北京市丰台区2018届九年级数学上学期期末考试试题
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.如果(),那么下列比例式中正确的是
A. B. C. D.
2.将抛物线y = x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为
A. B.
C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AB = 5,BC = 3,则tanA的值为
A. B.
C. D.
4.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构图,使画面整体和谐. 目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于画面中的位置
A.① B.②
C.③ D.④
5.如图,点A为函数(x > 0)图象上的一点,过点A作x轴的平行线交轴于点B,连接OA,如果△AOB的面积为2,那么k的值为
A.1 B.2
C.3 D.4
6.如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是
A B C D
7.如图,A,B是⊙O上的两点,C是⊙O上不与A,B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°,那么∠ACB的度数为
A.70° B.110°
C.140° D.70°或110°
8.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
10
x
…
0
1
2
3
…
y
…
3
0
m
3
…
有以下几个结论:
①抛物线的开口向下;
②抛物线的对称轴为直线;
③方程的根为0和2;
④当y>0时,x的取值范围是x<0或x>2.
其中正确的是
A.①④ B.②④ C.②③ D.③④
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
图2
图1
9.如果sinα =,那么锐角α = .
10.半径为2的圆中,60°的圆心角所对的弧的弧长为 .
11.如图1,物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2,其中线段AB为蜡烛的火焰,线段A'B'为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm,倒立的像A'B'的高度为5cm,点O到AB的距离为4cm,那么点O到A'B'的距离为 cm.
12.如图,等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2,则其内切圆半径的长为 .
13.已知函数的图象经过点(2,1),且与x轴没有交点,写出一个满足题意的函数的表达式 .
14.在平面直角坐标系中,过三点A(0,0),B(2,2),
C(4,0)的圆的圆心坐标为 .
15.在北京市治理违建的过程中,某小区拆除了自建房,改建绿地. 如图,自建房占地是边长为8m的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG,其中点E在AB上,点G在AD的延长线上,且DG = 2BE. 如果设BE的长为x(单位:m),绿地AEFG的面积为y(单位:m2),那么y与x的函数的表达式为 ;当BE = m时,绿地AEFG的面积最大.
已知:⊙O和⊙O外一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:如图,
(1)连接OP;
(2)分别以点O和点P为圆心,大于 OP的长为
半径作弧,两弧相交于M,N两点;
(3)作直线MN,交OP于点C;
(4)以点C为圆心,CO的长为半径作圆,
交⊙O于A,B两点;
(5)作直线PA,PB.
直线PA,PB即为所求作⊙O的切线.
16.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
10
请回答以下问题:
(1)连接OA,OB,可证∠OAP =∠OBP = 90°,理由是 ;
(2)直线PA,PB是⊙O的切线,依据是 .
三、解答题(本题共68分,第17-24题,每小题5分,第25题6分,第26,27题,每小题7分,第28题8分)
17.计算:.
18.如图,△ABC中,DE∥BC,如果AD = 2,DB = 3,
AE = 4,求AC的长.
19.已知二次函数y = x2 - 4x + 3.
(1)用配方法将y = x2 - 4x + 3化成y = a(x - h)2 + k的形式;
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象;
(3)当0≤x≤3时,y的取值范围是 .
20.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”
用现代语言表述为:如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB
于点E,AE = 1寸,CD = 10寸,求直径AB的长.
请你解答这个问题.
10
21.在平面直角坐标系中,直线与双曲线的一个交点为P(m,2).
(1)求k的值;
(2)M(2,a),N(n,b)是双曲线上的两点,直接写出当a > b时,n的取值范围.
22.在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中,某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤,并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下:如图,首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°,然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°,最后测量出A,B两点间的距离为15m,并且N,B,A三点在一条直线上,连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果,计算人民英雄纪念碑MN的高度.
(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7)
23.如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2m,喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m,且到地面的距离为3.6m,求水流的落地点C到水枪底部B的距离.
24.如图,是⊙O的直径,点是的中点,连接并延长至点,使,点是上一点,且,的延长线交的延长线于点,交⊙O于点,连接.
(1)求证:是⊙O的切线;
(2)当时,求的长.
10
25.如图,点E是矩形ABCD边AB上一动点(不与点B重合),过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF.已知AB = 4cm,AD = 2cm,设A,E两点间的距离为xcm,△DEF面积为ycm2.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)确定自变量x的取值范围是 ;
(2)通过取点、画图、测量、分析,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y/cm2
4.0
3.7
3.9
3.8
3.3
2.0
…
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF面积最大时,AE的长度为
cm.
26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点(2,3),对称轴为直线x =1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A(,),B(,),其中,,与y轴交于点C,求BCAC的值;
(3)将抛物线向上或向下平移,使新抛物线的顶点落在x轴上,原抛物线上一点P平移后对应点为点Q,如果OP=OQ,直接写出点Q的坐标.
