河北省2019年中考数学复习四边形第26讲多边形与平行四边形试题（含解析）.doc

第26讲　多边形与平行四边形 ‎1. (2012，河北)如图，在▱ABCD中，∠A＝70°.将平行四边形折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF的度数为(B)‎ 第1题图 A. 70° B. 40° C. 30° D. 20°‎ ‎【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.根据折叠的性质，可得MN∥AE，∠FMN＝∠DMN.∴AB∥CD∥MN.∵∠A＝70°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°.∴∠AMF＝180°－∠DMN－∠FMN＝180°－70°－70°＝40°.‎ ‎2. (2012，河北)如图①，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．如图②，用n个全等的正六边形按这种方式拼接．若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 6 . ‎ 第2题图 ‎【解析】 因为正六边形的每个内角都是120°，所以拼成的正多边形的每个内角的度数为360°－120°－120°＝120°.列方程，得＝120°.解得n＝6.‎ ‎3. (2015，河北，导学号5892921)如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝ 24°.‎ 第3题图 ‎【解析】 正三角形的每个内角的度数是180°÷3＝60°，正方形的每个内角的度数是360°÷4＝90°，正五边形的每个内角的度数是(5－2)×180°÷5＝108°，正六边形的每个内角的度数是(6－2)×180°÷6＝120°，则∠3＋∠1－∠2＝(90°－60°)＋(120°－108°)－(108°－90°)＝24°.‎ 12‎ ‎4. (2015，河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的．她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．‎ 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC=AD，AB= CD ． ‎ 求证：四边形ABCD是 平行 四边形．‎ ‎ ‎ ‎ 第4题图 ‎(1)在方框中填空，以补全已知和求证；‎ ‎(2)按嘉淇的想法写出证明；‎ ‎(3)用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形的对边相等．‎ ‎【思路分析】 连接BD，证明△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性质来证明四边形ABCD为平行四边形．主要考查了平行四边形的判定定理和逆命题的表述．‎ ‎(1)解：CD　平行 ‎(2)证明：如答图，连接BD.‎ ‎∵AB＝CD，AD＝BC，BD＝DB，‎ ‎∴△ABD≌△CDB.‎ ‎∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.‎ ‎∴AB∥CD，AD∥BC.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎(3)解：平行四边形的对边相等 第4题答图 ‎　借助多边形边与角的性质解决问题 例1 (2018，杭州临安区模拟)用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝ 36°.‎ 例1题图 ‎【解析】 ∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36°.‎ 12‎ 针对训练1 (2018，唐山二模)如图所示的是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形．若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，ED∥AB，则∠1的度数为(B)‎ 训练1题图 A. 55° B. 45° C. 35° D. 25°‎ ‎【解析】 如答图．由多边形的外角和等于360°，可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝‎ ‎360°.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，∴∠5＝135°.∴∠AED＝45°.∵ED∥AB，∴∠1＝∠AED＝45°.‎ 训练1答图 针对训练2 (2018，济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是(C)‎ 训练2题图 A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°‎ ‎【解析】 ∵在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠EDC＋∠BCD＝240°.∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，∴∠PDC＋∠PCD＝120°.∴∠P＝180°－(∠PDC＋∠PCD)＝180°－120°＝60°.‎ ‎　借助平行四边形的性质求边和角 例2 (2018，绵阳游仙区模拟)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝2，则四边形EFCD的周长为(B)‎ 例2题图 A. 14 B. ‎13 C. 12 D. 10‎ ‎【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC.∴CD＋AD＝9，∠OAE＝∠OCF.在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO(ASA)．∴OE＝OF＝2，AE＝CF.∴四边形EFCD的周长为ED＋CD＋CF＋EF＝(DE＋CF)＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋4＝13.‎ 针对训练3 (2018，长春九台区模拟)如图，在▱ABCD中，∠C＝130°，BE平分∠ABC 12‎ ‎，则∠AEB等于(D)‎ 训练3题图 A. 55° B. 45° C. 35° D. 25°‎ ‎【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∠ABC＋∠C＝180°，∠AEB＝∠CBE.∵∠C＝130°，∴∠ABC＝180°－∠C＝50°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝25°.∴∠AEB＝∠CBE＝25°.‎ ‎　平行四边形的判定和性质 例3 (2018，济南模拟)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD，等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.