第28讲 正方形与四边形综合
1. (2013，河北) 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若∠3＝50°，则∠1＋∠2的度数为(B)
第1题图
A. 90° B. 100° C. 130° D. 180°
【解析】 如答图．∠BAC＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠ABC＝180°－60°－∠3＝120°－∠3，∠ACB＝180°－60°－∠2＝120°－∠2.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴90°－∠1＋120°－∠3＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝150°－∠3.∵∠3＝50°，∴∠1＋∠2＝150°－50°＝100°.
第1题答图
2. (2015，河北，导学号5892921)如图所示的是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)
第2题图
A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以
C. 甲不可以，乙可以 D. 甲可以，乙不可以
【解析】 甲、乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形，所拼图形如答图所示．
第2题答图
3. (2016，河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是(C)
A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
【解析】 ∵在▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形．故选项A错误．∵在▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形．故选项B错误．
∵在▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故选项C正确．∵在▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形．故选项D错误．
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4. (2017，河北)如图所示的是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A)
第4题图
A B C D
【解析】 该正方形的对角线的长是10 cm≈14.14 cm，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都要小于14.14 cm.
正方形的性质
例1 (2018，深圳二模)如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出以下4个结论：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP.其中正确的结论是(C)
例1题图
A. ①② B. ①④
C. ①②④ D. ①③④
【解析】 如答图，连接PC.∵P为正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∴PA＝PC，∠BCD＝90°.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠BCD＝90°.∴四边形PECF是矩形．∴PC＝EF.∴PA＝EF.故②正确．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°.∵∠PFD＝∠BCD＝90°，∴PF∥BC.∴∠DPF＝∠DBC＝45°.
∴△FPD是等腰直角三角形．故①正确．在△PAB和△PCB中，∴△PAB≌△PCB.∴∠BAP＝∠BCP.易证∠PFE＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP.故④正确．∵P是正方形对角线BD上任意一点，∴AD不一定等于PD.故③错误．
例1答图
针对训练1 (2018，唐山丰南区二模)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，
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AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为(B)
训练1题图
A. 75° B. 60° C. 55° D. 45°
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°.∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE.∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE.∴∠ABE＝∠AEB＝×(180°－150°)＝15°.∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°.
正方形的判定
例2 (2018，桂林灌阳县模拟)如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F.若点O运动到AC的中点，要使四边形AECF是正方形，则∠ACB的度数是(D)
例2题图
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
【解析】 ∵CE，CF分别为∠ACB，∠ACD的平分线，∴∠ECF＝90°.∵MN∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB.∵∠ECB＝∠ECO，∴∠FEC＝∠ECO.∴OE＝OC.同理OC＝OF.∴OE＝OF.∵点O运动到AC的中点，∴OA＝OC.∴四边形AECF为矩形．若∠ACB＝90°，则AC⊥EF.
∴四边形AECF为正方形.
针对训练2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.添加一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是(C)
训练2题图
A. BD＝AB B. AC＝AD
C. ∠ABC＝90° D. OD＝AC
【解析】 要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：①有一个内角是直角；②对角线相等.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
例3 (2018，临沂)如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是(A)
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例3题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 由三角形中位线定理可知四边形的四边中点组成的四边形是平行四边形．本题中，当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形；当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．反之，四边形EFGH是正方形时，AC与BD互相垂直且相等．只有说法④正确.
针对训练3 (2018，盐城盐都区模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，顺次连接E，G，F，H.
(1)求证：四边形EGFH是菱形；
(2)当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由；
(3)猜想：∠GFH，∠ABC，∠DCB三个角之间的关系．(直接写出结果)
训练3题图
【思路分析】 (1)根据三角形中位线的性质得到EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，GF＝CD.根据菱形的判定定理即可得到结论．(2)根据平行线的性质得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB.根据平角的定义得到∠GFH＝90°，于是得到结论．(3)由平行线的性质得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB.根据平角的定义即可得到结论．
(1)证明：∵E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，GF＝CD.
∵AB＝CD，
∴EG＝EH＝HF＝GF.
∴四边形EGFH是菱形．
(2)解：当∠ABC＋∠DCB＝90°时，四边形EGFH为正方形．
理由：∵E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴HF∥AB，GF∥CD.
∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB.
