河北省2019年中考数学复习圆第30讲与圆有关的位置关系试题（含解析）.doc

第30讲　与圆有关的位置关系 ‎1. (2012，河北)如图，A(－5，0)，B(－3，0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t s.‎ ‎(1)求点C的坐标；‎ ‎(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；‎ ‎(3)以点P为圆心，PC的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值．‎ 第1题图 ‎【思路分析】 (1)由∠CBO＝45°，∠COB为直角，得∠BCO＝45°.所以∠BCO＝∠CBO.可得OC＝OB＝3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标．(2)需要对点P的位置进行分类讨论．①当点P在点B右侧时，由∠BCO＝45°，用∠BCO－∠BCP求出∠PCO＝30°.又OC＝3，在Rt△POC中，求出OP的长．由PQ＝OQ＋OP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.②当点P在点B左侧时，用∠BCO＋∠BCP求出∠PCO＝60°.又OC＝3，在Rt△POC中，求出OP的长，由PQ＝OQ＋OP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.(3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，分三种情况讨论．①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP＝90°，由∠BCO＝45°，得到∠OCP＝45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP＝OC，由OC＝3，得到OP＝3，用OQ－OP求出点P运动的路程，即可得出此时的时间t.②当⊙P与CD相切于点C时，点P与点O重合，可得出点P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t.③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到A为切点，由PC＝PA，且PA＝9－t，PO＝t－4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t.综上，得到所有满足题意的时间t的值．‎ 解：(1)∵∠CBO＝45°，∠COB＝90°，‎ ‎∴∠BCO＝90°－45°＝45°.‎ ‎∴∠BCO＝∠CBO.‎ ‎∴OC＝OB＝3.‎ ‎∵点C在y轴的正半轴上，‎ ‎∴点C的坐标为(0，3)．‎ ‎(2)分两种情况考虑．‎ ‎①当点P在点B右侧时，如答图①.‎ ‎∵∠BCP＝15°，∠BCO＝45°，‎ ‎∴∠PCO＝30°.‎ ‎∴OP＝CO·tan 30°＝.‎ 此时t＝4＋.‎ ‎②当点P在点B左侧时，如答图②.‎ ‎∵∠BCP＝15°，∠BCO＝45°，∴∠PCO＝60°.‎ ‎∴OP＝CO·tan 60°＝3.‎ 此时t＝4＋3.‎ ‎∴当∠BCP＝15°时，t的值为4＋或4＋3.‎ 18‎ ‎(3)由题意，知若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况．‎ ‎①如答图③，当⊙P与BC相切于点C时，‎ 有∠BCP＝90°.‎ ‎∵∠BCO＝45°，∴∠OCP＝45°.‎ ‎∴OP＝3，此时t＝1.‎ ‎②如答图④，当⊙P与CD相切于点C时，‎ 有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t＝4.‎ ‎③如答图⑤，当⊙P与AD相切于点A时，‎ 有PC＝PA.‎ ‎∴PC2＝PA2＝(9－t)2，PO2＝(t－4)2.‎ ‎∴(9－t)2＝(t－4)2＋32.‎ 解得t＝5.6.‎ ‎∴t的值为1或4或5.6.‎ 第1题答图 ‎2. (2018，河北，导学号5892921)如图，点A在数轴上表示的数为26，以原点O为圆心，OA的长为半径作优弧，使点B在点O的右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过点P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上表示的数为x，连接OP.‎ 第2题图 ‎(1)若优弧上的一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；‎ 18‎ ‎(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；‎ ‎(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．‎ ‎【思路分析】 (1)利用弧长公式求出圆心角的度数．利用PQ∥OB，得∠PQO＝∠QOB.根据tan∠AOB＝，得＝，求出OQ的长即可解决问题．(2)当点Q在点O的左边，直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．(3)因为P是优弧上的任意一点，所以点P的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．‎ 解：(1)由＝13π，解得n＝90.‎ ‎∴∠AOP＝90°.‎ ‎∵PQ∥OB，‎ ‎∴∠PQO＝∠QOB.‎ ‎∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝.