4.7 图形的位似
位似图形的两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比相等.位似图形一定相似，但相似图形不一定是位似图形．
1.如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OA=AD，则△ABC与△DEF的位似比是(A).
A. B. C.2 D.3
（第1题） （第2题） （第4题）
2.如图所示，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F，G，H，M，N分别是OA，OB，OC，OD，OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是(C).
A.6∶1 B.5∶1 C.4∶1 D.2∶1
3.下列图形中，△ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是(B).
A. B. C. D.
4.如图所示，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2），B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为(C).
A.（3，1） B.（3，3） C.（4，4） D.（4，1）
5.如图所示，△A′B′C′是将△ABC放大后的图形，若AA′=OA，S△ABC=18，则S△A′B′C′= ．
（第5题）（第6题） （第8题）
6.如图所示，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为，若五边形ABCDE的面积为18cm2，周长为21cm，则五边形A′B′C′D′E′的面积为 8 cm2，周长为 14 cm．
7.平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为原点O，点A坐标为（-2，1），它的对应点A′（1，-0.5），若AB=2，则A′B′= 1 ．
8.如图所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的：任取一点O，连结OA，OB，OC
并取它们的中点D，E，F，连结DE，EF，FD，得△DEF，则下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．其中正确的有 ①②③④ (填序号)．
9.如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（1）以点O为位似中心，在点O的同侧作△A1B1C1，使它与原三角形的位似比为1∶2．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，则点A旋转的路径长为 π ．
【答案】(1)图略
(2) π
（第9题） （第10题）
10.我们把顶点在正方形网格交点上的图形叫做格点图形，如图所示，△ABC就是一个格点三角形，图中的正方形网格边长为1个单位长度．
（1）已知点D的坐标是（2，0），请以点D为位似中心，位似比为，画出△ABC的位似图形△A′B′C′．
（2）写出△A′B′C′的各顶点的坐标：A′ （4，4） ,B′ （3，3） ,C′ （6，3） .
【答案】(1)图略
(2)（4，4） （3，3） （6，3）
11.如图所示的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(D).
A.点M B.点N C.点O D.点P
（第11题）（第12题） （第13题） （第14题）
12.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形EFOH是正方形ABCD经过位似变换得到的，对角线OE=4，则位似中心的坐标是(B).
A.(-2,2) B.（-2，2） C.（-4，4） D.（0，0）
13.如图所示，正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（
-3，2）和（1，-1），则这两个正方形的位似中心的坐标为 （-1，0）或（5，-2） ．
14.如图所示，在平面直角坐标系中，以点P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A，B的对应点分别为点D，E，则点C的对应点F的坐标应为 （4，4） ．
15.如图所示，正方形A1A2B1C1、正方形A2A3B2C2、正方形A3A4B3C3、…、正方形AnAn+1BnCn按如图所示的位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）.
（1）写出正方形A1A2B1C1、正方形A2A3B2C2、正方形A3A4B3C3、…、正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标.
（2）写出正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标.
（第15题） （第15题答图）
【答案】(1)如答图所示，正方形A1A2B1C1、正方形A2A3B2C2、正方形A3A4B3C3、…、正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标为（0，0）.
(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0），∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则A3O=A3C3=4.∴OA4=A4C4=8，则OA5=16.∴A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）.
16.【成都】如图所示，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′=2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A).
A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D. ∶
（第16题） （第17题）
17.【遂宁】如图所示，直线y=x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，则点B′的坐标为 (3,2)或(-9,-2) .
18.如图所示，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图1所示，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）．
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长．
（3）如图2所示，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
（第18题）图1图2
（第18题答图）
【答案】(1)如答图1所示，正方形E′F′P′N′即为所求.
(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x.∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=x.∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，解得x=3-3.(3)如答图2所示，连结NE，EP，PN，延长PH交ND于点G，则PG⊥ND，∠NEP=90°.设正方形DEMN，正方形EFPH的边长分别为m，n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=mPE=n.∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）.∴S=m2+n2=PN2.在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2.∵AD+DE+EF+BF=AB，∴m+m+n+n=+3.∴m+n=3.∴S=［32+（m-n）2］=+（m-n）2.①当（m-n）2=0，即m=n时，S最小.∴S最小=.②当（m-n）2最大,即当m最大且n最小时，S最大.∵m+n=3，由(2)知，m最大=3-,∴n最小=6-33.∴S最大=［9+（m最大-n最小）2］=［9+（3-3-6+3）2］=99-543.综上所述，S述，S最大=99-54，S最小=.
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