九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．关于x的方程（a﹣1）x2+x+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a≥﹣1且a≠1 C．a＞﹣1且a≠1 D．a≠±1
2．已知点P（﹣1，m2+1）与点Q关于原点对称，则点Q一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1=0时，此方程可变形为（ ）
A．（x+1）2=1 B．（x﹣1）2=1 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2
4．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=0
6．已知圆的直径是13cm，如果圆心到某直线的距离是6.5cm，则此直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．三角形的外心到三边的距离相等
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
8．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．若a=b，则|a|=|b|
C．同位角相等，两直线平行
D．若ac2＜bc2，则a＜b
9．已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
10．已知边长为4的等边△ABC，E，F分别是AB、BC的中点，将△BEF绕点B顺时针旋转α°，AE与CF交于P．当α=60°时，点P运动的路径长是（ ）
A．π B．π C．π D．π
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x﹣k2=0的一个根为1，则k的值为 ．
12．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=2：1：4，则∠D= 度．
13．一个口袋中装有2个红球、3个绿球、5个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均匀后随机从中摸出一个球是绿球的概率是 ．
14．如果关于x的方程2x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
15．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是 ．
16．如图，某大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式是y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶8秒时和28秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒．
三．解答题（共9小题，满分102分）
17．（13分）解下列一元二次方程：
（1）x2+4x+2=0
（2）2x2﹣5x﹣3=0．
18．（9分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，﹣3）．
（1）求k的值；
（2）函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
（3）画出函数的图象；
（4）点B（，﹣12），C（﹣2，4）在这个函数的图象上吗？
19．（9分）小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A，B，CD，E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入：②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元．
（1）请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况；
（2）小美得到小兔玩具的机会有多大？
（3）假设有125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元．
20．（11分）二次函数y=ax2﹣6x+21可以由y=平移得到．
（1）指出a的值，并将解析式改写成顶点式；
（2）抛物线的开口方向、对称轴、和顶点分别是什么？
（3）当x为何值时二次函数的函数值y随x的增大而减小．
21．（10分）如图，8×8网格中，每个小正方形边长为1．
（1）分别画出△ABC绕O点逆时针旋转90°所得△A1B1C1及△ABC关于O点的中心对称图形；
（2）连结A2B，BB2，判断△A2B2B形状并证明；
（3）证明C2不在线段A2B上．
22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°
（1）求∠B的大小；
（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．
23．（12分）如图，已知双曲线y=（m＞0）与直线y=kx交于A、B两点，点A的坐标为（3，2）．
（1）由题意可得m的值为 ，k的值为 ，点B的坐标为 ；
（2）若点P（n﹣2，n+3）在第一象限的双曲线上，试求出n的值及点P的坐标；
（3）在（2）小题的条件下：如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点P、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，试求出点M的坐标．
24．（14分）已知抛物线y=﹣x2+x+k
（1）指出抛物线的开口方向和对称轴；
（2）若抛物线与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴交于点C，求k的取值范围．
25．（14分）已知菱形ABCD，∠DAB=60°．
（1）若菱形ABCD的边长为2cm，如图（a）所示，点P从A点出发，以cm/s的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动，设P点的运动时间为t秒
①当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
②以P为圆心，PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
（2）如图（b）所示，菱形ABCD对角线交于点O，AE=，BE=1，连接OE，请直接写出OE的最大值．
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+x+2=0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0，
解得：a≥﹣1，且a≠1．
故选：B．
2．【解答】解：∵点P（﹣1，m2+1）与点Q关于原点对称，
∴Q（1，﹣m2﹣1），
∴点Q一定在第四象限，
故选：D．
3．【解答】解：x2+2x﹣1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
（x+1）2=2，
故选：C．
4．【解答】解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD﹣∠A=40°；
∴∠B=∠C=40°；
故选：C．
5．【解答】解：∵当x=﹣3与x=﹣1时，y值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==﹣2．
故选：B．
6．【解答】解：∵圆的直径为13 cm，
∴圆的半径为6.5 cm，
∵圆心到直线的距离6.5cm，
