广东省汕头市潮南区2018-2019学年九年级（上）
期末数学模拟试卷（一）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．方程﹣5x2=1的一次项系数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．0
2．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
4．方程2x2﹣2=0的根是（ ）
A．x1=x2=1 B．x1=x2=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=2，x2=﹣2
5．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 2，有最小值﹣2.5
B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值 2，无最小值
6．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC的度数（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
8．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，直角三角形ABC有一外接圆，其中∠B=90°，AB＞BC，今欲在上找一点P，使得=，以下是甲、乙两人的作法：
甲：（1）取AB中点D
（2）过D作直线AC的平行线，交于P，则P即为所求
乙：（1）取AC中点E
（2）过E作直线AB的平行线，交于P，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误C D．甲错误，乙正确
10．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（ ）
A．10° B．60° C．90° D．120°
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（5）个三角形的直角顶点的坐标是 ，第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是 ．
13．小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，得到的点数为奇数的概率是 ．
14．如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA= ．
16．如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为 ．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）已知x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，求m（2m+1）的值．
18．（6分）已知：△ABC（如图），
（1）求作：作△ABC的内切圆⊙I．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．
（2）在题（1）已经作好的图中，若∠BAC=88°，求∠BIC的度数．
19．（6分）如图，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．（7分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
21．（7分）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
22．（7分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE交AB于点F，⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C，连接AE．
（1）试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由；
（2）若AD=3，∠C=60°，点E是半圆AB的中点，则线段AE的长为 ．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=m2
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
25．（9分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：方程整理得：﹣5x2﹣1=0，
则一次项系数为0，
故选：D．
2．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．
故选：A．
4．解：方程整理得：x2=1，
开方得：x=±1，
则x1=1，x2=﹣1．
故选：C．
5．解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，
∴x=1时，有最大值 2，x=4时，有最小值﹣2.5．
故选：A．
6．解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，
∴两人“心领神会”的概率是=，
故选：B．
7．解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BOD=110°，
∴∠AOD=180°﹣110°=70°，
∵AC∥OD，
∴∠CAB=∠AOD=70°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°﹣∠AOC=90°﹣70°=20°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×20°=40°．
故选：D．
8．解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；
如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．
故选：A．
9．解：（1）由甲的作法可知，DP是△ABC的中位线，
∵DP不垂直于BC，
∴≠；
（2）由乙的作法，连BE，可知△BEC为等腰三角形
∵直线PE⊥BC，
∴∠1=∠2
故=；
∴甲错误，乙正确．
故选：D．
10．解：根据弧长的公式l=，
得到：4π=，
解得n=60°，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
12．解：∵点A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∴第（2）个三角形的直角顶点的坐标是（4，）；
∵5÷3=1余2，
∴第（5）个三角形的直角顶点的坐标是（，），
∵2018÷3=672余2，
∴第（2018）个三角形是第672组的第二个直角三角形，
其直角顶点与第672组的第二个直角三角形顶点重合，
∴第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是（8068，）．
故答案为：（16，）；（8068，）
13．解：根据题意知，掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，所以掷到上面为奇数的概率为．
故答案为：．
14．解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=30°，
∴CE=OC=1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）
∴CD=2CE=2，
故答案为：2
15．解：∵点C是半径OA的中点，
∴OC=OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠DFA=30°，
故答案为：30°
16．解：依题意得：（1）摆第1个“小屋子”需要5个点；
摆第2个“小屋子”需要11个点；
摆第3个“小屋子”需要17个点．
当n=n时，需要的点数为（6n﹣1）个．
故答案为6n﹣1．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．解：∵x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，
∴1﹣m﹣2m2=0．
∴2m2+m=1．
∴m（2m+1）=2m2+m=1．
18．解：（1）如图，⊙I为所作；
（2）∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣88°）=46°，
∴∠BIC=180°﹣∠IBC﹣∠ICB=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣46°=134°．
19．解：BD存在最大值．
如图：以AD为边作等边△ADE，连接CE．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE=DE=2，∠BAC=∠EAD=60°．
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠EAD+∠DAC
∴∠BAD=∠EAC，且AB=AC，AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
若点E，点D，点C不共线时，EC＜ED+DC；
若点E，点D，点C共线时，EC=ED+DC．
∴EC≤ED+CD=2+4=6
∴BD≤6
∴BD最大值为6．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
∴建议小明在第一题使用“求助”．
21．解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2=400，
解得：x1=，x2=﹣（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）=4250，
解得：m1=5，m2=﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
22．解：（1）∠AED=∠C，证明如下：
连接BD，
可得∠ADB=90°，
∴∠C+∠DBC=90°，
∵CB是⊙O的切线，
∴∠CBA=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵∠AEB=∠ABD，
∴∠AED=∠C，
（2）连接BE，
∴∠AEB=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
在Rt△DAB中，AD=3，∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=，
解得：AB=2，
∵E是半圆AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE=45°，
在Rt△AEB中，AB=2，∠ADB=90°，
∴cos∠EAB=，
解得：AE=．
故答案为：
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．解：（1）∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=m2，
∴x2﹣5x+6﹣m2=0，
∴△=25﹣4（6﹣m2）=1+4m2＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，
则（1﹣3）×（1﹣2）=m2，
2=m2，
m=±，
原方程变形为x2﹣5x+4=0，
设方程的另一个根为a，
则1×a=4，
a=4，
则方程的另一个根为4．
24．（1）证明：连接OD，
∵CD与圆O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∵BD∥OC，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC与圆O相切；
（2）∵AB=OC=4，OB=OD，
∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，
∴∠DOC=∠COA=60°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD为等边三角形，
图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣△DOB的面积=．
25．解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得，
解得，
∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；
解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0），
把O（0，0），A（1，1）代入得
解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣（x﹣2）2+．
（2）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=t，
∴S=（t）2=t2．
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，
作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S梯形OAGP．
∴AG=FH=t﹣2，
∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，
重叠部分的面积是S五边形OAMNC．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t﹣3，
∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，
∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；
（3）存在t1=1，t2=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时， =×（t+）2+×（t+），解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1．
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