河北省2019年中考数学复习三角形第23讲等腰三角形试题（含解析）.doc

第23讲　等腰三角形 ‎1. (2011，河北)如图①，等边三角形ABD，等边三角形CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图②，则阴影部分的周长为 2 .‎ 第1题图 ‎【解析】 如答图．∵等边三角形ABD，等边三角形CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M＝A′N＝MN，MO＝DM＝DO，OD′＝D′E＝OE，EG＝EC＝GC，B′G＝RG＝RB′，RB＝RN＝BN.∴OM＋MN＋NR＋GR＋EG＋OE＝A′B′＋CD＝1＋1＝2.‎ 第1题答图 ‎2. (2013，河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40 n mile的速度向正北方向航行，2 h后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P间的距离为(D)‎ ‎ ‎ 第2题图 A. 40 n mile B. 60 n mile ‎ C. 70 n mile D. 80 n mile ‎【解析】 根据题意，得MN＝2×40＝80(n mile)．∵∠M＝70°，∠N＝40°，∴∠NPM＝180°－∠M－∠N＝180°－70°－40°＝70°.∴∠NPM＝∠M.∴NP＝MN＝80 n mile.‎ ‎3. (2014，河北)如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则的值为(C)‎ 第3题图 A. 3 B. ‎4 C. 5 D. 6‎ ‎【解析】 如答图．因为六边形是正六边形，所以△OAC是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形的面积等于S△OAC，即＝5.‎ 11‎ 第3题答图 ‎4. (2016，河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)‎ 第4题图 A. 1个 B. 2个 ‎ C. 3个 D. 3个以上 ‎【解析】 只需要满足∠MPN＝60°即可．如答图，过点P作PC⊥OB于点C，PD⊥OA于点D，则PC＝PD，∠DPC＝360°－90°×2－120°＝60°.∵∠DPC＝∠DPM＋∠MPC＝60°，∠MPN＝∠MPC＋∠CPN＝60°，∴∠DPM＝∠CPN.在△DPM和△CPN中，∴△DPM≌△CPN.∴PM＝PN.∴∠PMN＝∠PNM.∵∠MPN＝60°，∴△PMN为等边三角形，而满足∠MPN＝60°的△PMN有无数个．‎ 第4题答图 ‎　等腰三角形的性质 例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为(C)‎ A. 70° B. 20° ‎ C. 20°或70° D. 40°或140°‎ ‎【解析】 本题分两种情况．①如答图①，当该等腰三角形为钝角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝×(90°－50°)＝20°.②如答图②，当该等腰三角形为锐角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝×[180°－(90°－50°)]＝70°.综上所述，这个等腰三角形的底角为20°或70°.‎ 11‎ 例1答图 针对训练1 (2018，无锡模拟)若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角的度数为(B)‎ A. 20° B. 50° C. 80° D. 100°‎ ‎【解析】 ∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的一个底角为(180°－80°)÷2＝50°.‎ 针对训练2 (2018，钦州二模)若一个等腰三角形的三边长分别为x，3，2x－1，则这个等腰三角形的周长为__11或8__．‎ ‎【解析】 当x＝3时，2x－1＝5.∵3＋3＞5，∴能组成三角形．此时三角形的周长为3＋3＋5＝11.当x＝2x－1时，x＝1.∵1＋1＜3，∴不能组成三角形．当2x－1＝3时，x＝2.∵3＋2＞3，∴能组成三角形．此时三角形的周长为3＋3＋2＝8.综上所述，这个等腰三角形的周长为11或8.‎ ‎　等腰三角形的判定 例2 (2018，桂林)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 .‎ 例2题图 ‎【解析】 ∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠C＝＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°.∵在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形．∵∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝72°.∵在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，∴△BDC是等腰三角形．所以共有3个等腰三角形.‎ 针对训练3 (导学号5892921)如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分别交AB，AC于点E，F.若EF＝2DF，则AB的长为(B)‎ 训练3题图 A. 4 B. ‎6 C. 8 D. 10‎ ‎【解析】 如答图，延长AD，BC交于点G.∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠G.∴AB＝BG.∴D是AG的中点．∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点．∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线．∴EF＝BC＝2.∵EF＝2DF，∴DF＝1.∴DE＝3.∴BG＝2DE＝6.∴AB 11‎ ‎＝6.‎ 训练3答图 ‎　等边三角形的性质与判定 例3 (导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为(C)‎ 例3题图 A. ‎4 cm　 B. ‎6 cm　 C. ‎8 cm　 D. ‎‎12 cm ‎【解析】 如答图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN.∵∠EBC＝∠E＝60°，∴∠EMB＝60°.∴△BEM为等边三角形，∠NDM＝30°.∴BE＝BM＝EM.∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm.∴NM＝2 cm.∴BN＝4 cm.∴BC＝2BN＝8(cm).