∵∠ABC＋∠DCB＝90°，
∴∠HFC＋∠GFB＝90°.
∴∠GFH＝90°.
∴菱形EGFH是正方形．
(3)解：∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°.
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一、 选择题
1. (2018，石家庄二模)如图，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则∠1的度数可能是(A)
第1题图
A. 44° B. 45° C. 46° D. 47°
【解析】 如答图．∵四边形为正方形，∴∠2＝45°.∵∠1＜∠2，∴∠1＜45°.
第1题答图
2. (2018，宜昌)如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积为(B)
第2题图
A. 1 B. C. D.
【解析】 根据对称性，可知四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等．∴S阴影＝
S正方形ABCD＝.
3. (2018，梧州)如图，在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)．将正方形ABCD向右平移3个单位长度，则平移后点D的坐标是(B)
第3题图
A. (－6，2) B. (0，2) C. (2，0) D. (2，2)
【解析】 ∵在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，∴点D的坐标为(－3，2)．∴将正方形ABCD向右平移3个单位长度，平移后点D的坐标是(0，2)．
4. (2018，湘西州)下列说法中，正确的有(B)
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】
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①对顶角相等，故①正确．②两直线平行，同旁内角互补，故②错误．③对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故③错误．④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确．
5. (2018，湘潭)如图，已知E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是(B)
第5题图
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形
【解析】 由菱形对角线的性质和三角形中位线定理可得四边形EFGH是矩形．
6. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长为(A)
第6题图
A. －1 B. C. 1 D. 1－
【解析】 如答图，过点E作EF⊥DC于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE平分∠ACD，∴EO＝EF.∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝.∴CO＝AC＝.∴CF＝CO＝.∴EF＝DF＝DC－CF＝1－.∴DE＝DF＝－1.
第6题答图
7. 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上．以点C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是(C)
第7题图
A. (－2，0) B. (－2，10) C. (2，10)或(－2，0) D. (10，2)或(－2，10)
【解析】 因为点D(5，3)在边AB上，所以AB＝BC＝5，BD＝5－3＝2.①若把△CDB顺时针旋转90°，则点D′在x轴上，OD′＝2，所以D′(－2，0)．②若把△CDB逆时针旋转
90°，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以D′(2，10)．综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为(－2，0)或(2，10)．
8. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A
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顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)
第8题图
A. B. C. 1－ D. －1
【解析】 ∵绕顶点A顺时针旋转45°，∴∠D′CE＝45°，∠CD′E＝90°.∴CD′＝D′E.∵AC＝＝，∴CD′＝－1.∴正方形重叠部分的面积是×1×1－×(－1)×(－1)＝－1.
二、 填空题
9. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作EF⊥EC，交AB于点F，则tan∠ECF＝（ ） .
第9题图
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴CD＝AD＝2AE.∵∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE.∴＝＝.∴tan∠ECF＝＝.
10. 如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝ 30° .
第10题图
【解析】 ∵AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2×75°＝
30°.∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋30°＝120°.∵AB＝AD，∴AB＝AE.∴∠AEB＝
(180°－∠BAE)＝×(180°－120°)＝30°.
11. (2018，武汉)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是
30°或150°.
【解析】 如答图①.∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°.∴∠BAE＝∠CDE＝150°.∴∠AEB＝∠CED＝15°.∴∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝
30°.如答图②.同理∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°.∴∠CED＝∠ECD＝×(180°－30°)＝75°.∴∠BEC＝360°－75°×2－60°＝150°.
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第11题答图
12. (2018，咸宁)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为 (－1，5) ．
第12题图
【解析】 如答图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H，过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE，FO相交于点O′.∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO.易证∠GOM＝
∠OEH，∠OGM＝∠EOH.∴△OGM≌△EOH(ASA)．∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3.∴G(－3，2)．∴O′.∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为(－1，5)．
第12题答图
三、 解答题
13. (2018，宁夏)如图，已知E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N.
(1)求证：△ABE≌△BCN；
(2)若N为AB的中点，求tan∠ABE.
第13题图
【思路分析】 (1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明即可．(2)根据全等三角形的性质和三角函数解答即可．
(1)证明：如答图．∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBN＝90°，∠1＋∠2＝90°.
∵CM⊥BE，
∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠1＝∠3.
