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第1章 一元二次方程
1．2 第6课时 用因式分解法解一元二次方程
知识点 用因式分解法解一元二次方程
1．用因式分解法解方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程：____________、____________求解，其解为x1＝________，x2＝________．
2．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
3．方程(y－1)2＝y－1的解是( )
A．y＝1 B．y1＝1，y2＝2
C．y＝2 D．y1＝0，y2＝1
4．一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是( )
A．x＝－1 B．x＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
5．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )
A．x＝2 B．x＝3
C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3
6．一元二次方程4x2－12x＝0的解是____________．
7．方程x(x－2)＝x的解是______________．
8．方程2(x－2)2＝x2－4的解是____________．
9．已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的两个根，则A，B两点间的距离是________．
10．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；
(4)x(2x－5)＝4x－10；
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(5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；
(6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.
11．教材例8(2)变式当x为何值时，代数式x－3的值与x(x－3)的值的差为0.
12．下列四个方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋2x＋1＝0.其中能用因式分解法求解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．定义一种新运算：a♣b＝a(a－b)．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若x♣2＝3，则x的值是( )
A．x＝3 B．x＝－1
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
14．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－1，x2＝2，则将多项式x2＋bx＋c分解因式的结果为________．
15．用合适的方法解方程：
(1)(2x－1)2＝9； (2)(x－5)(3x－2)＝10；
(3)x2＋6x＝1; (4)(2x－3)(x＋1)＝x＋1.
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16．小红、小亮两名同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.
小红是这样解的：先将方程变形为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边同除以(2x－5)，得x＝4.
小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．
17．[2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
18．阅读题例，解答后面的问题：
解方程：x2－|x－1|－1＝0.
解：①当x－1≥0，即x≥1时，
原方程化为x2－(x－1)－1＝0，则x2－x＝0，
解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1；
②当x－1＜0，即x＜1时，
原方程化为x2＋(x－1)－1＝0，则x2＋x－2＝0，
解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.
综上所述，原方程的解是x＝1或x＝－2.
依照上面的解法，解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.
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详解详析
1．5－2x＝0 x＋3＝0 －3 [解析] 把方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0化为(5－2x)(x＋3)＝0，则5－2x＝0或x＋3＝0.
2．A
3．B [解析] 把y－1看成一个整体，移项、提取公因式，得(y－1)(y－2)＝0，
∴y1＝1，y2＝2.
4．D [解析] 原方程可化为x(x－3)＋(x－3)＝0，
∴(x－3)(x＋1)＝0，
∴x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
5．D [解析] 原方程可化为(x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x－2－1)＝0，即(x＋1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0或x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝3.故选D.
6．x1＝0，x2＝3
7．x1＝0，x2＝3 [解析] 原方程可化为x(x－2)－x＝0，x(x－2－1)＝0，∴x＝0或x－3＝0，解得x1＝0，x2＝3.
8．x1＝2，x2＝6
9．3 [解析] 因为(x＋1)(x－2)＝0，所以x＋1＝0或x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以A，B两点间的距离是|2－(－1)|＝3.故答案是3.
10．解：(1)原方程可变形为x(x＋16)＝0，
∴x＝0或x＋16＝0，
∴x1＝0，x2＝－16.
(2)原方程可变形为(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，
即(x＋2)(5x＋2)＝0，
∴x＋2＝0或5x＋2＝0，
∴x1＝－2，x2＝－.
(3)原方程可化为(x＋3)(2x－3)＝0，
∴x＋3＝0或2x－3＝0，
∴x1＝－3，x2＝.
(4)原方程可变形为
x(2x－5)－2(2x－5)＝0，
即(2x－5)(x－2)＝0，
∴2x－5＝0或x－2＝0，
∴x1＝，x2＝2.
(5)分解因式，得(x－1)(x－1＋2x)＝0，
∴x－1＝0，x－1＋2x＝0，
∴x1＝1，x2＝.
(6)分解因式，得[(x－5)－1]2＝0，
∴x1＝x2＝6.
11．解：根据题意，得x－3－x(x－3)＝0，
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方程变形为(x－3)(1－x)＝0.
∴x－3＝0或1－x＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
即当x为3或1时，代数式x－3的值与x(x－3)的值的差为0.
12．D
13．D [解析] ∵x♣2＝3，∴x(x－2)＝3，整理，得x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.故选D.
14．(x＋1)(x－2)
15．解：(1)开平方，得2x－1＝3或2x－1＝－3，
解得x1＝2，x2＝－1.
(2)整理，得3x2－17x＝0，
∴x(3x－17)＝0.
∴x＝0或3x－17＝0，
解得x1＝0，x2＝.
(3)∵x2＋6x＝1，∴x2＋6x＋9＝1＋9，
即(x＋3)2＝10，则x＋3＝±，
∴x＝－3±，
即x1＝－3＋，x2＝－3－.
(4)原方程变形为(x＋1)(2x－3－1)＝0，
即2(x＋1)(x－2)＝0，
∴x＋1＝0或x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2.
16．解：小红的解法不正确．理由：方程两边同除以(2x－5)时，她认为2x－5≠0，事实上，2x－5可以为零，这样做，会导致丢根．
正确解法如下：
x(2x－5)＋4(5－2x)＝0，
x(2x－5)－4(2x－5)＝0，
(2x－5)(x－4)＝0，
∴2x－5＝0或x－4＝0，
∴x1＝，x2＝4.
17．解：(1)∵8可以分解为2与4的积，且2与4的和为6，满足十字相乘的形式，故填2，4.
(2)x2－3x－4＝0，
(x－4)(x＋1)＝0，
即x－4＝0或x＋1＝0，
∴x1＝4，x2＝－1.
18．[解析] 根据题中所给的材料把绝对值符号内的x＋2分两种情况讨论(x＋2≥0和x＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程．
解：①当x＋2≥0，即x≥－2时，
原方程化为x2＋2(x＋2)－4＝0，
则x2＋2x＝0，x(x＋2)＝0，
解得x1＝0，x2＝－2；
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②当x＋2＜0，即x＜－2时，
原方程化为x2－2(x＋2)－4＝0，
则x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，
解得x1＝4(不合题意，舍去)，x2＝－2(不合题意，舍去)．
综上所述，原方程的解是x＝0或x＝－2.
[点评] 从题中所给材料找到解题方法是解题的关键．注意在去掉绝对值符号时要针对符号内的代数式的正负性分情况讨论．
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