吉林省松原市前郭县 2018-2019 学年九年级（上） 期末数学模拟试卷
一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
1. 用配方法解方程 x2﹣x﹣1=0 时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2= B．（x+）2=
C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
2. 已知关于 x 的一元二次方程 3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A. 方程有两个相等的实数根
B. 方程有两个 不相等 的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
3. 抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）过 A（4，4），B（2，m）两点，点 B 到抛物线对称轴的距离记为 d，满足 0＜d≤1，则实数 m 的取值范围是（ ） A．m≤2 或 m≥3 B．m≤3 或 m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
4. 某农产品市场经销一种销售成本为 40 元的水产品．据市场分析，若按每千克
50 元销售，一个月能 售出 500 千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少
10 千克．设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）
A．y=（x﹣40）（500﹣10x） B．y=（x﹣40）（10x﹣500） C．y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y=（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
5. 如图，△ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②
∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC 和△ACB 相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
1. 已知圆 O 的半径是 3，A，B，C 三点在圆 O 上，∠ACB=60°，则弧 AB 的长是
（ ）
A．2π B．π C． π D． π
二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）
2. 方程 x2﹣5x=0 的解是 ．
3. 已知关于 x 的函数 y=（m﹣1）x2+2x+m 图象与坐标轴只有 2 个交点，则
m= ．
4. 在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
5. 抛物线 y=x2+mx+m+ 经过定点的坐标是
6. 用一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m2．
7. 如图，点 A，B 是反比例函数 y=（x＞0）图象上的两点，过点 A，B 分别
作 AC⊥x 轴于点 C，BD⊥x 轴于点 D，连接 OA，BC，已知点 C（2，0），BD=2， S△BCD=3，则 S△AOC= ．
8. 如图是二次函数和一次函数 y2=kx+t 的图象，当 y1≥y2 时，x 的取值范围是 ．
1. 在平行四边形 ABCD 中，已知∠A﹣∠B=60°，则∠C= ． 三．解答题（共 4 小题，满分 24 分，每小题 6 分）
15．（6 分）解方程：x2﹣5x+3=0．
16．（6 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m﹣3）x+m2+1=0．
（1） 若 m 是方程的一个实数根，求 m 的值；
（2） 若 m 为负数，判断方程根的情况．
17．（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△A'BC'，其中点 A'，C'分别是点 A，C 的对应点．
（1） 作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 连接 AA'，求∠C'A'A 的度数．
18．（6 分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字 1，2，3．
（1） 小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2） 小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是 3 的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
四．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分）
19．（8 分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款
12 100 元．
（1） 如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2） 按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
20．（8 分）两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
（1） 如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC、
CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2） 如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．
（3） 如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△
DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出 sinα
的值．
五．解答题（共 2 小题，满分 18 分，每小题 9 分）
21．（9 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，过 D 点作 PF∥AC
交⊙O 于 F，交 AB 于点 E，∠BPF=∠ADC