‎ 例3答图 针对训练4 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(0，)，B(－1，0)，平行于AB的直线l交y轴于点C.若直线l上存在点P，使得△PAB是等边三角形，则点C的坐标为(C)‎ 训练4题图 A. (1，0)或(－，0) B. (0，1)或(0，－)‎ C. (0，－)或(0，3) D. (－，0)或(，)‎ ‎【解析】 如答图．∵A(0，)，B(－1，0)，∴OA＝，OB＝1.∴tan∠ABO＝.‎ ‎∴∠ABO＝60°.∴AB＝2OB＝2.在x轴的正半轴上取一点P(1，0)，连接PA，则△APB是等边三角形．易得直线AB的解析式为y＝x＋，∴直线PC的解析式为y＝x－.∴C(0，－)．作点P关于直线AB的对称点P′(－2，)，过点P′平行于AB的直线的解析式为y＝‎ x＋3，∴可得C′(0，3)．综上所述，满足条件的点C的坐标为(0，－)或(0，3 11‎ ‎)．‎ 训练4答图 一、 选择题 ‎1. (2018，宿迁)若实数m，n满足等式|m－2|＋＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长是(B)‎ A. 12 B. ‎10 C. 8 D. 6‎ ‎【解析】 ∵|m－2|＋＝0，∴m－2＝0，n－4＝0.解得m＝2，n＝4.当m＝2为腰长时，三边长为2，2，4，不符合三边关系．当n＝4为腰长时，三边长为2，4，4，符合三边关系，所以周长为2＋4＋4＝10.‎ ‎2. 如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°30′，则∠2的度数是(D)‎ 第2题图 A. 40°30′ B. 39°30′ C. 40° D. 39°‎ ‎【解析】 ∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝70°30′.∵AD＝CD，∴∠CAD＝∠ACD＝‎ ‎70°30′.∴∠2＝180°－∠ACD－∠CAD＝180°－70°30′－70°30′＝39°.‎ ‎3. (2018，石家庄模拟)如图，等腰三角形ABC的底边BC与底边上的高AD相等，高AD在数轴上，其中点A，D分别表示数轴上的实数－2，2，则AC的长为(C)‎ 第3题图 A. 2 B. ‎4 C. 2 D. 4 ‎【解析】 ∵点A，D分别表示实数－2，2，∴AD＝4.∵等腰三角形ABC的底边BC与底边上的高AD相等，∴BC＝4.∴CD＝2.在Rt△ACD中，AC＝＝＝2.‎ ‎4. (2018，连云港东海县二模)已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，在下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是(C)‎ 11‎ ‎ ‎ A B C D ‎【解析】 由题意，得2x＋y＝10.∴y＝－2x＋10.由三角形的三边关系，得解得2.5＜x＜5.所以正确反映y与x之间函数关系的图象是选项C.‎ ‎5. (2018，保定模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，由作图痕迹可得DE的长为(B)‎ 第5题图 A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 6‎ ‎【解析】 由作图，可知AD＝BD＝3，AE平分∠BAC.∵AB＝AC，∴∠AEB＝90°.∴DE＝AD＝BD＝3.‎ ‎6. (2018，湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)‎ 第6题图 A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°‎ ‎【解析】 ∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝(180°－∠CAB)＝70°.∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝‎ ‎35°.‎ ‎7. (2018，福建A)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(A)‎ 第7题图 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°‎ ‎【解析】 ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠ACB＝60°，BD＝CD，即AD是BC的垂直平分线．∵点E在AD上，∴BE＝CE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°.∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.‎ ‎8. (2018，兰州模拟，导学号5892921)如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝10，AB 11‎ ‎＝16，∠A＝∠B＝60°，则⊙O的半径为(B)‎ 第8题图 A. 13 B. ‎14 C. 16 D. 18‎ ‎【解析】 如答图，延长AO交BC于点D，作OE⊥BC于点E，连接OB.∵∠A＝∠ABC＝60°，∴∠ADB＝60°.∴△ADB为等边三角形．∴BD＝AD＝AB＝16.∴OD＝6.∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝3，OE＝3.∴BE＝13.∴OB2＝OE2＋BE2＝27＋169＝196.∴OB＝14.‎ 第8题答图 二、 填空题 ‎9. (2018，长春)如图，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的度数为 37° .‎ 第9题图 ‎【解析】 ∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝74°.∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝37°.‎ ‎10. (2018，乐山)如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE的度数是22.5°.‎ 第10题图 ‎【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝(180°－∠CAE)＝67.5°.∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝22.5°.‎ ‎11. (2018，吉林)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k＝，则该等腰三角形的顶角的度数为36°.‎ ‎【解析】 如答图．∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵k＝，∴∠A∶∠B＝1∶2，即5∠A＝180°.∴∠A＝36°.