∴圆的半径=圆心到直线的距离，
∴直线于圆相切，
故选：B．
7．【解答】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；
B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；
C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；
D、若ac2＜bc2，则a＜b的逆命题是若a＜b，则ac2＜bc2，假命题；
故选：C．
9．【解答】解：∵k=2＞0，
∴函数为减函数，
又∵x1＞0＞x2，
∴A，B两点不在同一象限内，
∴y2＜0＜y1；
故选：B．
10．【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，OM⊥BC于M交⊙O于N，连接OB，PB．
∵△ABC和△EBF是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BF，∠ABC=∠BAC=∠EBF=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCP，
∴A、B、P、C四点共圆，
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴∠BPC=120°，
∴点P的运动轨迹是，
∵等边三角形的边长为4，
∴OB=，
的长==π，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：∵x=1是（k﹣1）x2+x﹣k2=0的根，
∴k﹣1+1﹣k2=0，解得k=0或1，
∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k=0．
故答案为：0．
12．【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、x、4x，
则2x+4x=180°，
解得，x=30°，
则∠B=30°，
∴∠D=180°﹣∠B=150°，
故答案为：150．
13．【解答】解：球的总数为：2+3+5=10，
∵绿球的球的个数为3，
∴随机地从中摸出一个球是绿球的概率是．
故答案为：．
14．【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4×2×k=9﹣8k=0，
解得：k=．
故答案为：．
15．【解答】解：由图可知：△ABC的外接圆半径==．
16．【解答】解：∵当小强骑自行车行驶8秒时和28秒时拱梁的高度相同，
∴其抛物线的对称轴为直线x=（8+28）÷2=18，
故CO=36，
则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．
故答案为：36．
三．解答题（共9小题，满分102分）
17．【解答】解：（1）x2+4x+2=0，
b2﹣4ac=42﹣4×1×2=8，
x=，
x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
（2）2x2﹣5x﹣3=0，
（2x+1）（x﹣3）=0，
2x+1=0，x﹣3=0，
x1=﹣，x2=3．
18．【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（2，﹣3），
∴代入得：k=﹣3×2=﹣6；
（2）∵反比例函数的解析式为y=﹣，
k=﹣6＜0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大；
（3）函数的图象为：；
（4）点B在函数图象上，C不在函数的图象上．
19．【解答】解：（1）画树状图为：
（2）由树状图知，共有10种等可能的结果数，其中从开始进入的出入口离开的结果数为2，
所以小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率==；
（2）125×0.8×3﹣125×0.2×4=200，
所以估计游戏设计者可赚200元．
20．【解答】解：（1）∵次函数y=ax2﹣6x+21可以由y=平移得到，
∴a=，
∴y=ax2﹣6x+21=x2﹣6x+21=（x﹣6）2+3．
综上所述，a的值是，抛物线的顶点式方程为：y=（x﹣6）2+3；
（2）由（1）知，抛物线的方程为：y=（x﹣6）2+3，
因为a=＞0，
所以抛物线开口方向向上．
由y=（x﹣6）2+3得到对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）；
（3）由（2）知，抛物线开口方向向上，对称轴是直线x=6，则当x＞6时，二次函数的函数值y随x的增大而减小．
21．【解答】（1）解：如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
（2）解：△A2B2B为直角三角形．
理由如下：∵B2B2=22+42=20，A2B22=22+12=5，A2B2=32+42=25，
∴B2B2+A2B22=A2B2，
∴△A2B2B为直角三角形；
（3）证明：∵A2C2==，BC2==，A2B=5，
∴A2C2+BC2≠A2B，
∴C2不在线段A2B上
22．【解答】解：（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，
∴∠C=65°﹣40°=25°，
∴∠B=∠C=25°；
（2）作OE⊥BD于E，
则DE=BE，
又∵AO=BO，
∴OE=AD，
∴圆心O到BD的距离为3．
23．【解答】解：（1）把A（3，2）代入反比例解析式得：m=6；
把A（3，2）代入直线解析式得：k=，
由对称性得：B（﹣3，﹣2）；
故答案为：6；；（﹣3，﹣2）；
（2）把P（n﹣2，n+3）代入y=中得：（n﹣2）（n+3）=6，
整理得：n2+n﹣12=0，即（n﹣3）（n+4）=0，
解得：n=3或n=﹣4（舍去），
则P（1，6）；
（3）分两种情况考虑：
当M1在x轴正半轴，N1在y轴上半轴时，如图1所示，
过P作PQ∥y轴，过A作AQ∥x轴，交于点Q，
∵A（3，2），P（1，6），
∴AQ=3﹣1=2，
由平移及平行四边形性质得到OM1=2，即M1（2，0）；
当M2在x轴负半轴，N2在y轴下半轴时，如图2所示，
同理得到OM2=2，即M2（﹣2，0）．
24．【解答】解：（1）由二次函数的解析式可知：开口方向向下，对称轴为x=1；
（2）抛物线与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，
∴
∴，
解得：k＞0．
25．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，
∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA=（cm），AC=2OA=2（cm），
运动ts后，，
∴
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）
②如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，
∴PM=PC=，由PM=PQ=AQ=t，即=t
解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，
∴QB=PQ=AQ=t，
∴t=1
∴时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即=t，∴t=3﹣．
∴当1＜t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点；
（2）当OE⊥AB时，OE取最大值，OE=．
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