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在△ABE和△BCN中，
∴△ABE≌△BCN(ASA)．
(2)解：∵N为AB的中点，
∴BN＝AB.
∵△ABE≌△BCN，
∴AE＝BN＝AB.
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝＝.
第13题答图
14. (2018，盐城)如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF.
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
第14题图
【思路分析】 (1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明即可．(2)四边形AECF是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形即可判断．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
∴∠ABD＝∠ADB.
∴∠ABE＝∠ADF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)解：四边形AECF是菱形．
理由：如答图，连接AC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF.
∴OB＋BE＝OD＋DF.
∴OE＝OF.
∴四边形AECF是菱形．
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第14题答图
15. (2018，白银)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
(1)求证：△BGF≌△FHC；
(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
第15题图
【思路分析】 (1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可．(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．
(1)证明：∵F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH＝BE，GE＝BG＝BE，BF＝FC.
∴∠CFH＝∠CBG，FH＝BG.
∴△BGF≌△FHC.
(2)解：如答图，连接EF，GH.当四边形EGFH是正方形时，得EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，G，H分别是BE，CE的中点，
∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC.
∴EF⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝EF＝GH＝a.
∴矩形ABCD的面积为AB·AD＝a·a＝a2.
第15题答图
16. (2018，遵义)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线相交于点M，OF，AB的延长线相交于点N，连接MN.
(1)求证：OM＝ON；
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(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．(结果保留根号)
第16题图
【思路分析】 (1)证△OAM≌△OBN即可得．(2)作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH＝HA＝2，HM＝4，再根据勾股定理得OM＝2.由等腰直角三角形的性质知MN＝OM.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝∠OBA＝45°.
∴∠OAM＝∠OBN＝135°.
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON.
∴△OAM≌△OBN(ASA)．∴OM＝ON.
(2)解：如答图，过点O作OH⊥AD于点H.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OH＝HA＝2.
∵E为OM的中点，
∴HM＝4.
∴OM＝＝2.
∴MN＝OM＝2.
第16题答图
1. (2018，无锡)如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G，H都在边AD上．若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值为(A)
第1题图
A. B. C. D. 随点E位置的变化而变化
【解析】 ∵EF∥AD，∴∠AFE＝∠FAG.∴HE∥CD.∴△AEH∽△ACD.∴＝＝.设EH＝3x，AH＝4x，∴HG＝GF＝3x.∴tan∠AFE＝tan∠FAG＝＝＝.
2. (2018，青岛)如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF
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＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 （）.(结果保留根号)
第2题图
【解析】 ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD.∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF(SAS)．∴∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠DAF＋∠BEA＝90°.∴∠BGF＝∠AGE＝90°.∵H为BF的中点，∴GH＝BF.∵BC＝5，CF＝CD－DF＝5－2＝3，∴BF＝＝.∴GH＝BF＝.
3. (2018，台州，导学号5892921)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为＋3.(结果保留根号)
第3题图
【解析】 ∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，∴阴影部分的面积为×9＝6.∴空白部分的面积为9－6＝3.由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝.易证∠BGC＝90°.设BG＝a，CG＝b，则ab＝.又∵a2＋b2＝32，∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，即(a＋b)2＝15.∴a＋b＝，即BG＋CG＝.∴△BCG的周长为＋3.
4. (2018，北京，导学号5892921)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.
(1)求证：GF＝GC；
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
第4题图
【思路分析】 (1)连接DF，根据对称的性质，得△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论．(2)作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据勾股定理得EM＝AE，得结论．
(1)证明：如答图，连接DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°.
∵点A关于直线DE的对称点为F，
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∴△ADE≌△FDE.
∴DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°.
∴DF＝DC，∠DFG＝90°.
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)．
∴GF＝GC.
(2)解：BH＝AE.
证明：如答图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE.
∵AD＝AB，
∴DM＝BE.
由(1)知∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠ADC＝90°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°.
∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG＝45°.
∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90°.
∴∠AED＋∠BEH＝∠AED＋∠1＝90°，△DEH是等腰直角三角形．
∴∠1＝∠BEH，DE＝EH.
∴△DME≌△EBH.
∴EM＝BH.
在Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，
∴EM＝AE.
∴BH＝AE.
第4题答图
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