‎ 11‎ 第11题答图 ‎12. (2018，娄底)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝‎3 cm，则BF＝ ‎6 cm.‎ 第12题图 ‎【解析】 在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ADB≌Rt△ADC.∴S△ABC＝‎ ‎2S△ABD＝2×AB·DE＝AB·DE＝3AB.∵S△ABC＝AC·BF，AC＝AB，∴BF＝3.∴BF＝6.‎ ‎13. (2018，遵义)如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为 37° .‎ 第13题图 ‎【解析】 ∵AD＝AC，E是CD的中点，∴∠ADC＝∠C，AE⊥CD.∴∠AEC＝90°.‎ ‎∴∠ADC＝∠C＝90°－∠CAE＝74°.∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD.∴2∠B＝∠ADC＝74°.∴∠B＝37°.‎ 三、 解答题 ‎14. (2018，唐山路南区三模)证明等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．‎ 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，‎ 求证：AB＝AC.‎ 第14题图 ‎【思路分析】 根据等腰三角形的判定方法可知：已知缺少的条件为∠B＝∠C，要证的结论为AB＝AC.过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，由∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C及AD＝AD可证出△ABD≌△ACD，再利用全等三角形的性质可证出AB＝AC.‎ 解：∠C　AC 证明：如答图，过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D.‎ 在△ABD和△ACD中， ‎∴△ABD≌△ACD(AAS)．‎ 11‎ ‎∴AB＝AC.‎ 第14题答图 ‎15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.‎ ‎(1)求证：△DEF是等腰三角形；‎ ‎(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．‎ 第15题图 ‎【思路分析】 (1)由AB＝AC，得∠B＝∠C.利用SAS证明△DBE≌△ECF，然后即可证明△DEF是等腰三角形．(2)根据∠A＝40°可求出∠B＝∠C＝70°.根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理和平角定义即可求出∠DEF的度数．‎ ‎(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.‎ 在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF.‎ ‎∴DE＝EF.‎ ‎∴△DEF是等腰三角形．‎ ‎(2)解：如答图．‎ ‎∵△DBE≌△ECF，‎ ‎∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.‎ ‎∵∠A＝40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C＝×(180°－40°)＝70°.‎ ‎∴∠1＋∠2＝110°.∴∠3＋∠2＝110°.‎ ‎∴∠DEF＝70°.‎ 第15题答图 ‎1. (2018，连云港模拟，导学号5892921)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接DE，DE＝EC.下列结论：①BC＝2DE；②BD＋CE＝2DE.其中一定正确的有(A)‎ 11‎ 第1题图 A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 无法判断 ‎【解析】 如答图，连接CD，OD，则∠ADC＝90°.∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°.‎ ‎∴∠DOE＝2∠DCE＝60°.∵OD＝OE，∴△DOE是等边三角形．∴DE＝OD，即BC＝2DE，①正确．∵DE＝EC，∴∠COE＝∠DOE＝60°.∴∠BOD＝60°.∴BD＝DE＝CE.∴BD＋CE＝2DE，②正确．‎ 第1题答图 ‎2. (2018，玉林)如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A)‎ 第2题图 A. 平行 B. 相交　 C. 垂直 D. 平行、相交或垂直 ‎【解析】 ∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°.①当点C在线段OB上时，如答图①.∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°.∴∠OAC＝∠BAD.在△AOC和△ABD中，∴△AOC≌△ABD.‎ ‎∴∠ABD＝∠AOC＝60°.∴∠DBE＝180°－∠ABO－∠ABD＝60°＝∠AOB.∴BD∥OA.‎ ‎②当点C在OB的延长线上时，如答图②.同①的方法得出OA∥BD.‎ 第2题答图 ‎3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且BD＝DA＝BC.‎ ‎(1)如图①，∠A＝ 36°，∠C＝ 72°；‎ ‎(2)如图②，若M为线段AC上的点，过点M作直线MH⊥BD于点H，分别交直线AB，BC于点N，E.‎ ‎①求证：△BNE是等腰三角形；‎ ‎②试写出线段AN，CE，CD之间的数量关系，并加以证明．‎ 11‎ 第3题图 ‎【思路分析】 (1)根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠BDC＝∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论．(2)①根据已知条件得到∠ABD＝36°，∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．‎ ‎(1)解：36°　72°‎ ‎(2)①证明：∵BD＝DA，‎ ‎∴∠ABD＝∠A＝36°.‎ ‎∵BD＝BC，‎ ‎∴∠BDC＝∠C＝72°.‎ ‎∴∠CBD＝36°.‎ ‎∵BH⊥EN，‎ ‎∴∠BHN＝∠EHB＝90°.‎ 在△BNH和△BEH中， ‎∴△BNH≌△BEH.‎ ‎∴BN＝BE.‎ ‎∴△BNE是等腰三角形．‎ ‎②解：CD＝AN＋CE.‎ 证明：由①知，BN＝BE.‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴AN＝AB－BN＝AC－BE.‎ ‎∵CE＝BE－BC，‎ ‎∴AN＋CE＝AC－BC.‎ ‎∵BD＝DA＝BC，‎ ‎∴CD＝AC－AD＝AC－BC.‎ ‎∴CD＝AN＋CE.‎ 11‎