‎ ‎∴OQ＝.‎ ‎∴x＝.‎ ‎(2)如答图①.当点Q在点O的左边，直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．‎ 在Rt△OPQ中，OQ＝OP÷＝32.5，‎ 此时x的值为－32.5.‎ ‎(3)分三种情况：‎ ‎①如答图②，过点O作OH⊥PQ于点H.‎ 设OH＝4k，QH＝3k.‎ 在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2＋PH2，‎ ‎∴262＝(4k)2＋(3k－12.5)2.‎ 整理，得k2－3k－20.79＝0.‎ 解得k＝6.3.‎ ‎∴OQ＝5k＝31.5，此时x的值为31.5.‎ ‎②如答图③，过点O作OH⊥PQ交PQ的延长线于点H.‎ 设OH＝4k，QH＝3k.‎ 在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2＋PH2，‎ ‎∴262＝(4k)2＋(12.5＋3k)2.‎ 整理，得k2＋3k－20.79＝0.‎ 解得k＝3.3.‎ ‎∴OQ＝5k＝16.5，此时x的值为－16.5.‎ ‎③如答图④，过点O作OH⊥PQ于点H.‎ 设OH＝4k，QH＝3k.‎ 在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2＋PH2，‎ ‎∴262＝(4k)2＋(3k－12.5)2.‎ 整理，得k2－3k－20.79＝0.‎ 解得k＝6.3.‎ 18‎ ‎∴OQ＝5k＝31.5，此时x的值为－31.5.‎ 综上所述，满足条件的x的值为31.5或－16.5或－31.5.‎ 第2题答图 ‎　点与圆的位置关系 例1 (2017，福州)如图，在6×6的正方形网格中，有6个点，M，N，O，P，Q，R(除点R外其余5个点均为格点)，以点O为圆心，OQ的长为半径作圆，则在⊙O外的点是(C)‎ 例1题图 A. M B. N ‎ C. P D. R ‎【解析】 ∵OQ＝＝，OP＝＝2，ON＝2，OR＝＝，OM＝＝，∴在⊙O外的点是P.‎ 针对训练1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以点C为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是(B)‎ 训练1题图 ‎ A. 点O在⊙C外 B. 点O在⊙C上 C. 点O在⊙C内 D. 不能确定 ‎【解析】 ∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，O是AB的中点，∴OC＝2.∵以点C为圆心，2为半径作⊙C，∴OC＝半径．∴点O在⊙C上.‎ ‎　直线与圆的位置关系 18‎ 例2 如图，⊙O的半径为4，P是⊙O外的一点，PO＝10，A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA.当直线l与⊙O相切时，PA的长为(B)‎ 例2题图 A. 10 B. C. 11 D. ‎【解析】 如答图，连接OA，OC(C为切点)，过点O作OB⊥AP于点B.在Rt△AOB中，OB2＝OA2－AB2＝16－AB2.∵l与⊙O相切，∴OC⊥l.∵∠OBD＝∠OCD＝∠CDB＝90°，∴四边形BOCD为矩形．∴BD＝OC＝4.∵直线l垂直平分PA，∴PD＝BD＋AB＝4＋AB.∴PB＝8＋AB.在Rt△OBP中，OB2＋PB2＝OP2，即16－AB2＋(8＋AB)2＝102.解得AB＝.∴PA＝2PD＝2×＝.‎ 例2答图 针对训练2 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 0＜x≤ .‎ 训练2题图 ‎【解析】 如答图，设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC.∵∠AOB＝‎ ‎45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°.∴PC＝OC＝1.∴OP＝.同理，原点左侧的距离也是，且线段长是正数．∴x的取值范围是0＜x≤.‎ 训练2答图 ‎　切线的判定和性质 例3 (导学号5892921)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.‎ 18‎ ‎(1)求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若tan∠BAC＝，BC＝2，求⊙O的半径．‎ 例3题图 ‎【思路分析】 (1)连接OE.根据平行线的性质和已知，得∠DAC＝∠DCE，证明∠AEO＋∠DEC＝90°，则∠OEC＝90°，可得结论．(2)先根据三角函数计算AB＝.由勾股定理，得AC＝.由tan∠DCE＝tan∠ACB＝，得DE＝1.所以CE＝.设⊙O的半径为r，列方程可得结论．‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.‎ ‎∴∠BCA＝∠DAC.‎ ‎∵∠ACB＝∠DCE，‎ ‎∴∠DAC＝∠DCE.‎ 如答图，连接OE.‎ ‎∵OA＝OE，‎ ‎∴∠AEO＝∠OAE.‎ ‎∴∠AEO＝∠DCE.‎ ‎∵∠DCE＋∠DEC＝90°，‎ ‎∴∠AEO＋∠DEC＝90°.‎ ‎∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.‎ ‎∵OE是⊙O的半径，‎ ‎∴CE是⊙O的切线．‎ ‎(2)解：∵tan∠BAC＝，BC＝2，‎ ‎∴AB＝.‎ ‎∴AC＝.‎ ‎∵∠DCE＝∠ACB，‎ ‎∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝.‎ ‎∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.‎ 在Rt△CDE中，CE＝＝.‎ 设⊙O的半径为r.‎ 在Rt△COE中，‎ CO2＝OE2＋CE2，‎ ‎∴(－r)2＝r2＋3.‎ 解得r＝，即⊙O的半径是.‎ 例3答图 18‎ 针对训练3 (2018，包头)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D＝40°，则∠BEC＝ 115° .‎ 训练3题图 ‎【解析】 如答图，连接OC.∵DC切⊙O于点C，∴∠DCO＝90°.∵∠D＝40°，‎ ‎∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°.∴∠BEC＝×(360°－130°)＝115°.‎ 训练3答图 ‎　三角形的内切圆 例4 (2018，烟台)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝‎ ‎124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为(C)‎ 例4题图 A. 56° B. 62° ‎ C. 68° D. 78°‎ ‎【解析】 ∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA.∵∠AIC＝‎ ‎124°，∴∠B＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－2(∠IAC＋∠ICA)＝180°－2(180°－∠AIC)＝68°.又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵∠ADC＋∠CDE＝‎ ‎180°，∴∠CDE＝∠B＝68°.‎ 针对训练4 (2018，湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD. 若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是 70°.‎ 训练4题图 ‎【解析】 ∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴BO平分∠ABC，OD⊥BC.∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°.∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.‎ 18‎ 一、 选择题 ‎1. (2018，哈尔滨)如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为(A)‎ 第1题图 A. 3 B. 3 ‎ C. 6 D. 9‎ ‎【解析】 如答图，连接OA.∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∵OB＝3，∴AO＝3.在Rt△AOP中，∵∠P＝30°，∴OP＝2OA＝6.∴BP＝OP－OB＝6－3＝3.‎ 第1题答图 ‎2. (2018，保定二模)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)‎ 第2题图 A. 相切 B. 相交 ‎ C. 相离 D. 无法确定 ‎【解析】 如答图，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N.∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴△ABC是直角三角形．∴AM·BC＝AC·AB.∴AM＝＝.∵D，E分别是AC，AB的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝2.5.∴AN＝MN＝AM＝1.2.∵以DE为直径的圆的半径为1.25，1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交．‎ 第2题答图 ‎3. (2018，唐山路南区三模)如图，已知直线m∥n，把△ABC剪成三部分，点A，B，C在直线n上，点O在直线m上，则点O是△ABC的(C)‎ 18‎ 第3题图 A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 ‎【解析】 如答图①，过点O作OD′⊥BC于点D′，OE′⊥AC于点E′，OF′⊥AB于点F′.如答图②，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F.∵m∥n，∴OD＝OE＝OF.由裁剪，知OD＝OD′，OE＝OE′，OF＝OF′，∴OD′＝OE′＝OF′.∴点O是三角形三个内角的平分线的交点．∴点O是△ABC的内心．‎ ‎　‎ 第3题答图 ‎4. (2018，石家庄桥西区一模)如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA. 若∠P＝40°，当PA与⊙O相切时，∠B的度数为(B)‎ 第4题图 A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°‎ ‎【解析】 ∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠AOP＝90°－∠P＝50°.∴∠B＝‎ ∠AOP＝25°.‎ ‎5. (2018，重庆A)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(A)‎ 第5题图 A. 4 B. ‎2‎ C. 3 D. 2.5‎ ‎【解析】 如答图，连接DO.∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°.∵∠C＝90°，∴DO∥BC.∴△PDO∽△PCB.∴＝＝＝.设PA＝x，则＝.解得x＝4.∴PA＝4.‎ 第5题答图 ‎6. (2018，泰安)如图，BM与⊙O相切于点B.若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为(A)‎ 18‎ 第6题图 A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°‎ ‎【解析】 如答图，连接OA，OB.∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM＝90°.∵∠MBA＝‎ ‎140°，∴∠ABO＝50°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝50°.∴∠AOB＝80°.∴∠ACB＝‎ ∠AOB＝40°.‎ 第6题答图 ‎7. (2018，常州)如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N.若∠MNB＝‎ ‎52°，则∠NOA的度数为(A)‎ ‎ 第7题图 A. 76° B. 56° C. 54° D. 52°‎ ‎【解析】 ∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM.∴∠ONM＝90°.∴∠ONB＝90°－∠MNB＝90°－52°＝38°.∵ON＝OB，∴∠B＝∠ONB＝38°.∴∠NOA＝2∠B＝76°.‎ ‎8. (2018，深圳)一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是(D)‎ 第8题图 A. 3 B. 3 ‎ C. 6 D. 6 ‎【解析】 如答图，设三角板与圆的切点为C，连接OA，OB.由切线长定理，知AO平分∠BAC，∴∠OAB＝60°.在Rt△ABO中，OB＝AB·tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6.‎ 第8题答图 18‎ ‎9. (2018，石家庄二模)如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC的长为(B)‎ 第9题图 A. 1 B. 2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎【解析】 在Rt△ABO中，sin∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝60°.∵直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，∴∠CAB＝30°，OC⊥AC.∴∠OAC＝60°－30°＝30°.在Rt△OAC中，OC＝OA＝2.‎ ‎10. (2018，湘西州)如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB.若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为(D)‎ 第10题图 A. 10 B. 8 ‎ C. 4 D. 4 ‎【解析】 ∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB.又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E.∵CD＝8，∴CE＝DE＝CD＝4.如答图，连接OC，则OC＝OA＝5.在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，∴AE＝AO＋OE＝8.∴AC＝＝＝4.‎ 第10题答图 ‎11. 如图，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC.若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A)‎ 第11题图 A. 174° B. 176° C. 178° D. 180°‎ ‎【解析】 如答图，连接CI.在△ABC中，∠B＝44°，∠ACB＝56°，∴∠BAC＝180°－∠B 18‎ ‎－∠ACB＝80°.∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝‎ ∠ACB＝28°.∴∠AIC＝180°－∠CAI－∠ACI＝112°.又ID⊥BC，∴∠CID＝90°－∠DCI＝62°.∴∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.‎ 第11题答图 二、 填空题 ‎12. (2018，台州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝ 26°.‎ 第12题图 ‎【解析】 如答图，连接OC.由圆周角定理，得∠COD＝2∠A＝64°.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.∴∠D＝90°－∠COD＝26°.‎ 第12题答图 ‎13. (2018，长沙)如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝ 50°.‎ 第13题图 ‎【解析】 ∵∠A＝20°，∴∠BOC＝40°.∵BC是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBC＝‎ ‎90°.