)．
(1)当a＝16且x＝100时，w乙＝ 8 000 ；
(2)求w甲与x之间的函数解析式(不必写出x的取值范围)，并求当x为何值时，w甲最大以及最大值是多少；
(3)为完成x件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．
【思路分析】 (1)利用“利润＝销售额－成本－附加费”得出w乙＝(106－a)x－x2，代入数值求得答案即可．(2)利用“利润＝销售额－成本”求得w甲与x之间的函数解析式，利用配方法求得最值即可．(3)先计算得到w乙－w甲＝(26－a)x.因为15≤a≤25，x>0，所以w乙－w甲＞0.所以选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．
解：(1)8 000
12
(2)根据题意，得w甲＝(y－20)x
＝x
＝－x2＋80x
＝－(x－400)2＋16 000.
所以当x＝400时，w甲有最大值，最大值为16 000.
(3)w乙－w甲＝(106－a)x－x2－
＝(26－a)x.
∵15≤a≤25，x>0，
∴w乙－w甲＞0.
所以选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．
针对训练7 (2018，襄阳)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20 kg，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4 kg.第x天的售价为y元/kg，y关于x的函数解析式为y＝且第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg.已知种植销售蓝莓的成本是18元/kg，每天的利润是W元(利润＝销售收入－成本)．
(1)m＝（ － ），n＝ 25 ；
(2)销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
【思路分析】 (1)根据题意将相关数值代入即可．(2)在(1)的基础上分段表示利润，讨论最值．(3)分别用(2)中的两个函数在取值范围内讨论利润不低于870元的天数，注意天数为正整数．
解：(1)－ 25
(2)由题意，得第x天的销量为20＋4(x－1)＝4x＋16(kg)．
当1≤x＜20时，
W＝(4x＋16)
＝－2x2＋72x＋320
＝－2(x－18)2＋968.
∴当x＝18时，W最大＝968.
当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112.
∵28＞0，
∴W随x的增大而增大．
∴当x＝30时，W最大＝952.
∵968＞952，
∴当x＝18时，W最大＝968.
所以销售蓝莓第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．
(3)当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870.
解得x1＝25，x2＝11.
12
∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，
∴当11≤x
微信/支付宝扫码支付