【易错题解析】浙教版九年级数学上册综合检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列函数是二次函数的是（ ）
A. y=3x﹣4 B. y=ax2+bx+c C. y=（x+1）2﹣5 D. y= 1x2
【答案】C
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=3x﹣4，是一次函数，错误；
B、y=ax2+bx+c，当a=0时，不是二次函数，错误；
C、y=（x+1）2﹣5，是二次函数，正确，
D、y= 1x2 ，不是二次函数，错误．
故选C．．
【分析】根据二次函数定义的条件判定则可．
2.函数y=x+12-2的最小值是（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】D
【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】因为抛物线y=（x+1）2-2开口向上，所以有最小值，顶点坐标为（-1，-2），顶点的纵坐标-2即为函数的最小值．
选D
3.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）.
A. 6 B. 10 C. 18 D. 20
【答案】D
【考点】利用频率估计概率
【解析】【解答】由题意可得， ×100%=30%，
解得，n=20（个）．
故估计n大约有20个．
故选：D．
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. ①与②相似 B. ①与③相似 C. ①与④相似 D. ②与④相似
【答案】B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD．
∵OA：OC=0B：OD，
∴△AOB∽△COD．
故答案为：B．
【分析】三角形相似的判定定理有：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；(3)三边对应成比例，两个三角形相似；(4)两角对应相等，两个三角形相似.
5.冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射．此时竖一根a米长的竹杆，其影长为b米，某单位计划想建m米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）．当两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响？（ ）.
A. 米 B. 米 C. 米 D. abm米
【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得： = ，
∵AB=m，
∴BC= ，
∴两幢楼相距 米时，后楼的采光一年四季不受影响．
故选A．
【分析】运用同一时刻物体与影长成比例，得出 = ，进而求出即可．
6.（2017•黔南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（ 12 ，﹣2）；⑤当x＜ 12 时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由图象可知，
抛物线开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0，与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
函数图象与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2 ， 故②正确，
由图象可知， -b2a=-1+22=12 ，则2b=﹣2a，2a+b=﹣b＞0，故③正确，
由抛物线过点（﹣1，0），（0，﹣2），（2，0），可得，
{a×(-1)2+b×(-1)+c=0c=-2a×22+2b+c=0 ，
得 {a=1b=-1c=-2 ，
∴y=x2﹣x﹣2= (x-12)2-94 ，
∴顶点坐标是（ 12 ，﹣ 94 ），故④错误，
∴当x＜ 12 时，y随x的增大而减小，故⑤正确，
当x=1时，y=a+b+c＜0，故⑥错误，
由上可得，正确是①②③⑤，
故答案为：B．
【分析】二次函数的图象与系数的关系分别判断题目中各个小题的结论是否成立，进行判别即可得到所求出答案.
7.在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中1个白球，2个红球，3个黄球．从口袋中任意摸出一个球是红球的概率是（）
A. 16 B. 13 C. 12 D. 56
【答案】B
【考点】概率公式
【解析】【分析】由题意可得，共有6种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是红球的有2种情况，利用概率公式即可求得答案．
【解答】∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中1个白球，2个红球，3个黄球，
∴从口袋中任意摸出一个球是红球的概率是：26=13．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8.如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，AB=10，BD=6，则BC的值为（ ）
A. 185 B. 25 C. 1003 D. 503
【答案】D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据射影定理得：AB2=BD×BC，
∴BC=1006=503 ．
故选D．
【分析】根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出BC的长．
9.矩形ABCD中，AB＝8，BC=35 ， 点P在边AB上，且BP＝3AP ， 如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A. 点B、C均在圆P外； B. 点B在圆P外、点C在圆P内；
C. 点B在圆P内、点C在圆P外； D. 点B、C均在圆P内．
【答案】C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．
【解答】解：
∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，
∴AP=2，
PC=PB2+BC2=62+352=9 ，
∵PB=6＜7，PC=9＞7
∴点B在圆P内、点C在圆P外
故选：C．
10.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1 m,继续往前走3 m到达E处时,测得影子EF的长为2 m.已知王华的身高是1.5 m,那么路灯A的高度AB等于( )
A. 4.5 m B. 6 m C. 7.2 m D. 8 m
【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设BC=xm，
依题可得：GC⊥BD，AB⊥BD，
∴GC∥AB，
∴△ABD∽△GCD，
∴ABGC=BDCD，
∵CD=1，GC=1.5,
∴AB1.5=x+11,
同理可得：AB1.5=x+52，
∴x+11=x+52,
∴x=3，
∴AB1.5=x+52=3+52=4,
∴AB=6.