10
27.如图,∠BAD=90°,AB=AD,CB=CD,一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转,角的两边与BA,DA交于点M,N,与BA,DA的延长线交于点E,F,连接AC.
(1)在∠FCE旋转的过程中,当∠FCA=∠ECA时,如图1,求证:AE=AF;
(2)在∠FCE旋转的过程中,当∠FCA≠∠ECA时,如图2,如果∠B=30°,CB=2,用等式表示线段AE,AF之间的数量关系,并证明.
图2
图1
28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:如果⊙C的半径为r,⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r,那么点P叫做⊙C的“离心点”.
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点P1(,),P2(0,-2),P3(,0)中,⊙O的“离心点”是 ;
②点P(m,n)在直线上,且点P是⊙O的“离心点”,求点P横坐标m的取值范围;
(2)⊙C的圆心C在y轴上,半径为2,直线与x轴、y轴分别交于点A,B. 如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”,请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.
10
参考答案
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
D
A
D
D
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9. 30°; 10. ; 11. 10; 12. 1; 13. 或等,答案不唯一;
14.(2,0); 15.(可不化为一般式),2;
16.直径所对的圆周角是直角;经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三、解答题(本题共68分,第17-24题每小题5分,第25题6分,第26,27题每小题7分,第28题8分)
17. 解:
=,……3分
= ……4分
=. ……5分
18. 解:∵DE∥BC,
∴.……2分
即.
∴EC=6.……4分
∴AC=AE + EC=10. ……5分
其他证法相应给分.
19.解:(1)
. ……2分
(2)如图: ….3分
(3) ….5分
20.解:连接OC,
∵AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=10,∴∠BEC=90°,.……2分
设OC=r,则OA=r,∴OE=.
在Rt中,
10
∵,
∴.∴. …4分
∴AB = 2r= 26(寸).
答:直径AB的长26寸. …5分
21. 解:(1)一次函数的图象经过点,. ……… 1分
点P的坐标为(1,2). ……… 2分
∵反比例函数的图象经过点P(1,2),
………3分
(2)或 …………5分
22.解:由题意得,四边形ACDB,ACEN为矩形,
∴EN=AC=1.5.
AB=CD=15.
在中,
∠MED=90°,∠MDE=45°,
∴∠EMD=∠MDE=45°.
∴ME=DE. …2分
设ME=DE=x,则EC=x+15.
在中,∠MEC=90°,
∠MCE=35°,
∵,
∴ .∴ .
∴ . …4分
∴ .
∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.
…5分
23.解:建立平面直角坐标系,如图.
于是抛物线的表达式可以设为
根据题意,得出A,P两点的坐标分别为A(0,2),P(1,3.6). ……2分
∵点P为抛物线顶点,
10
∴ .
∵点A在抛物线上,
∴,.
…3分
∴它的表达式为
. ……4分
当点C的纵坐标y=0时,有
.
(舍去),.
∴BC=2.5.
∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m. ……5分
24.(1)证明:连接OC,
∵AB为⊙O的直径,点是的中点,∴∠AOC=90°. ……1分
∵,,∴OC是的中位线. ∴OC∥BD.
∴∠ABD=∠AOC=90°. ……2分
∴.∴是⊙O的切线. ……3分
其他方法相应给分.
(2)解:由(1)知OC∥BD,∴△OCE∽△BFE. ∴.
∵OB = 2,∴OC= OB = 2,AB = 4,∵,∴,∴BF=3. ……4分
在Rt中,∠ABF=90°,.
∵ ,∴.即.
∴BH =. .……5分
其他方法相应给分.
25.(1);.……1分
(2)3.8,4.0; ……3分
(3)如图 ……4分
(4)0或2. ……6分
26. 解:(1) ……1分
10
解得. ……2分
∴. ……3分
(2)如图,设l与对称轴交于点M,由抛物线的对称性可得,BM= AM. …… 3分
∴BC-AC= BM+MC-AC= AM+MC-AC= AC+CM+MC-AC=2 CM=2. ……5分
其他方法相应给分.
(3)点Q的坐标为()或().……7分
27.解:(1)证明:∵AB=AD,BC=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC. …1分
∴∠BAC=∠DAC=45°,可证∠FAC=∠EAC=135°. ……2分
又∵∠FCA=∠ECA,
∴△ACF≌△ACE. ∴AE=AF. ……3分
其他方法相应给分.
28.解:(1)①,; ……2分
②设P(m,-m+3),则. …3分
解得,. ……4分
故1≤m≤2. ……6分
(2)圆心C纵坐标的取值范围为:≤<或<≤. ……8分
10