求证：‎ ‎(1)AC＝EF；‎ ‎(2)四边形ADFE是平行四边形；‎ ‎(3)AC⊥DF.‎ 例3题图 ‎【思路分析】 (1)首先在Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC.又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AB＝2AF，然后即可证明Rt△AFE≌Rt△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC＝EF.(2)根据(1)知EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD.易证AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．(3)先求∠EAC＝90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得AC⊥DF.‎ 证明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，‎ ‎∴AB＝2BC.‎ ‎∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，‎ ‎∴AB＝2AF，AB＝AE.‎ ‎∴AF＝BC.‎ 在Rt△BCA和Rt△AFE中， ‎∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL)．‎ ‎∴AC＝EF.‎ ‎(2)∵△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠DAC＝60°，AC＝AD.‎ ‎∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴EF∥AD.‎ ‎∵AC＝EF，‎ ‎∴EF＝AD.‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎(3)∵四边形ADFE是平行四边形，‎ 12‎ ‎∴AE∥FD.‎ ‎∵∠EAC＝∠EAF＋∠BAC＝60°＋30°＝90°，‎ ‎∴AE⊥AC.‎ ‎∴AC⊥DF.‎ 针对训练4 (2018，东营)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，下面四个条件中可选择的是(D)‎ 训练4题图 A. AD＝BC B. CD＝BF C. ∠A＝∠C D. ∠F＝∠CDF ‎【解析】 正确选项是D.理由：∵∠F＝∠CDF，∠BEF＝∠CED，BE＝CE，∴△BFE≌△CDE，CD∥AF.∴BF＝CD.∵BF＝AB，∴CD＝AB.∴四边形ABCD是平行四边形.‎ 针对训练5 (2018，海南)如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为(A)‎ 训练5题图 A. 15 B. ‎18 C. 21 D. 24‎ ‎【解析】 ∵▱ABCD的周长为36，∴BC＋CD＝18.∵OD＝OB，DE＝EC，∴OE＋DE＝‎ (BC＋CD)＝9.∵BD＝12，∴OD＝BD＝6.∴△DOE的周长为9＋6＝15.‎ 一、 选择题 ‎1. (2018，黔西南州)如图，在▱ABCD中，已知AC＝‎4 cm.若△ACD的周长为‎13 cm，则 ‎▱ABCD的周长为(D)‎ 第1题图 A. ‎26 cm B. ‎24 cm C. ‎20 cm D. ‎‎18 cm ‎【解析】 ∵AC＝4 cm，△ADC的周长为13 cm，∴AD＋DC＝13－4＝9(cm)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC.∴▱ABCD的周长为2(AD＋CD)＝18 cm.‎ ‎2. (2018，铜仁)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形的边数是(A)‎ A. 8 B. ‎9 C. 10 D. 11‎ ‎【解析】 根据题意，得180°·(n－2)＝3×360°.解得n＝8.‎ 12‎ ‎3. (2018，贵阳模拟)一个多边形的边数由原来的3增加到n时(n＞3，且n为正整数)，它的外角和(D)‎ A. 增加(n－2)×180° B. 减小(n－2)×180°‎ C. 增加(n－1)×180° D. 没有改变 ‎【解析】 多边形的外角和等于360°，与边数无关．‎ ‎4. (2018，宜宾)在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是(B)‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 ‎【解析】 如答图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BAD＋∠ADC＝‎ ‎180°.∵∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADC，∴∠EAD＋∠ADE＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.‎ ‎∴∠E＝90°.∴△ADE是直角三角形．‎ 第4题答图 ‎5. (2018，邯郸一模)已知▱ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论不一定成立的是(C)‎ 第5题图 A. ∠DAE＝∠BAE B. ∠DEA＝∠DAB C. DE＝BE D. BC＝DE ‎【解析】 A. 由作法可知AE平分∠DAB，所以∠DAE＝∠BAE，本选项不符合题意．B. ‎ ‎∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠BAE＝∠DAB，本选项不符合题意．C. 无法证明DE＝BE，本选项符合题意．D. 易证∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE.∵AD＝BC，∴BC＝DE，本选项不符合 题意．‎ ‎6. (2018，宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为(B)‎ 第6题图 A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°‎ ‎【解析】 ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线．∴EO∥BC.∴∠1＝∠ACB＝40°.‎ ‎7. (2018，保定一模)如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD，AB于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为(A)‎ 12‎ 第7题图 A. 3 B. ‎5 C. 2 D. 6.5‎ ‎【解析】 根据作图的方法，得AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB＝8，AD＝BC＝5.∴∠DEA＝∠EAB.∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝AD＝5.∴CE＝DC－DE＝8－5＝3.‎ ‎8. (2018，安徽)在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是(B)‎ A. BE＝DF B. AE＝CF C. AF∥CE D. ∠BAE＝∠DCF ‎【解析】 如答图，连接AC与BD相交于点O.在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需得到OE＝OF即可．A. 若BE＝DF，则OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意．B. 若AE＝CF，则无法判定OE＝OF，故本选项符合题意．C. AF∥CE能够利用“AAS”证明△AOF≌△COE，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意．D. ∠BAE＝∠DCF能够利用“ASA”证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后同选项A，故本选项不符合题意．‎ 第8题答图 ‎9. (2018，承德模拟)如图，在正五边形ABCDE中，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于(B)‎ 第9题图 A. 30° B. 36° C. 45° D. 32°‎ ‎【解析】 在正五边形ABCDE中，∠C＝×(5－2)×180°＝108°.∵正五边形ABCDE的边BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.∴∠CDB＝(180°－108°)＝36°.∵AF∥CD，∴∠DFA＝∠CDB＝36°.‎ ‎10. (2018，枣庄薛城区模拟)如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(C)‎ 12‎ 第10题图 A. 3 B. ‎4 C. 6 D. 8‎ ‎【解析】 设△ABC中BC边上的高为h.∵四边形DCFE是平行四边形，∴DE＝CF，DE∥CF.∵BC＝4CF，∴DE＝BC.∵S△ABC＝BC·h＝24.∴S阴影＝S△ADE＋S△DEB＝DE·h＝×BC·h＝×BC·h＝6.‎ 二、 填空题 ‎11. (2018，常州)如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝ 40°.‎ 第11题图 ‎【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝70°.∵DC＝DB，∴∠C＝∠DBC＝70°.∴∠CDB＝180°－70°－70°＝40°.‎ ‎12. (2018，临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝ 4 .‎ 第12题图 ‎【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC.∵AC⊥BC，∴AC＝＝8.∴OC＝4.∴OB＝＝2.∴BD＝2OB＝4.‎ ‎13. (2018，赤峰)如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E，F分别是PB，PC的中点．若 ‎▱ABCD的面积为16 cm2，则△PEF的面积(阴影部分)是 2 cm2.‎ 第13题图 ‎【解析】 ∵▱ABCD的面积为16 cm2，∴S△PBC＝S▱ABCD＝8 cm2.∵E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC，且EF＝BC.∴△PEF∽△PBC.∴＝2，即＝.∴S△PEF＝‎ ‎2 cm‎2.‎ 三、 解答题 ‎14. (2018，大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F.‎ 12‎ ‎(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；‎ ‎(2)若四边形CDEF的周长是‎25 cm，AC的长为‎5 cm，求线段AB的长度．‎ ‎　第14题图 ‎【思路分析】 (1)由三角形中位线定理推知ED∥FC，然后结合已知条件EF∥DC，利用两组对边平行得到四边形CDEF为平行四边形．(2)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，再结合由三角形中位线定理得到的2DE＝BC，即可得出四边形CDEF的周长为AB＋BC，故BC＝25－AB，然后根据勾股定理即可求得AB的长．‎ ‎(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴ED∥FC.‎ ‎∵EF∥DC，‎ ‎∴四边形CDEF是平行四边形．‎ ‎(2)解：∵四边形CDEF是平行四边形，‎ ‎∴DC＝EF，DE＝CF.‎ ‎∵D，E分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴BC＝2DE，DC是Rt△ABC斜边AB上的中线．‎ ‎∴AB＝2DC.‎ ‎∴四边形CDEF的周长为AB＋BC.‎ ‎∵四边形CDEF的周长为25，‎ ‎∴BC＝25－AB.‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，‎ ‎∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52.‎ 解得AB＝13.‎ ‎∴AB的长为13 cm.‎ ‎15. (2018，青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.‎ ‎(1)求证：AB＝AF；‎ ‎(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．‎ 第15题图 ‎【思路分析】 (1)只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题．(2)四边形ACDF是矩形．先得四边形ACDF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD.‎ ‎∴∠AFC＝∠DCG.‎ ‎∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，‎ ‎∴△AGF≌△DGC.‎ ‎∴AF＝DC.‎ 12‎ ‎∴AB＝AF.‎ ‎(2)解：四边形ACDF是矩形．‎ 证明：∵AF＝CD，AF∥CD，‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD＝∠BCD＝120°.‎ ‎∴∠FAG＝60°.‎ ‎∵AG＝AB＝AF，‎ ‎∴△AFG是等边三角形．‎ ‎∴AG＝GF.‎ ‎∵△AGF≌△DGC，‎ ‎∴FG＝CG.‎ ‎∵AG＝GD，‎ ‎∴AD＝CF.‎ ‎∴四边形ACDF是矩形．‎ ‎16. (2018，黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD为边作等腰三角形BCF，等腰三角形CDE，使BF＝BC，DE＝CD，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.