故答案为：
B.
【分析】根据路灯、人和地面都是垂直，得出直线平行，由相似三角形的判定得两组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例得出方程，解之即可得出答案.
二、填空题（共10题；共30分）
11.把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．
【答案】y=2x2+1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
【分析】首先将抛物线配成顶点式，然后根据抛物线的几何变换规律左右平移在顶点的纵坐标上左加右减，即可得出答案。
12.某电视台综艺节目接到热线电话500个，现从中抽取“幸运观众”10名，小明打通了一次热线电话，他成为“幸运观众”的概率是________ .
【答案】150
【考点】概率公式
【解析】【解答】解：因为共接到的500个热线电话中，从中抽取10名“幸运观众”，
小明打通了一次热线电话，所以他成为“幸运观众”的概率是 =
故答案为
【分析】让“幸运观众”数除以打电话的总数即为所求的概率．
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，DE＝2，则BC＝________．
【答案】6
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB=DEBC.
∵AD＝1，AB＝3，DE＝2，∴13=2BC,∴BC=6.
【分析】相似三角形的判定和性质．
14.一条抛物线的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则该抛物线的函数表达式是________．
【答案】y=-(x-2)2+1 （或 y=-x2+4x-3 ）
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】设抛物线解析式为y=a（x-2）2+1，
把B（1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3
故答案为： y=-(x-2)2+1 （或y=-x2+4x-3）．
【分析】已知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点B的坐标代入计算，即可得出函数解析式。
15.（2015•甘孜州）若二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2（x+h）2的图象，则h= ________
【答案】2
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度得到y=2（x+2）2 ，
即h=2，
故答案为2．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
16.体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣ 112 x2+x+12的一部分，该同学的成绩是________．
【答案】6+6 5
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：在抛物线y=﹣ 112 x2+x+12中，
∵当y=0时，x=6+6 5 ，x=6﹣6 5 （舍去）
∴该同学的成绩是6+6 5 ，
故答案为：6+6 5 ．
【分析】成绩是当y=0时x的值，据此求解．
17.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是________.
【答案】
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】连接OA,OB，
∵∠ACB=45°
∴∠AOB=90°，由因为AB=5，由勾股定理得
OA=OB=522
又∵点M、N分别是AB、AC的中点
∴MN=12BC
由于BC最大为直径
∴MN的最大值为MN=MN=12BC=522
【分析】由同弧所对的的圆周角等于圆心角的一半，可得∠AOB=90°，所以由勾股定理得半径为522，再由中位线性质可得MN最大值为直径一半即半径522。
18.在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的面积是100cm2 ， 那么这块地的实际面积是________ m2（用科学记数法表示）．
【答案】2.5×107
【考点】比例线段
【解析】【解答】解：设这块地的实际面积为xcm2 ， 根据题意得 100x =（ 150000 ）2 ，
解得x=2.5×1011（cm2）=2.5×107（m2）．
故答案为2.5×107 ．
【分析】设这块地的实际面积为xcm2 ， 利用比例尺得到 100x =（ 150000 ）2 ， 然后利用比例性质求出x，再把单位化为平方米即可．
19.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△DOA的面积________
【答案】4
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD ， AB=CD ，
∵E为CD中点，
∴DE= 12 CD= 12 AB ，
∵AB∥CD ，
∴△AOB∽△EOD ，
∴ EOAO=12 ，
∵△AOD和△DOE等高，
∴ S△DOES△ADO = 12 ，
∵△DOE的面积是2，
∴△DOA的面积是4，
故答案为：4
【分析】根据相似三角形的性质，面积比=相似比的平方，且三角形OAD与三角形OED等高.
20.（2017•宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是________．
【答案】5 ﹣1
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x， 易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG•EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+ 5 或﹣1﹣ 5 ，
∴EG= 5 ﹣1，
故答案为 5 ﹣1．
【分析】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG•EB，可得22=x（x+2），解方程即可．
三、解答题（共10题；共60分）
21.已知二次函数的顶点坐标为(3,－1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式.
【答案】解：设此二次函数的解析式为y=a（x-3）2-1；
∵二次函数图象经过点（4，1），
∴a（4-3）2-1=1，
∴a=2，
∴y=2（x-3）2-1。
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式
【解析】【分析】已知了二次函数的顶点坐标，可用二次函数的顶点式来设抛物线的解析式，再将抛物线上点（4，1）代入，即可求出抛物线的解析式。
22.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000
当x= -14002×（-20） =35时，才能在半月内获得最大利润.
