辽宁省抚顺市抚顺县2018-2019学年九年级（上）
期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知关于x的方程x2+m2x﹣2=0的一个根是1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
2．已知⊙O的半径为5，点O到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
3．下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣1=0 D．x2+x=0
4．在如图的四个转盘中，C，D转盘被分成8等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，则扇形ABC中的长等于（ ）
A．2π B．3π C．4π D．π
6．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
7．将抛物线y=x2+4x+5先向右平移1个单位，再关于y轴作轴对称变换，则此时抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2﹣2x+2 B．y=x2+2x+2 C．y=x2+2x+4 D．y=x2﹣2x+4
8．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
9．如图是小李上学用的自行车，型号是24英吋（车轮的直径为24英吋，约60厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB=125°、∠ABC=115°，那么预计需要的铁皮面积约是（ ）
A．942平方厘米 B．1884平方厘米
C．3768平方厘米 D．4000平方厘米
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．3a+c=0
C．4a﹣2b+c＜0
D．方程ax2+bx+c=﹣2（a≠0）有两个不相等的实数根
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．一元二次方程x2﹣x=0的根是 ．
12．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为 ．
13．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
14．若从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是 ．
15．在△ABC中，∠A=150°，BC=6cm，则△ABC的外接圆的半径为 cm．
16．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为
cm．
17．如图，在△ABC中，点D在BC边上，△ABD绕点A旋转后与△ACE重合，如果∠ECB=100°，那么旋转角的大小是 °．
18．已知一个半圆形工件，未搬动前如图中阴影部分所示，其直径平行于地面l，现将其按图示方法翻滚一周，使其直径依然平行于地面l，已知半圆的直径为2m，则圆心O所终过的路线长是 ．
三．解答题（共2小题，满分22分）
19．（10分）如图在7×7的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1BC1；
（2）求出旋转过程中，线段BA扫过的图形的面积（结果保留π）．
20．（12分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．
四．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
21．（12分）在一个不透明的袋中装有5个只有颜色不同的球，其中3个黄球，2个黑球．
（1）求从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率；
（2）现将黑球和白球若干个（黑球个数是白球个数的2倍）放入袋中，搅匀后，若从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求放入袋中的黑球的个数．
22．（12分）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）若BC=4，求阴影部分的面积．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．（12分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．（12分）已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠
DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
26．（14分）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵关于x的方程x2+m2x﹣2=0的一个根是1，
∴1+m2﹣2=0，
解得m=±1，
故选：C．
2．解：∵⊙O的半径为5，点O到直线AB的距离为5，
即点O到直线AB的距离等于圆的半径，
∴直线AB与⊙O的位置关系是相切，
故选：B．
3．解：
在x2+x﹣1=0中，△=12﹣4×（﹣1）=5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A不正确；
在x2+x+1=0中，△=12﹣4×1=﹣3＜0，故该方程没有实数根，故B正确；
在x2﹣1=0中，△=0﹣4×（﹣1）=4＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故C不正确；
在x2+x=0中，△=12﹣4×0=1＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故D不正确；
故选：B．
4．解：让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率分别是，，，，
则指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是A．
故选：A．
5．解：
在△ACE与△ABD中
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD，∠ECA=∠BAD，
∵∠ECA+∠CAE=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠CAB=90°，
∵AC=AB=，
∴扇形ABC中的长=，
故选：D．
6．解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6．
故选：A．
7．解：抛物线y=x2+4x+5=（x+2）2+1的顶点坐标为（﹣2，1），点（﹣2，1）向右平移1个单位所得对应点的坐标为（﹣1，1），而点（﹣1，1）关于y轴对称的对应点的坐标为（1，1），所以变换后的抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+1，即y=x2﹣2x+2．
故选：A．
8．解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0），
所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．
故选：A．
9．解：由题意可得，四边形ABCD是梯形，AB∥DC，
∵∠DAB=125°，∠ABC=115°，
∴∠ADC=55°，∠BCD=65°，
∵车轮的直径为60cm，
∴半径R=30cm，
故S1==137.5π平方厘米，S2==162.5π平方厘米，
则预计需要的铁皮面积=2（137.5π+162.5π）=1884平方厘米．
故选：B．
10．解：由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故选项A错误，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴﹣==1，得b=﹣2a，
当x=﹣1时，y=a﹣b+c=a+2a+c=3a+c=0，故选项B正确，
当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故选项C错误，
由函数图象可知，如果函数y=ax2+bx+c（a≠0）顶点的纵坐标大于﹣2，则方程ax2+bx+c=﹣2（a≠0）没有实数根，故选项D错误，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
12．解：设半径为r，
2，
解得：r=6，
故答案为：6
13．解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×=6．
故答案为：6．
14．解：列表如下：
由表可知，共有6种等可能结果，其中点M在第二象限的有2种结果，
所以点M在第二象限的概率是=，
故答案为：．
15．解：如图作△ABC的外接圆O的直径BD，连接CD，
∵A、C、D、B四点共圆，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=150°，
∴∠D=30°，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴BD=2BC=12，
∴圆O的半径是6．
故答案为：6．
16．解：
∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC=10cm，AD=4cm，
∴AD=AF=4cm，BE=BD，CF=CE，
即BD+CF=BE+CE=BC=10cm，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=AD+BD+BC+CF+AF=4cm+10cm+10cm+4cm=28cm，
故答案为：28cm．
17．解：由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ECB=100°，
∴∠ACE+∠ACB=100°，
∴∠ABD+∠ACB=100°，
∴∠BAC=180°﹣100°=80°，
即旋转角的大小是80°，
故答案为：80．
18．解：由题意点O的运动路径为：×2π•1+×2π•1+×2π•1+×2π•1=2π，
故答案为2π．
三．解答题（共2小题，满分22分）
19．解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；
（2）在旋转过程中，线段BA扫过的图形的扇形ABA1，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
则AB==，
所以扇形ABA1的面积为=π．
20．解：（1）n=5÷10%=50；
（2）样本中喜爱看电视的人数为50﹣15﹣20﹣5=10（人），
1200×=240，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率==．
四．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
21．解：（1）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中从袋中同时摸出的两个球都是黄球的结果数为6，
所以从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率==；
（2）设放入袋中的黑球的个数为x，
根据题意得=，
解得x=2，
所以放入袋中的黑球的个数为2．
22．解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（100﹣80）×100=2000元；
（2）设每件商品应降价x元．
（20﹣x）（100+10x）=2160，
（x﹣2）（x﹣8）=0，
解得x1=2，x2=8．
答：每件商品应降价2元或8元．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD=BC=2，CE=CD=1，DE=CD•cos30°=，
∴S阴=S四边形ODEC﹣S扇形ODC=（1+2）×﹣=﹣．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
24．解：（1）根据题意得y=（70﹣x﹣50）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．解：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF，
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
②结论：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．
（2）结论∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB﹣∠DAC．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC．
（3）补全图形如下图：
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB﹣∠DAC
（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
26．解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当BP=BC时，OP=OB=3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB=PC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；
（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．
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