第18讲 二次函数的应用(1)
1. (2009，河北)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝x2(x＞0)．若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(C)
A. 40 m/s B. 20 m/s C. 10 m/s D. 5 m/s
【解析】 刹车距离为5 m，即当y＝5时，5＝x2.解得x＝10(x＝－10舍去)．故开始刹车时的速度为10 m/s.
2. (2011，河北)一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足函数解析式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C)
A. 1 m B. 5 m C. 6 m D. 7 m
【解析】 ∵距离地面的高度h和飞行时间t满足函数解析式h＝－5(t－1)2＋6，∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大．∴h最大＝－5×(1－1)2＋6＝6(m)．
3. (2014，河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为(A)
A. 6 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 36 cm
【解析】 设y与x之间的函数关系式为y＝kx2.由题意，得18＝9k.解得k＝2.∴y＝2x2.当y＝72时，72＝2x2.∴x＝6.
实物抛物线形问题
例1 (2017，德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
(2)水柱的最大高度是多少？
例1题图
【思路分析】 (1)以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋h，代入(0，2)和(3，0)得出方程组，解方程组即可．(2)求出(1)中所求解析式当x＝1时，y＝即可．
解：(1)如答图，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋h.
将(0，2)和(3，0)代入，得
9
解得
∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋，即y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．
(2)对于y＝－x2＋x＋2，当x＝1时，y＝，即水柱的最大高度为 m.
例1答图
针对训练1(2018，天津一模)有一个截面是抛物线形的蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2＋bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为8 m，距离点O 2 m处的棚高BC为 m.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度；
(3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5 m，则横梁DE的宽度最多是多少米？(结果保留根号)
训练1题图
【思路分析】 (1)直接利用待定系数法求出该抛物线的解析式．(2)利用配方法求出二次函数的顶点式进而得出答案．(3)把y＝1.5代入求出答案．
解：(1)由题意，得该抛物线经过(8，0)，，
∴
解得
故该抛物线的解析式为y＝－x2＋x.
(2)y＝－x2＋x＝－(x－4)2＋3，
故蔬菜大棚离地面的最大高度是3 m.
(3)当y＝1.5时，1.5＝－x2＋x.
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解得x1＝4＋2，x2＝4－2.
∴DE＝x1－x2＝4＋2－(4－2)＝4.
所以DE的宽度最多是4 m.
运用二次函数解决实际问题中的面积问题
例2 (2018，成都锦江区模拟)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)．设AB＝x m，花园的面积为S.
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．
例2题图
【思路分析】 (1)根据矩形的面积公式可得S关于x的函数解析式．(2)由树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．
解：(1)∵AB＝x m，
∴BC＝(28－x)m.
∴S＝AB·BC
＝x(28－x)
＝－x2＋28x.
(2)由题意，可知x≥6且28－x≥15.∴6≤x≤13.
由(1)知S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.
∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，
∴当x＝13时，S最大＝195.
所以花园面积的最大值为195 m2.
针对训练2 (2018，济宁模拟)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求证：AE＝2BE；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
训练2题图
【思路分析】 (1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE.(2)设BE＝a，则AE＝2a，表示出a与x的关系，进而表示出y与x的关系，并求出x的取值范围即可．(3)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
(1)证明：∵三块矩形区域的面积相等，
9
∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍．
又∵EF是公共边，
∴AE＝2BE.
(2)解：设BE＝a，则AE＝2a，
∴AB＝3a.
∴8a＋2x＝80.
∴a＝.
∴y＝3a·x＝3··x＝－x2＋30x.
∵a＝＞0，
∴x＜40.
∴0＜x＜40.
(3)解：∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系数－＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300.
一、 选择题
1. (2018，北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图所示记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)
第1题图
A. 10 m B. 15 m C. 20 m D. 22.5 m
【解析】 根据题意，知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(0，54.0)，(20，57.9)，(40，46.2)，则 解得所以所求水平距离x＝－＝
－＝15.
2. (2018，广西二模，导学号5892921)如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时水面宽4 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(A)
9
第2题图
A. 2 m B. 2 m C. m D. m
【解析】 建立如答图所示的直角坐标系．可设这条抛物线的解析式为y＝ax2.把点(2，－2)的坐标代入，得－2＝a·22.解得a＝－.∴y＝－x2.当y＝－3时，－x2＝－3.解得x＝±.∴水面下降1 m，水面的宽度为2 m.
第2题答图
3. (2018，哈尔滨道外区二模)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，点O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋3，则下列结论：①柱子OA的高度为3 m；②喷出的水流在距柱子 1 m 处达到最大高度；③喷出的水流距水平面的最大高度是4 m；④水池的半径至少要3 m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有(D)
第3题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.当x＝0时，y＝3，即OA＝3 m．故①正确．当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4.故②③正确．当y＝0时，0＝－x2＋2x＋3.解得x＝3或x＝－1(舍去)．故④正确．
4. (导学号5892921)汽车刹车后行驶的距离s(m)关于行驶时间t(s)的函数解析式是s＝20t－5t2，汽车刹车后到停下来前进的距离是(B)
A. 10 m B. 20 m C. 30 m D. 40 m
【解析】 ∵s＝20t－5t2＝－5(t－2)2＋20，∴汽车刹车后到停下来前进了20 m.