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式，利用公式法可得二次函数的最值.
23.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
【答案】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化， ∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，
动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴BP=12﹣2t，BQ=4t，
∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y= （12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．
24.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．
【答案】解答：由已知得，DG∥BC
∴△ADG∽△ABC ，
∵AH⊥BC
∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）
＝ ，
即DG＝ ＝50（m），
∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF ， 此时有∠ADG=∠B ， ∠AGD=∠C ， 所以△ADG∽△ABC ， 利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
25.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，求CD的长．
【答案】解：过点O作OH⊥EF，连接OC，根据题意可得：OH= 12 (AE+BF)=4cm，
根据Rt△OCH的勾股定理可得：CH=3cm，∴CD=2CH=6cm．
【考点】垂径定理的应用
【解析】【分析】过点O作OH⊥EF，连接OC，根据梯形的中位线定理可得OH=12AE +BF，在Rt△OCH中用勾股定理可求得CH的长，再根据垂径定理可得CD=2CH。
26.如图所示，最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的几倍？阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的多少？
【答案】 解：3+2=5（厘米），
（3.14×52）÷（3.14×22）
=52÷22
=254，
（12×3.14×52﹣12×3.14×32﹣12×3.14×22）÷（3.14×32）
=[12×（52﹣32﹣22）]÷32
=6÷9
=23．
答：最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的254倍，阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的23．
【考点】圆的认识
【解析】【分析】大圆半径为3+2=5厘米，根据圆的面积公式分别得到最外侧大圆的面积和半径为2厘米的小圆面积，再相除即可求解；
阴影部分的面积=最外侧大圆的面积的12﹣半径为2厘米的小圆面积的12﹣半径为3厘米的小圆面积的12，列式计算可求阴影部分的面积，再除以半径为3厘米的圆的面积即可求解．
27.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
0.49
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？
【答案】解：（1）根据题意得：
78÷150=0.52；
104÷209≈0.50；
152÷300≈0.51；
175÷350≈0.58；
填表如下：
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
0.52
0.50
0.49
0.51
0.58
故答案为：0.52，0.50，0.51，0.58；
（2）由题意得：
投篮的总次数是50+100+150+209+250+300+350=1409（次），
投中的总次数是28+60+78+104+123+152+175=720（次），
则这名球员投篮的次数为1409次，投中的次数为720，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7201409≈0.5．
故答案为：0.5
【考点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案；
（2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
28.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【答案】解：（1）∵直径AB=26m，
∴OD=12AB=12X26=13m，
∵OE⊥CD，
∴DE=12CD，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132 ，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
【考点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；
（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，然后利用84=2(小时)，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
29.如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．
【答案】证明：如图，∵AB∥CE， ∴∠ACE=∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠CAD，
∴ = ，
∴ + = + ，
∴ = ，
∴AD=CE
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】欲证明AD=CE，只需证明 AD = CE 即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C=∠CAD，所以 AE = CD ，则 AE + DE = CD + DE ，故 AD = CE ．
30.已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1 ， 0）和右侧的点B（x2 ， 0）．
（1）求m的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；
（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴4m＜0，
∴m＜0；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=4m，
∵x1＜0，x2＞0，
而|x1|+|x2|=3，
∴﹣x1+x2=3，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=9，
即4（m+1）2﹣16m=9，解得m1=52（舍去），m2=﹣12，
∴m=﹣12，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2；
（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣12，
过P点作PH⊥x轴于H，如图，
设P（x，x2+x﹣2）（x≥﹣12），
∵△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PH=AH，
∴|x2+x﹣2|=x+2，
当x2+x﹣2=x+2，解得x1=﹣2（舍去），x2=2，此时P点坐标为（2，4）；
当x2+x﹣2=﹣x﹣2，解得x1=﹣2（舍去），x2=0，此时P点坐标为（0，2），
即满足条件的P点坐标为（2，4）或（0，2）．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）利用二次函数图象与系数的关系得到4m＜0，解得m＜0；
（2）先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=4m，利用x1＜0，x2＞0去绝对值得到﹣x1+x2=3，两边平方后利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2=9，则4（m+1）2﹣16m=9，然后解方程求出满足条件m的值，从而得到抛物线解析式；
（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=﹣12 ， 过P点作PH⊥x轴于H，如图，设P（x，x2+x﹣2）（x≥﹣12），利用等腰直角三角形的性质得PH=AH，即|x2+x﹣2|=x+2，然后去绝对值解两个一元二次方程即可得到满足条件的P点坐标．
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