（1） 求证：AE•EB=DE•EF．
（2） 求证：BP 是⊙O 的切线：
（3） 当的半径为，AC=2，BE=1 时，求 BP 的长，
22．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=（m
≠0）的图象交于点 A（3，1），且过点 B（0，﹣2）．
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式；
（2） 如果点 P 是 x 轴上一点，且△ABP 的面积是 3，求点 P 的坐标．
六．解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分）
23．（10 分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．
（1） 如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若 PA=3，PC=4，则 PB= ．
（2） 已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD
相交于 P 点．如图（2）
①求∠CPD 的度数；
②求证：P 点为△ABC 的费马点．
24．（10 分）如图，点 A，B，C 都在抛物线 y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a
＜0）上，AB∥x 轴，∠ABC=135°，且 AB=4．
（1） 填空：抛物线的顶点坐标为 ；（用含 m 的代数式表示）；
（2） 求△ABC 的面积（用含 a 的代数式表示）；
（3） 若△ABC 的面积为 2，当 2m﹣5≤x≤2m﹣2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵x2﹣ x﹣1=0，
∴x2﹣ x=1，
∴x2﹣ x+ =1+ ，
∴（x﹣ ）2= ． 故选：D．
2．解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B．
3. 解：把 A（4，4）代入抛物线 y=ax2+bx+3 得：
16a+4b+3=4，
∴16a+4b=1，
∴4a+b= ，
∵对称轴 x=﹣，B（2，m），且点 B 到抛物线对称轴的距离记为 d，满足 0＜d
≤1，
∴
∴，
∴||≤1，
∴或 a，
把 B（2，m）代入 y=ax2+bx+3 得：
4a+2b+3=m
2（2 a+b）+3=m
2（2a+ ﹣4a）+3=m
﹣4a=m，
a=，
∴或，
∴m≤3 或 m≥4． 故选：B．
3. 解：设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，
则 y 与 x 的函数关系式为：y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]． 故 选 ：C．
5．解：当∠ACP=∠B，
∠A 公共，
所以△APC∽△ACB； 当∠APC=∠ACB，
∠A 公共，
所以△APC∽△ACB； 当 AC2=AP•AB，
即 A C：AB=AP：AC，
∠A 公共，
所以△APC∽△ACB；
当 AB•CP=AP•CB，即=， 而∠PAC=∠CAB，
所以不能判断△APC 和△ACB 相似． 故选：D．
6．解：如图，∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∴l===2π． 故选：A．
二 ．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）
7．解：直接因式分解得 x（x﹣5）=0，解得 x1=0，x2=5．
8. 解：（1）当 m﹣1=0 时，m=1，函数为一次函数，解析式为 y=2x+1，与 x 轴
交点坐标为（﹣，0）；与 y 轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2） 当 m﹣1≠0 时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与 x 轴有两个不同的交点，
于是△=4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得 m＜或 m＞．
将（0，0）代入解析式得，m=0，符合题意．
（3） 函数为二次函数时，还有一种情况是：与 x 轴只有一个交点，与 Y 轴交于交于另一点，
这时：△=4﹣4（m﹣1）m=0，
解得：m=．
故答案为：1 或 0 或．
9. 解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故答案是：（2，﹣3）．
10．解：∵y=x2+（x+1）m+ ，
∵抛物线经过定点，
∴x+1=0，
∴x=﹣1，y=1，
∴定点坐标为（﹣1，1），故答案为（﹣1，1）
11．解：设矩形的长为 xm，则宽为 m，
菜园的面积 S=x•=﹣x2+15x=﹣（x﹣15）2+，（0＜x≤20）
∵当 x＜15 时，S 随 x 的增大而增大，
∴当 x=15 时，S 最大值=m2， 故答案为：． 12．解：∵BD⊥CD，BD=2，
∴S△BCD= BD•CD=3，即 CD=3，
∵C（2，0），即 OC=2，
∴OD=OC+CD=2+3=5，
∴B（5，2），
代入反比例解析式得：k=10，即 y=， 则 S△AOC=5，
故答案为：5
13. 解：根据图象可得出：当 y1≥y2 时，x 的取值范围是：﹣1≤x≤2． 故答案为：﹣1≤x≤2．
14. 解：在平行四边形 ABCD 中，∠A+∠B=180°， 又有∠A﹣∠B=60°，
把这两个式子相加相减即可求出∠A=∠C=120°， 故答案为：120°．
三．解答题（共 4 小题，满分 24 分，每小题 6 分）
15．解：这里 a=1，b=﹣5，c=3，
∵△=25﹣12=13，
∴x= ，
则 x1= ，x2= ．
16. 解：
（1） ∵m 是方程的一个实数根，
∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1=0，
∴；
（2）△=b2﹣4ac=﹣12m+5，
∵m＜0，
∴﹣12m＞0．
∴△=﹣12m+5＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
17. 解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；
（2）在 Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，
∴∠B=60°，
∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，