5. (2018，唐山乐亭县二模)运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系如下表：
t/s
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h/m
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是t＝；③足球被踢出9.5 s时落地；④足球被踢出7.5 s时，距离地面的高度是11.25 m．其中不正确的结论有(B)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【解析】 设该抛物线的解析式为h＝at2＋bt＋c.由题意，得解得∴h＝－t2＋9t＝－＋.∴当t＝时，h取得最大值，此时h＝；该抛物线的对称轴是t＝；当h＝0时，得t＝0或t＝9；当t＝7.5时，h＝11.25.故①③错误，②④正确．
二、 填空题
6. (2018，武汉)飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是 24 m.
【解析】 y＝60t－t2＝－(x－20)2＋600，当y取得最大值时，飞机停下来，即当t＝20时，飞机着陆后滑行600 m才停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20.当t＝16时，y＝576，所以最后4 s滑行的距离是600－576＝24(m)．
7. (2018，沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝ 150 m时，矩形土地ABCD的面积最大．
第7题图
【解析】 设AB＝x m，则BC＝(900－3x)m.由题意，得S＝AB·BC＝x·(900－3x)＝－(x2－300x)＝－(x－150)2＋33 750.∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33 750.∴AB＝150 m.
三、 解答题
8. (2018，滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
第8题图
【思路分析】 (1)根据题目中的函数解析式，令y＝15即可解答本题．(2)令y＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题．(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x.
解得x＝1或x＝3.
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x.
9
解得x＝0或x＝4.
4－0＝4(s)．
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，为20.
答：在飞行过程中第2 s时，小球飞行高度最大，最大高度是20 m.
9. (2018，合肥瑶海区三模)某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图所示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；
(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
第9题图
【思路分析】 (1)直接利用直角三角形面积求法得出答案．(2)利用已知得出y＝35，进而解方程得出答案．(3)利用配方法得出顶点式，再利用二次函数的增减性得出答案．
解：(1)由题意，得y＝(8－x)(6－x)·2＝x2－14x＋48(0＜x＜6)．
(2)由题意，得y＝48－13＝35.
∴x2－14x＋48＝35.
解得x1＝1，x2＝13(不合题意，舍去)．
∴x的值为1.
(3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1.
当0.5≤x≤1时，y随x的增大而减小，
故当x＝0.5时，y取得最大值，为.
所以改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 m2.
10. (2018，泰兴模拟，导学号5892921)冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家里后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似成了抛物线y＝0.1x2＋bx＋c，如图①，已知BD＝8 m，绳子最低点离地面的距离为1 m.
第10题图
(1)求立柱AB的高度；
(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子(如图②)，MN的高度为1.85 m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应函数的二次项系数为0.25，顶点离地面1.6 m．求MN与AB之间的距离．
【思路分析】 (1)易得抛物线的顶点坐标为(4，1)，又由二次项系数为0.1，可得出抛物线的解析式，进而得出答案．(2)利用待定系数法求出抛物线F1的解析式即可解决问题．
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解：(1)由题意，得抛物线的解析式为y＝0.1(x－4)2＋1，即y＝0.1x2－0.8x＋2.6.
令x＝0，得y＝2.6.
所以立柱AB的高度为2.6 m.
(2)由题意可以设抛物线F1的解析式为y＝0.25x2＋mx＋2.6.
∵＝1.6，
∴m＝±1.
∵对称轴在y轴的右侧，
∴m＜0.
∴m＝－1.
∴抛物线F1的解析式为y＝0.25x2－x＋2.6.
令y＝1.85，则1.85＝0.25x2－x＋2.6.
解得x1＝1，x2＝3.
当x＝1时，不合题意，舍去．
∴x＝3.
所以MN与AB之间的距离为3 m.
1. (2018，北京房山区模拟)小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图所示的为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为(B)
第1题图
A. 14 B. 11 C. 6 D. 3
【解析】 ∵y＝2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6，∴抛物线的顶点D的坐标为(1，6)．∵AB＝4，∴点B的横坐标为3.把x＝3代入y＝2x2－4x＋8，得y＝14.∴CD＝14－6＝8.∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11.
2. (2017，绍兴，导学号5892921)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x m，占地面积为y m2.
(1)如图①，当饲养室的长为多少时，占地面积最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
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第2题图
【思路分析】 (1)根据矩形的面积＝长×宽，已知长为x m，则宽为 m，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x取某一值时，y有最大值．(2)饲养室的长仍为x m，但长中所用建筑材料变成了(x－2)m，所以宽就变成了 m．与(1)同理，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x取某一值时，y有最大值．与小敏的说法比较即可．
解：(1)因为y＝x·＝－(x－25)2＋，
所以当x＝25时，y有最大值．
所以当饲养室的长为25 m时，占地面积最大．
(2)因为y＝x·＝－(x－26)2＋338，
所以当x＝26时，y有最大值．
所以当饲养室的长为26 m时，占地面积最大．
因为26－25＝1≠2，
所以小敏的说法不正确．
9
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