∴∠OCB＝90°－40°＝50°.‎ ‎14. (2018，大庆)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆的半径为 2 .‎ ‎【解析】 ∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8.设内切圆的半径为r，则×6·r＋×8·r＋×10·r＝×6×8.解得r＝2.‎ ‎15. (2018，连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝ 44°.‎ 18‎ 第15题图 ‎【解析】 如答图，连接OB.∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.∵OC⊥OA，∴∠OAB＋∠APO＝90°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝22°.∴∠APO＝∠CBP＝68°.∵∠APO＝∠CPB，∴∠CPB＝∠CBP＝68°.∴∠OCB＝180°－68°－68°＝44°.‎ 第15题答图 ‎16. (2018，安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若D是AB的中点，则∠DOE＝ 60°.‎ 第16题图 ‎【解析】 如答图，连接OA.∵四边形ABOC是菱形，∴BA＝BO.∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.∵D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线．∴OA＝OB.∴△AOB是等边三角形．∴∠AOD＝∠AOB＝30°.同理，∠AOE＝30°.∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝60°.‎ 第16题答图 三、 解答题 ‎17. (2018，潍坊)如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.‎ ‎(1)求证：AE与⊙O相切于点A；‎ ‎(2)若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．‎ 第17题图 ‎【思路分析】 (1)连接OA，交BC于点F.根据OA＝OD，可得∠D＝∠DAO.由同弧所对的圆周角相等及已知，得∠BAE＝∠DAO.再由直径所对的圆周角是直角，得∠BAD＝90°.进而可得结论．(2)先证明OA⊥BC.由垂径定理，得＝，FB＝BC.根据勾股定理计算AF，OB，AD的长即可．‎ 18‎ ‎(1)证明：如答图，连接OA，交BC于点F，‎ 则OA＝OD.‎ ‎∴∠D＝∠DAO.‎ ‎∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO.‎ ‎∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO.‎ ‎∵BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAD＝90°，即∠DAO＋∠BAO＝90°.‎ ‎∴∠BAE＋∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°.‎ ‎∴AE⊥OA.‎ ‎∴AE与⊙O相切于点A.‎ ‎(2)解：∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC.‎ ‎∴＝，FB＝BC.‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎∵BC＝2，AC＝2，‎ ‎∴BF＝，AB＝2.‎ 在Rt△ABF中，AF＝＝1.‎ 在Rt△OFB中，OB2＝BF2＋(OB－AF)2.‎ ‎∴OB2＝()2＋(OB－1)2.‎ ‎∴OB＝4.∴BD＝8.‎ 在Rt△ABD中，AD＝＝＝2.‎ 第17题答图 ‎18. (2018，德州)如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，C是的中点．‎ ‎(1)求证：AD⊥CD；‎ ‎(2)若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE→EC→爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数)‎ 第18题图 ‎【思路分析】 (1)连接OC.根据切线的性质得到OC⊥CD.证明OC∥AD.进而得到AD⊥CD.(2)根据圆周角定理得到∠COE＝60°.根据锐角三角函数、弧长公式计算即可．‎ ‎(1)证明：如答图，连接OC.‎ ‎∵直线CD与⊙O相切，‎ ‎∴OC⊥CD.‎ 18‎ ‎∵C是的中点，‎ ‎∴∠DAC＝∠EAC.‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠OCA＝∠EAC.‎ ‎∴∠DAC＝∠OCA.‎ ‎∴OC∥AD.‎ ‎∴AD⊥CD.‎ ‎(2)解：∵∠CAD＝30°，‎ ‎∴∠CAE＝∠CAD＝30°.‎ 由圆周角定理，得∠COE＝60°.‎ ‎∴OE＝2OC＝6，EC＝OC＝3，‎ ‎＝＝π.‎ ‎∴BE＝3.‎ ‎∴蚂蚁爬过的路程为3＋3＋π≈11.3.‎ 第18题答图 ‎19. (2018，赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.‎ ‎(1)求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径是‎2 cm，E是的中点，求阴影部分的面积．