∴△A′B′C′≌△ABC，
∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，
∴△ABA′为等腰三角形， 又∵∠ABC=60°，
∴△ABA′为等边三角形，
∴∠BA′A=60°，
∴ ∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．
16. 解：（1）∵在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为， 故答案为：；
（1） 列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有 3
种，
所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为=． 四．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分）
17. 解：（1）捐款增长率为 x，根据题意得：
10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）．则 x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为 10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元），答：第四天该校能收到的捐款是 13310 元．
16. 解：（1）在 Rt△ABC 中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=，
∴S 梯形CDBF=S△ABC=；
（2） 菱形．
∵在直角三角形 ABC 中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根据平移的性质得到 CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四边形 CDBF 是菱形；
（3） 过 D 点作 DH⊥AE 于 H，则 S△ADE=•1• =， 又 S△ADE=AE•DH= ，
DH= = ，
∴在 Rt△DHE′中，sinα= = ．
五．解答题（共 2 小题，满分 18 分，每小题 9 分）
21．（1）证明：连结 AF、BD，
在△AEF 和△DEB 中，∠AEF=∠DEB，∠AFE=∠DBE，
∴△AEF∽△DEB，
∴=，即 AE•BE=DE•EF；
（2） 证明：连结 BC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
又∵∠ABC=∠ADC，∠ADC=∠BPF，
∴∠ABC=∠BPF，
∵PF∥AC，
∴∠CAB=∠PEB，
∴∠PEB+∠BPF=90°，即∠PBE=90°，
∴PB⊥AB，
∴PB 是⊙O 的切线；
（3） 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得：BC2=20﹣4=16，即 BC=4， 在 Rt△ABC 和 Rt△EPB 中，∠ABC=∠ADC=∠BPF，
∴△ABC∽△EPB，
∴=，
∴BP=2．
22．解：（1）∵反比例函数 y= （m≠0）的图象过点 A（3，1），
∴3=
∴m=3．
∴反比例函数的表达式为 y=．
∴
，
解得：
，
∵一次函数 y=kx+b 的图象过点 A（3，1）和 B（0，﹣2）．
∴一次函数的表达式为 y=x﹣2；
（2）令 y=0，∴x﹣2=0，x=2，
∴一次函数 y=x﹣2 的图象与 x 轴的交点 C 的坐标为（2，0）．
∵S△ABP=3，
PC×1+ PC×2=3．
∴PC=2，
∴点 P 的坐标为（0，0）、（4，0）．
六．解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分）
23．（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
②解：∵△ABP∽△BCP，
∴=，
∴PB2=PA•PC=12，
∴PB= 2；
故答案为：2；
（2）解：①∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE 和△ABD 中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CP，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，
∴P 点为△ABC 的费马点．
24．解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2 +2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．
（2） 过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示．
∵AB∥x 轴，且 AB=4，
∴点 B 的坐标为（m+2，4a+2 m﹣5）．
∵∠ABC=135°，
∴设 BD=t，则 CD=t，
∴点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．
∵点 C 在抛物线 y=a（x﹣m）2+2m﹣5 上，
∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5， 整理，得：at2+（4a+1）t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=﹣，
∴S△ABC= AB•CD=﹣ ．
（2） ∵△ABC 的面积为 2，
∴﹣=2， 解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 分三种情况考虑：
①当 m＞2m﹣2，即 m＜2 时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2， 整理，得：m2﹣14m+39=0，
解得：m1= 7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；
②当 2m﹣5≤m≤2m﹣2，即 2≤m≤5 时，有 2m﹣5=2，
解得：m=；
③当 m＜2m﹣5，即 m＞5 时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2， 整理，得：m2﹣20m+60=0，
解得：m3=10﹣2 （舍去），m4=10+2 ． 综上所述：m 的值为 或 10+2．
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