‎ ‎(1)求证：△ABF≌△EDA；‎ ‎(2)延长AB与CF交于点G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.‎ 第16题图 ‎【思路分析】 (1)只要证明AB＝DE，FB＝AD，∠ABF＝∠ADE即可解决问题．(2)只要证明FB⊥AD即可解决问题．‎ 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.‎ ‎∵BC＝BF，CD＝DE，‎ ‎∴BF＝AD，AB＝DE.‎ ‎∵∠ADE＋∠ADC＋∠CDE＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠CDE＝∠CBF，‎ ‎∴∠ABF＝∠ADE.‎ ‎∴△ABF≌△EDA.‎ ‎(2)如答图，延长FB交AD于点H.‎ ‎∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°.‎ ‎∵△ABF≌△EDA，‎ ‎∴∠EAD＝∠AFB.‎ ‎∵∠EAD＋∠FAH＝90°，‎ ‎∴∠FAH＋∠AFB＝90°.‎ ‎∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD.‎ ‎∵AD∥BC，∴FB⊥BC.‎ 12‎ 第16题答图 ‎1. (2018，眉山，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF.下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF.其中正确的结论共有(D)‎ 第1题图 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【解析】 如答图，延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH.∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝AD＝CB.∴∠CFB＝∠CBF.∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH.∴∠CBF＝∠FBH.∴∠ABC＝2∠ABF，①正确．∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG.∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△CFG.∴FE＝FG.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EBG＝∠AEB＝90°.∴BF＝EF＝FG，②正确．∵S△DFE＝S△CFG，∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，③正确．∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH.∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形．∵CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形．∴∠BFC＝∠BFH.∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE.∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF.∴∠EFC＝3∠DEF，④正确．‎ 第1题答图 ‎2. (2018，株洲，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝3，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝ 6 .‎ 第2题图 ‎【解析】 ∵BD＝CD，AB＝CD，∴BD＝BA.∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝3.∵∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，∠ABD＝∠P＋∠BAP，∴∠P＝∠PAM.∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝6.‎ ‎3. (2018，重庆A，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G.‎ 12‎ ‎(1)若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；‎ ‎(2)若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG.‎ 第3题图 ‎【思路分析】 (1)利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积．‎ ‎(2)过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，判定△AME≌△BNG，可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO，可得AF＝CE，即可得到DF＝BE＝CG.‎ ‎(1)解：∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4.‎ 在Rt△ABH中，BH＝＝，‎ ‎∴S△ABE＝AE·BH＝×4×＝2.‎ ‎(2)证明：如答图，过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°.‎ ‎∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°.‎ ‎∵AB＝AE，‎ ‎∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM.‎ ‎∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK.‎ ‎∵∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG.‎ 设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°＋α，∠BGA＝∠GCN＋∠GBC＝45°＋α. ‎ ‎∴∠BAG＝∠BGA.∴AB＝BG.‎ ‎∴AE＝BG.∴△AME≌△BNG(AAS)．∴ME＝NG.‎ ‎∵在等腰直角三角形CNG中，NG＝NC，‎ ‎∴GC＝NG＝ME＝BE.‎ ‎∴BE＝GC.‎ ‎∵O是AC的中点，∴OA＝OC.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.‎ ‎∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO.‎ ‎∴△AFO≌△CEO(AAS)．∴AF＝CE.‎ ‎∴AD－AF＝BC－EC，即DF＝BE.∴DF＝BE＝CG.‎ 第3题答图 12‎