(结果保留根号)‎ 第19题图 ‎【思路分析】 (1)连接OD.只要证明OD∥AC即可解决问题．(2)连接OE，交AD于点K.只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．‎ ‎(1)证明：如答图，连接OD.‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA.‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠OAD＝∠DAC.‎ ‎∴∠ODA＝∠DAC.‎ ‎∴OD∥AC.‎ ‎∴∠ODB＝∠C＝90°.‎ ‎∴OD⊥BC.‎ ‎∴BC是⊙O的切线．‎ ‎(2)解：如答图，连接OE，交AD于点K.‎ 18‎ ‎∵E是的中点，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴OE⊥AD.‎ ‎∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，‎ ‎∴△AKO≌△AKE.‎ ‎∴AO＝AE＝OE.‎ ‎∴△AOE是等边三角形．‎ ‎∴∠AOE＝60°.‎ ‎∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝－×22＝－(cm2)．‎ 第19题答图 ‎1. 如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转(C)‎ 第1题图 A. 40°或80° B. 50°或100°‎ C. 50°或110° D. 60°或120°‎ ‎【解析】 (1)如答图①，当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°.在Rt△OPB中，OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°.∴∠ABA′＝50°.(2)如答图②，当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时，同(1)，可求得∠A′BO＝30°.此时∠ABA′＝80°＋30°＝110°.综上所述，旋转的度数为50°或110°.‎ 第1题答图 ‎2. (2018，泰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′的长为半径作⊙P.当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为（或 ）.‎ 18‎ 第2题图 ‎【解析】 在Rt△ABC中，由∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝12，可得AB＝13，BC＝5.如答图①，当⊙P与边AC相切于点Q时，连接PQ.设PQ＝PA′＝r.∵PQ∥CA′，∴△B′QP∽△B′CA′.∴＝.∴＝.∴r＝.如答图②，当⊙P与边AB相切于点T时，易证A′，B′，T三点共线．易证△A′BT∽△ABC，∴＝.∴＝.‎ ‎∴A′T＝.∴r＝A′T＝.综上所述，⊙P的半径为或.‎ 第2题答图 ‎3. (2018，荆门，导学号5892921)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，分别交⊙O，AC于点M，N，连接MB，BC.‎ ‎(1)求证：AC平分∠DAE；‎ ‎(2)若cos M＝，BE＝1.‎ ‎①求⊙O的半径；‎ ‎②求FN的长．‎ 第3题图 ‎【思路分析】 (1)连接OC.利用切线的性质得OC⊥DE，则判定OC∥AD.然后利用平行线的性质和等边对等角即可得出答案．(2)①易证∠COE＝∠FAB，再由∠FAB＝∠M，得∠COE＝∠M.设⊙O的半径为r.然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到＝.从而解方程求出r的值即可．②连接BF.先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF＝，再计算出CE＝3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．‎ 18‎ ‎(1)证明：如答图，连接OC.‎ ‎∵直线DE与⊙O相切于点C，‎ ‎∴OC⊥DE.‎ ‎∵AD⊥DE，∴OC∥AD.‎ ‎∴∠1＝∠3.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠2＝∠3.‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎∴AC平分∠DAE.‎ ‎(2)解：①由(1)知OC∥AD，∴∠COE＝∠FAB.‎ ‎∵∠FAB＝∠M，∴∠COE＝∠M.‎ ‎∴cos∠COE＝cos M＝.‎ 设⊙O的半径为r.‎ 在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，即＝.‎ 解得r＝4，即⊙O的半径为4.‎ ‎②如答图，连接BF.‎ ‎∵AB为直径，∴∠AFB＝90°.‎ 在Rt△AFB中，cos∠FAB＝，∴AF＝8×＝.‎ 在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，‎ ‎∴CE＝3.‎ ‎∵AB⊥FM，∴＝.‎ ‎∴∠4＝∠5.‎ ‎∵AD⊥DE，‎ ‎∴FB∥DE.‎ ‎∴∠5＝∠E＝∠4.‎ ‎∵∠1＝∠2，‎ ‎∴△AFN∽△AEC.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴FN＝.‎ 第3题答图 18‎